廣義阻尼邊界條件下Laplace方程反問題的非線性積分方程法

胡宇清

(東南大學數學系，211100，南京)

0 引言

在科學研究中經常要通過間接觀測來探索位于不可達、不可觸之處的物質的變化規律;生產中經常要根據特定的功能對產品進行設計，或按照某種目的對流程進行控制。簡而言之，就是由果索因，而這就是所謂的反問題。反問題大量出現于醫學成像、地質探測、非損傷性探測、雷達遙感等領域。反問題不僅是非線性的，而且從數值計算的角度看是不適定的。

熱成像、靜電成像等很多物理問題在數學上被看做Laplace方程的逆邊值問題，本文考慮這類問題的廣義阻尼邊值條件(GIBC)。目前對廣義阻尼邊界條件問題已有很多研究[1－3]。對于雙連通區域已知外部邊界上一些柯西數據重構內部邊界形狀的反問題通常采用文獻[4]中提出的邊界積分方程方法。邊界積分方程方法已被廣泛應用，文獻[5，6]中作者應用該方法重構了腐蝕探測問題中被腐蝕邊界的形狀以及阻尼系數;文獻[7]中作者對已知的腔體內部一條曲線上若干散射場的測量數據，運用該方法重構了外部腔體的形狀。本文基于文獻[4]中提出的方法通過格林公式定理推導出邊界積分方程組，從而將要解決的重構邊界形狀反問題轉化為了求解非線性積分方程組的問題，再用正則化的迭代方法最終重構出邊界形狀。

1 問題的敘述

假設雙連通有界區域D?R2，其邊界由2個非連接的光滑若當閉曲線Γ0和Γ1組成，使得?D∶ =Γ0∪Γ1且Γ0∩Γ1=φ，其中Γ1是環形區域D的內邊界。定義υ為區域D的邊界單位外法向量。考慮如下邊值問題:對給定的函數(Γ0)，u∈H2(D)滿足

其中:divΓ1和 gradΓ1分別為表面散度和梯度，λ∈C1(Γ1)非負且不恒為0，μ∈C1(Γ1)為正。

假定邊界Γ0上Dirichlet數據f對應的Neumann數據

是已知的。要考慮的反問題為:假設已知邊界Γ1上阻尼系數，由Γ0上的一組柯西數據

1(Γ0)×H2(Γ0)重構邊界Γ1的形狀。在二維情況下，邊界條件中的Laplace-Beltrami微分算子有表達式為切向導數，s為弧長。盡管這類反問題解的唯一性是未知的，但本文提出的數值反演方法仍然能很好地得到重建結果。

2 非線性積分方程

先從格林公式出發得到與原來反問題等價的非線性積分方程。根據Laplace方程的基本解

它們限制在部分邊界上的形式為

其中，j，k=0，1。

對邊值問題(1)的解u∈H2(D)，令α∶ =u|Γ1并簡記

由格林公式[8]得到

在上式中令x由D的內部分別接近邊界Γ0和Γ1，根據雙層位勢在邊界上的跳躍關系可得積分方程

和

因此，要求的邊界形狀重構問題就轉化為了由上式2個非線性方程組求解Γ1和α的問題。式(5)、式(6)是典型的非線性不適定積分方程組，這2個式子對于邊界Γ1都是非線性的，對于α都是線性的。求解式(5)和式(6)的步驟是首先利用Frechet導數把非線性方程組近似表示為其線性形式，再用Tikhonov正則化方法處理問題的不適定性。

有3種迭代法求解非線性積分方程組(5)、(6)。

1)從式(5)中由線性方程解出α，代入式(3)得到β，然后關于未知邊界Γ1線性化方程(6)，從而迭代更新得近似邊界形狀。

2)從式(6)出發，計算出α再代入式(3)得到β，對邊界Γ1線性化方程(5)迭代更新得到近似邊界形狀。

3)將式(5)、式(6)關于邊界Γ1和α同時線性化，解這2個方程，得到關于Γ1和α的更新迭代。文中將采用第3種迭代方法重構得到近似邊界形狀。

3 積分方程離散和迭代法

不失一般性，假定C2邊界Γ0，Γ1的參數化形式分別為

其中，z0∶R→R2，z1∶R→R2為以2π 為周期的 C2光滑函數。對任意一個向量a=(a1，a2)定義a⊥=(a2，－a1)為向量a順時針旋轉90°。令ψ=φ?zj，j=0，1，根據單雙層位勢算子定義得對應的離散化的積分算子形式分別為

式(9)中第2項的對角線元素為

將式(5)、式(6)關于未知數Γ1和α完全線性化得到

1)給出未知邊界Γ1的初始參數化估計z1。已知邊界Γ1上阻尼系數λ，μ以及Γ0上的柯西數據f，g利用式(5)得到α，從而由式(3)計算出β。

2)將α，β以及邊界初始估計z1代入式(10)和式(11)，解線性方程組得γ，ζ，從而得到更新α+ γ，z1+ ζ。

3)重復第2步直到滿足迭代終止條件。下面給出Frechet導數的計算形式。

式(14)第1項和第3項中核的對角線元素為

第2項和第4項核的對角線元素可由式(8)得到。

ω關于z1的Frechet導數為

式(12)～式(16)中 t∈[0，2π]。下一節就將上述迭代法給出具體算例。

4 數值算例

根據文獻[3]中介紹的利用單層位勢在邊界上的跳躍關系由已知邊界上的Dirichlet數據算出Neumann數據，以下重構邊界形狀的數值算例都只用一組柯西數據，然后用積分方程方法重構內部邊界形狀。

將邊界Γ1的更新記做

其中，q為非負函數。假設q可由如下三角多項式的形式來近似

在所有數值算例中外部的已知曲線Γ0為圓心在原點半徑為0.9的圓，Γ1的初始估計為圓心在原點半徑為0.8的圓，配置點個數為n=32，Γ1上三角多項式的展開系數取m=6。記αγ，αζ分別為γ以及邊界更新ζ的正則化參數，it記為迭代步數。為了檢驗該迭代算法的穩定性，給測量數據g加上誤差，誤差數據由如下式子給出

其中，η是正態分布隨機變量，δ是相對噪音水平。

例1:考慮橢圓邊界，其參數化形式為

給定Dirichlet數據f(z0(t))=1。運用上述的正則化迭代法得到圖1的重構結果。

圖1中左圖選取的正則化參數為αγ=10－2，αζ=10－1，迭代步數it=7。圖1中右圖選取的正則化參數為 αγ=10－2，αζ=10－2，迭代步數 it=9。圖1中邊界Γ1上阻尼系數取常數λ=2，μ=2，下面考慮阻尼系數為連續函數的情況。取λ=，Dirichlet數據仍為 f(z0(t))=1，得到圖2所示重構結果。

圖1 用精確測量數據和6%擾動數據重構橢圓邊界形狀

圖2 用精確測量數據和6%擾動數據重構橢圓邊界形狀

圖2中左圖選取的正則化參數為αγ=10－2，αζ=10－1，迭代步數it=9。圖2中右圖選取的正則化參數為 αγ=10－2，αζ=10－2，迭代步數 it=7。

例2:考慮梨邊界，其參數化形式為

給定Dirichlet數據 f(z0(t))=1，Γ1上的阻尼系數為，同樣用精確數據和擾動數據可以得到圖3所示的結果。

圖3 用精確測量數據和3%擾動數據重構梨邊界形狀

圖3中2個圖選取的正則化參數均為αγ=9×10－1，αζ=10－2，迭代步數 it=6。考慮對不同的Dirichlet數據f(z0(t))=1+sin2t重構梨邊界形狀，Γ1上的阻尼系數仍為=1+cos4t，得到圖4所示的重構結果。

圖4中2個圖選取的正則化參數均為αγ=10－1，αζ=5 ×10－1，迭代步數 it=6。這個算例說明對邊界Γ0上不同的柯西數據提出的正則化迭代算法仍然是有效的。

例3:考慮蘋果邊界，其參數化形式為

取定 Dirichlet數據 f(z0(t))=1+sin2t，Γ1上的阻尼系數為，得到圖 5所示的重構結果。

圖4 用精確測量數據和3%擾動數據重構梨邊界形狀

圖5 用精確測量數據和3%擾動數據重構蘋果邊界形狀

圖5中左圖選取的正則化參數為αγ=10－3，αζ=6 ×10－2，迭代步數 it=13。圖 5 中右圖選取的正則化參數為 αγ=10－3，αζ=10－3，迭代步數 it=15。

通過上述3個數值例子可以看出，本文提出的重構內部邊界形狀的非線性積分方程法是有效的，無論Γ1上取不同阻尼系數，還是Γ0上取不同的Dirichlet數據，該算法都能很好的重構內部邊界形狀，并且對數據誤差是穩定的。

致謝:感謝導師劉繼軍教授在本文完成中的討論和提出的有效建議。

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