高等數學中的一題多解

金愛蓮

摘 要 在高等數學教學過程中，學生的解題能力往往得不到提高。本文通過三個典型問題的一題多解來培養學生的發散思維和創新精神，開闊解題思路，從而提高學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞 高等數學 一題多解 解題思路

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A

Several Solutions to One Problem in Higher Mathematics

JIN Ailian

（Department of Mathematics， College of Sciences， Yanbian University， Yanji， Yanbian 133002）

Abstract In the higher mathematics teaching process， students` ability of solving problems are often not improve. In this paper， the three typical problems of several solutions to cultivate students` divergent thinking and innovative spirit， open thinking， so as to improve the students` ability to analyze and solve problems.

Key words higher mathematics； several solutions to one problem； problem-solving ideas

高等數學是理工科學院一門十分重要的公共基礎課程，但在實際教學中，很多學生的解題能力往往得不到提高，分析其原因主要就是學生解題思維得不到鍛煉，為了做題而做題，不能舉一反三。對同一例題，如果從不同的角度去分析，采用不同的處理方法，則可得到不同的解法，通過比較，可選擇最優的解法，這對培養學生的分析問題，解決問題以及綜合運用知識的能力有極大的好處。為此，以下通過高等數學中三個“一題多解”的例子，給出發散思維在高等數學中的應用。

1 求隱函數的導數問題

例1 設方程 + = （ + ），求。

解法1：兩邊對求導

+ 2 + · = （ + ）·（1 + 2）

=

解法2：令（） = + （ + ）

= + （ + ）

=

所以 = =

解法3：（ + ） = （（ + ））

+ + = （ + ）·（ + ）

[（2 + ） + （ + ）] = [ + （ + ）]

=

2 求極限問題

例2 求極限 。

解法1：直接用洛必達法則。

= =

= = 1

解法2：用等價無窮小替換。

=

= · = = 1

或

解法3：用拉格朗日中值定理解。

在， 之間對用拉格朗日中值定理有 = ，在， 之間。

當→0， →0，所以→0。故原式 = = 1。

3 求不定積分問題

三角函數的不定積分是一類比較復雜的不定積分，靈活性較大，因此是不定積分中較難掌握的一類積分。

例3 求。

解法1：令 = ，則 = ， =

原式 = = 2 = +

= +

解法2：原式 = =

= 2 = +

解法3：原式 = =

因為（）= [（）] = （）

所以原式 =

解法4：原式 = =

= +

解法5：原式 = =

= （1+ ）

= + （） + （1+ ） +

= +

解法6：令 = 1+ ，則

原式

再令 = ，則 = ， =

所以原式 = ·· = = +

= + = + = +

高等數學中，能利用一題多解例子還有很多，在平時教學中，教師要積極引導學生進行這方面的訓練，不僅能鞏固基本知識，掌握基本技能技巧，而且有助于培養全面分析問題的能力，培養具有靈活性和多向思維能力。

參考文獻

[1] 同濟大學數學系.高等數學（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 中國人民大學.朱來義.微積分[M].北京：高等教育出版社，2011.

[3] 黃軍華.不定積分的一題多解[J].玉林師范學院學報，2005.26（3）：4-7.