宇宙空間演生與粘性宇宙

張 偉

(南昌大學理學院物理系，330031，南昌)

0 引言

人類對于時空的認識經歷了漫長的發展過程。17世紀下半葉，牛頓(Newton)在前人研究的基礎上，發表了萬有引力定律，提出了絕對時空觀。后來，愛因斯坦(Einstein)摒棄了牛頓的絕對時空觀，提出了相對時空觀。在愛因斯坦的廣義相對論中，引力被描述為時空的彎曲而不再是作為自然界中一種基本的相互作用力，時間與空間都是相對的而且相互聯系。廣義相對論成功地經受了如引力紅移、水星近日點進動和星光偏折等一系列觀測與實驗的檢驗，取得了極大的成功。然而，廣義相對論沒有考慮時空與物質的量子效應，是一個經典的理論。在廣義相對論與量子論結合統一的過程中，人們遇到了極大的困難。廣義相對論是一個不可重整化的理論，無法用量子場論的方法將引力量子化。這些事實都迫使我們不得不去對時空的本質進行更深層的探索。

20世紀70年代，Bekenstein和Hawking等發現了黑洞的熱力學性質[1－3]。黑洞具有正比于其視界面積的熵，而黑洞的溫度正比于黑洞視界的表面引力。后來，Jacobson[4]從基本的熱力學關系出發推導出了Einstein場方程，提出了Einstein場方程的熱力學描述。2010年，E Verlinde[5]在全息原理的基礎上，提出引力是熵力，而熵力是由與物體位置相關聯的信息的改變而產生的一種有效的宏觀力。從而進一步發展了引力不是基本相互作用力的觀點。最近，T Padmanabhan[6]提出一個時空觀點:宇宙空間是隨著宇宙時間的發展而演生出來的，宇宙空間的膨脹率歸因于全息視界面的自由度數與主體的自由度數之差。由此假設出發，T Padmanabhan成功地推導出了描述宇宙演化的Friedmann方程。然而，在真實的宇宙中，粘滯效應對于宇宙的演化將會帶來不可忽略的影響。所以，當考慮到宇宙的粘滯效應時，T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論是否依然能夠有效的描述宇宙的演化規律?

本文首先將簡要回顧T Padmanabhan提出的時空理論，然后在此基礎上，將T Padmanabhan的工作推廣到粘性宇宙的情況，并成功得到描述粘性宇宙演化規律的Friedmann方程。本文采用自然單位制，其中?=c=kB=1。

1 T Padmanabhan理論的回顧

首先，T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論思想可用圖1來演示。圖1中球體內部區域是隨著宇宙時間t的發展而已經演生出來的宇宙空間，并且宇宙空間體積的膨脹規律遵從圖1中右上角所示的方程。

考慮一個純的德西特(de Sitter)宇宙，該宇宙所遵循的全息原理可用以下關系式描述

其中Nsur和Nbulk分別表示全息視界面和主體的自由度數。全息視界面的半徑為哈勃半徑H－1，H=/a為哈勃參數。因此

將式(2)、式(3)代入式(1)，并利用 p= －ρ，可得

與標準結果一致。

然而，世界不是純的而是漸進德西特宇宙。于是可以猜想宇宙體積的膨脹率與(Nsur－Nbulk)有關

將式(2)、式(3)代入式(5)，得到標準的動力學Friedmann方程

利用連續性方程

并且對方程(6)積分，可得標準的運動學Friedmann方程

上式中已令積分常數為零。

2 將T Padmanabhan的理論推廣到粘性宇宙

不失一般性，考慮粘性Friedmann-Robertson-Walker(FRW)宇宙，其度規如下

其中，k=1，0，－1分別對應封閉、平坦、開放的粘性FRW宇宙。

粘性 FRW 宇宙的能動張量[7－9]為

其中，體粘滯系數ξ為流體的能量密度ρ的函數。由于要遵循熱力學第二定律，所以體粘滯系數應為正值。

為了將T Padmanabhan的宇宙空間演生的理論推廣到粘性宇宙的情況，把式(2)、式(3)代入實現其理論思想的核心方程式(5)，則

現在，欲從式(11)出發推導出描述粘性宇宙演化規律的Friedmann方程，最關鍵的問題是要得到粘性FRW宇宙的Komar質量M。

在廣義相對論中，導致宇宙加速膨脹的不是宇宙空間區域的物質的總質量，而是所謂的有效引力質量-即Komar質量。粘性FRW宇宙的Komar質量的表達式為[10，13]

為此，先求出能動張量Tμv的跡T的表達式

再將式(10)、式(13)代入式(12)，則

即得粘性FRW宇宙的Komar質量的具體表達形式為

再將式(14)代入式(11)，有

化簡，得

式(15)是用T Padmanabhan的宇宙空間演生的時空理論推導出的粘性FRW宇宙的動力學Friedmann方程，將其與粘性FRW宇宙的標準的動力學 Friedmann 方程[8－9]對比，發現二者相同。接下來從式(15)出發，利用連續性方程，看能否推導出粘性FRW宇宙的標準的運動學Friedmann方程。

首先，粘性FRW宇宙的連續性方程▽μTμv=0 成為[7－9]

由式(16)，得

再將變形后的連續性方程(17)代入上式

對上式兩邊同時積分并令積分常數為零

即

將式(18)與粘性FRW宇宙的標準的運動學Friedmann方程[8－9]對比，發現二者相同。可見，用T Padmanabhan的宇宙空間演生的時空理論能夠成功地推導出描述粘性FRW宇宙的演化規律的Friedmann方程。

3 結論

本文采用T Padmanabhan的時空觀點，認為宇宙空間是隨著宇宙時間的發展而演生出來的，并且宇宙空間的膨脹率歸因于全息視界面與主體的自由度數之差。繼而成功地將T Padmanabhan的工作推廣到粘性FRW宇宙的情形，所得結果與標準的Friedmann方程完全相同。進一步驗證了T Padmanabhan的建立在全息原理基礎上的時空觀點的正確性。

另外，雖然在文中考慮的是粘性FRW宇宙，但是，由于描述宇宙粘性的體粘滯系數在宇宙中實際上起到一個等效壓強的作用，所以，對于其它的宇宙學模型[11－13]如膜宇宙、標量-張量宇宙和 f(R)宇宙等，相信當在這些修正的引力的宇宙中考慮粘性時，仍然可以得到相應情況下的標準的Friedmann方程。

空間均勻且各向同性的FRW宇宙學模型有效的描繪了當今大尺度結構的宇宙。然而，對于早期的宇宙來說，其空間均勻卻各向異性，需要用Bianchi型的宇宙學模型來描述。因此，如何將宇宙空間演生的理論推廣到早期宇宙的情況是一個值得思考而又有趣的問題。因為，當考慮Bianchi型的宇宙學模型時，如何選取全息面從而能夠運用建立在全息原理基礎上的宇宙空間演生的理論是一個需要克服的困難。這些問題都有待于將來進一步的探索。

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