復(fù)合整函數(shù)的有理零點(diǎn)

吳淵鴻，涂 金

(江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，330022，南昌)

1 引言和結(jié)果

本文使用值分布理論中的標(biāo)準(zhǔn)記號(hào)[1]，用ρ(f)表示亞純函數(shù)f(z)的增長(zhǎng)級(jí)，并用σ2(f)表示亞純函數(shù)f(z)的超級(jí)，定義如下[2]

本文用f(g)表示2個(gè)整函數(shù)f(z)與g(z)的復(fù)合，當(dāng)然f(z)也可以為亞純函數(shù)。關(guān)于復(fù)合整函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，很多人都進(jìn)行了研究，并取得了很多有名的結(jié)果。

Gross猜測(cè)2個(gè)超越整函數(shù)的復(fù)合f(g)有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)[3]，當(dāng) f(g)為有窮級(jí)時(shí)，或者 f，g中有一個(gè)為多項(xiàng)式時(shí)，這個(gè)猜測(cè)被證明是對(duì)的。Yang C C.在他的2篇論文中分別證明了下面的定理。

定理 1[4]:假設(shè) F(z)=f(g(z))是一無(wú)窮級(jí)的復(fù)合整函數(shù)，f的級(jí)ρ(f)小于或者為無(wú)理數(shù)，g滿足

這里c＞1為一常數(shù)，則F=g(f)有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

定理2[5]:假設(shè)g(z)是一有窮級(jí)整函數(shù)，且具有一有窮的Borel例外值。f(z)是一非線性的整函數(shù)，使得f(g)的超級(jí)小于g的級(jí)，則F=f(g)有無(wú)窮多個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

1990年，W Bergweiler證明了更一般的情況，得到以下定理。

定理 3[6]:假設(shè) f，g 為超越整函數(shù)，P 是非常數(shù)多項(xiàng)式，那么f(g)-P有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。

那人們自然會(huì)問(wèn):當(dāng)f為亞純函數(shù)時(shí)，是不是有類似的結(jié)論?1993年W Bergweiler證明了下面這個(gè)定理。

定理 4[7]:假設(shè) f為超越亞純函數(shù)，g 為超越整函數(shù)，R是非常數(shù)有理函數(shù)。如果f(g)是無(wú)窮級(jí)的，那么f(g)-R有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。

本文在f，g為超越整函數(shù)，R為有理函數(shù)的條件下，研究了f(g)-R的零點(diǎn)，得到了以下定理，完善了上面幾個(gè)定理的結(jié)果。

R為有理函數(shù)，則f(g)-R有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。

定理6:假設(shè)f為超越整函數(shù)，g為有窮級(jí)超越整函數(shù)，使得f(g)的超級(jí)小于g的級(jí)。R為有理函數(shù)，則f(g)-R有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。

2 引理

引理1[8]:假設(shè) f，g 均為整函數(shù)，那么對(duì)于 r＞0有

引理2[4]:假設(shè)f(z)為一有窮級(jí)的亞純函數(shù)，g為一整函數(shù)滿足

其中，c＞1為常數(shù)。如果對(duì)于整函數(shù)α，有

那么有:

其中，E是一個(gè)測(cè)度為有限的集合。

引理 3[9]:假設(shè) F0，F(xiàn)1，…，F(xiàn)m是 m+1 個(gè)不恒等于零的亞純函數(shù)，g為非常數(shù)的整函數(shù)，h0，h1，…，hm是m+1個(gè)亞純函數(shù)，K＞0是一絕對(duì)常數(shù)，使得

其中，當(dāng)g為有窮級(jí)時(shí)，S(r，g)=O{log r};當(dāng) g為有無(wú)級(jí)時(shí)，S(r，g)=O{log(rT(r，g))}，至多除去一個(gè)測(cè)度為有限的集合E。如果

那么，存在多項(xiàng)式 Q0，Q1，…，Qm，使得

注:從文獻(xiàn)[9]中的證明可知當(dāng)g為有窮級(jí)時(shí)，只需一無(wú)界的非減正數(shù)序列{rj}∞j=1使得式(1)成立，引理的結(jié)論依然正確。

3 定理1的證明

假設(shè)f(g)-R有窮多個(gè)零點(diǎn)，則有

其中，R1是理函數(shù)，且每次出現(xiàn)不必相同，α是一整函數(shù)。由于f(g)為無(wú)窮級(jí)整函數(shù)，R1為有理函數(shù)，由式(2)有

對(duì)式(2)兩邊求導(dǎo)，有

由式(2)和式(4)，得到

+α')R －R'，由式(3)和引理2，有

其中，E是一個(gè)測(cè)度為有限的集合。由引理3知道，存在多項(xiàng)式 Q0，Q1，Q2，使得

由文獻(xiàn)[9，10]可知，任何一階代數(shù)微分方程的超越解的增長(zhǎng)級(jí)必為正有理數(shù)且≥，由此可得方程(6)的整函數(shù)解的增長(zhǎng)級(jí)為有理數(shù)且≥，這與定理的假設(shè)矛盾，故f(g)-R有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)。

4 定理2的證明

假設(shè)f(g)-R有窮多個(gè)零點(diǎn)。則有

其中:R1為有理函數(shù);α是一整函數(shù)。類似定理1的證明可以得到

其中，r0＞0為一固定常數(shù)，從而

即α的級(jí)不超過(guò)f(g)的超級(jí)，所以α，α'的級(jí)均小于g的級(jí)。因此，可以找到一無(wú)界的非減正數(shù)序，使得

而g為有窮級(jí)超越整函數(shù)，故由引理3及其注，存在不全為零的多項(xiàng)式 Q0，Q1，Q2，使得

那么由定理1中同樣的證明，可以得出矛盾。故f(g)-R有無(wú)窮個(gè)零點(diǎn)。

[1] 楊樂(lè).值分布論及其新研究[M].北京:科學(xué)出版社，1982.

[2] 儀洪勛，楊重駿.亞純函數(shù)唯一性理論[M].北京:科學(xué)出版社，1995.

[3] Gross F.Factorization of Meromorphic Functions[M].Washington D.C:U.S.Government Printing Office，1972.

[4] Yang C C.On the fixed－points of composite transcendental entire functions[J].J Math Anal Appl，1985，108(2):366－ 370.

[5] Yang C C.Further results on the the fixed－points of composite transcendental entire functions[J].J Math Anal Appl，1982，90:259 －269.

[6] Bergweiler W.Proof of a conjecture of Gross concerning fix－points[J].Math Z，1990，204:381 －390.

[7] Bergweiler W，Yang C C.On the value distribution of composite meromorphic functions[J].Bull London Math Soc，1993，25:357 －361.

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[10] Valiron G.Sur les fonctions entières vèrifiant une class d'équations différentielles[J].Bull Soc Math France，1923，51:33 －45.