中學數學課堂問題設計與思維品質的培養

徐欣然

問題的設計是課堂教學的關鍵，通過問題的提出不僅可以點燃學生思維的火花、引起學生求知的欲望，而且能夠啟迪學生的智慧。數學家華羅庚指出：學習數學最好到數學家的字簍里找教材，不要只看到教材結論，他在書上給你看的結論不過兩三行，可是他在寫出這個兩三行以前，不知花了多少心血，經歷了多少困難與挫折，稿紙不知用去了多少張，他成功的歷程就是由這些稿紙記錄下來的[1]。正是因為這些數學教材的完美表述形式，將數學思維過程的本質特征掩蓋起來了。因此，教師在課堂教學過程中，既要挖掘教材中有一定價值的知識內容，還要將其設計成有一定情境的數學問題，以誘發學生探究數學本質的欲望和動機，從而達到發展學生思維能力、全面提高學生數學素質的目的。

一、中學生思維劣勢分析

現代教育心理學研究表明，學生數學思維的發展呈現年齡特征，即在一定年齡階段內所表現出來的一般的、本質的、典型的特征。通常要經歷直觀行動思維、具體形象思維到抽象邏輯思維（包括辯證思維）等階段[2]。就中學生這一群體來說，在整個中學階段，學生的思維發展迅速，可以說是學生數學思維發展的“關鍵期”。自我意識、自我監控、自我調節、自我反思能力逐漸增強；思維過程中追求新穎、獨特、個性。與此同時，中學生在學習過程中思維存在著一定的缺陷，主要存在以下幾個方面的問題。

1.思維的片面化

《數學課程標準》指出：有效的數學學習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學生學習數學的重要方式。學生的數學學習活動應當是一個生動活潑和富有個性的過程[3]。但在真實的數學課堂中，由于學生對所學的知識缺乏系統的掌握，對已學的知識熟練程度不強，大多數學生不善于從多角度、多方面、多維度去考慮。對于所學的內容在理解上呈現出孤立、間斷狀態，從而在學習過程中缺乏建立和完善思維的整體結構，更會影響到新知識的理解。

2.思維的低層次化

數學思維是人腦對數學現象的本質屬性、內部規律自覺的、間接的概括反映。由于年齡特征及知識發展水平的局限，大部分中學生的數學學習僅滿足于對數學結論如公式、定理、性質等的套用。只重視知識的內涵，忽視其外延，學生對于記憶性的題目、難度較小的題目學習動機比較強，但是一旦遇到綜合性強、難度大的題目時，便無從下手。這反映出學生的思維變通性、應變能力較差，主要靠直觀思維來解決具體、形象的問題，思維層次較低。

3.思維的無序化

一般說來，數學思維就是按由低層次向高層次順序不斷發展的，這種發展是高層次思維形態以低層次思維形態為基礎，高層次形態的出現與發展又反過來帶動、促進低層次思維形態由低水平向高水平發展[4]。這充分體現了數學思維的發展規律，但在這一特殊的階段，學生的思維不具目的性，思維常常呈現出顛三倒四的無序狀態，特別是在幾何證明題目中，缺乏簡潔、準確、流暢的表達能力，證明的推理沒根沒據，找出的關系沒因沒果。

二、巧設課堂問題，提升思維品質

重視培養中學生的數學思維能力，讓學生學會“數學地思維”，由強調“問題解決”向更重視“數學地思維”發展，這已成為數學課堂所追求的理想教學。因此，在教學實踐中，教師必須要根據中學生的思維特點及發展規律，努力為學生創設積極主動、渴求知識的學習氛圍。贊科夫說過：“不管你花費多少力氣給學生解釋掌握知識的意義，如果教學情境設計不能激起學生對知識的渴望，那么這些解釋就將落空。”[5]本文選取了中學數學課堂教學中的典型案例為主線，試圖從課堂問題設計的新角度、多層次、多側面的方式對學生分析、解決問題進行考察與思考，從而通過課堂提問提升思維的品質。

1.設計探究問題，誘發思維靈感

理想的數學課堂是學生火熱思考、自我超越、自我完善的課堂。師生在課堂上要不斷地進行思維碰撞，努力實現“百花齊放”、“百家爭鳴”的課堂模式，這就為教師在組織課堂教學時提出了更高的要求。“學起于思，思源于疑”，教師設計的問題要留出“空白”，給學生的思考讓位，同時，要注重問題的思維價值。

以人教版數學教材七年級上冊§2.2節《合并同類項》教學案例進行分析，合并同類項是本章的一個重點，其法則的應用是整式加減的基礎，也是以后學習解方程、解不等式的基礎。授課教師首先以學生生活最為熟悉、簡單的事物進行分類作為導入，讓學生按照種類、等級或性質分別歸類，將其分類的概念引入數學新知。其次，教師呈現數學問題：將下列單項式歸類：3x2y，-2，4m，5xy2，-ab，ba，-6xy2，3，-4x2y，m。不少學生在歸類時要么會重復，要么會遺漏，有些甚至不能按照自己劃分的分類標準進行歸類。教師在教學過程中首先要引導學生確定分類標準，再進行歸類。如：按照系數正負歸類、按照指數相同的類進行劃分等。

2.設計陷阱問題，制造思維沖突

中學生的年齡和心理特征決定他們習慣孤立地、靜止地看問題，急于求成，欠缺深入的思考。教師針對中學生這一特點，可以有意按照學生常見的、多發的歧路，故意制造思維沖突的問題，從而提高學生自我監控能力，搞清問題之所在，增強防止錯誤的免疫力。

如：1.等腰三角形的兩邊長是5，2，求等腰三角形的周長。

解：5，5，2能圍成三角形，周長12。2，2，5不能圍成三角形。所以此題答案只有一個12，回答12或9的反而錯。

2.已知x為實數，且3/（x2+2x）-（x2+2x）=2，試求x2+2x的值。

許多同學都容易想到用換元法，設x2+2x=y，從而得y1=1，y2=-3，所以得出x2+2x的值為1或-3，卻沒有考慮到在這樣的代換中，x是否有實數解，比如當y=-3時，方程x2+2x=-3沒有實數解，所以x2+2x的值為1。

“陷阱題”與常規題不同，它具有較大的迷惑性，較好的隱蔽性。教學過程中，教師設計這類問題時很容易發現學生數學思維存在的缺陷，可以矯正學生知識掌握不準確、考慮問題不全面等不良思維習慣。

3.設計變式問題，跳出思維定勢

在中學數學教學上，思維定勢的局限性主要表現在解決新問題時，盲目地照搬舊經驗，不注意新舊問題間的差異。在分析解決問題時，人們的思維在新的情景中往往難以靈活地思考，容易受到舊框框的束縛，從而導致對新問題與舊問題之間的差異和條件的變遷認識不清，常常發生生搬硬套、張冠李戴的錯誤。因此，教師在課堂問題設計時要有意識地讓學生打破思維定勢。

1.判斷題：ΔABC的三條邊分別為a、b、c，并且a2+b2≠c2，則ΔABC就不是直角三角形。

學生受思維定勢影響，此題很容易作出肯定判斷。由a2+b2=c2可以立即判斷ΔABC是直角三角形，但它只是充分條件，而非必要條件。c并不一定是斜邊，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.證明題：在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。這兩個三角形相似嗎？

部分學生會認為∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不滿足“如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似”的判定條件。因此，會得出△ABC與△A'B'C不相似的錯誤答案。但實際上，學生是受到思維定勢的影響，認為三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定條件要求的是對應的夾角相等，因此，△ABC與△A'B'C有可能相似。

4.設計拓展問題，培養思維發散

發散思維的培養是從同一來源材料求不同答案的思維過程和方法，思維方向分散于不同方面，即向不同方面進行思考。發散思維要求學生善于聯想、思路寬闊；要求他們善于分解組合、引申推導、靈活變通。如：

已知：如圖（1）直線AB//CD，P是AB和CD之間的一點。求證：∠ABP+∠PDC=∠BPD

圖（1）

對于數學問題的解決，教師可以引導學生構造多種數學模型，幫助他們進行數學想象，并在探究、交流中伴以實際操作，鼓勵他們發散思維，將數學問題嵌入到活動的思維中，并不斷地使學生在做數學、談數學、用數學的過程中學習知識，掌握方法，構造模型，形成數學思維能力。它是以豐富的知識為依據，從事物的不同方面和不同聯系認識條件。教師應該加以引導，這樣訓練效果更加理想，啟發了學生的聯想。

本題是一道典型的可以實現“一題多解”的題目，因此，教師設計本題目不僅僅是為了解決數學問題，更為重要的是讓學生學會多種解題的思路，在教師提出的已知條件基礎上，讓學生進行多角度的理解想象，從而達到能夠很好地訓練學生思維的廣闊性和靈活性的目的。主要有以下幾種：

證法一：過點P向右作PE∥AB

則有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

證法二：過點P向左作PE∥AB

則有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

證法三：延長BP，交CD于點E

則∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前蘇聯國家元首加里寧所說：“數學是思維的體操。”[6]在數學教學中，教師要千方百計地通過學生學習數學知識，全面揭示數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。

參考文獻

[1] 張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱維宗，唐敏.聚焦數學教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建躍.創造力研究與數學教學.數學通報，1997（12）.

[4] 吳洪.培養數學交流能力的探索.上海中學數學，2005（9）.

[5] 中華人民共和國教育部制訂.數學課程標準（實驗稿）.北京師范大學出版社，2001.

[6] 張碩.數學能力比較研究.甘肅學院學報（自然科學版），2001（1）.

【責任編輯 鄭雪凌】

3.設計變式問題，跳出思維定勢

在中學數學教學上，思維定勢的局限性主要表現在解決新問題時，盲目地照搬舊經驗，不注意新舊問題間的差異。在分析解決問題時，人們的思維在新的情景中往往難以靈活地思考，容易受到舊框框的束縛，從而導致對新問題與舊問題之間的差異和條件的變遷認識不清，常常發生生搬硬套、張冠李戴的錯誤。因此，教師在課堂問題設計時要有意識地讓學生打破思維定勢。

1.判斷題：ΔABC的三條邊分別為a、b、c，并且a2+b2≠c2，則ΔABC就不是直角三角形。

學生受思維定勢影響，此題很容易作出肯定判斷。由a2+b2=c2可以立即判斷ΔABC是直角三角形，但它只是充分條件，而非必要條件。c并不一定是斜邊，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.證明題：在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。這兩個三角形相似嗎？

部分學生會認為∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不滿足“如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似”的判定條件。因此，會得出△ABC與△A'B'C不相似的錯誤答案。但實際上，學生是受到思維定勢的影響，認為三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定條件要求的是對應的夾角相等，因此，△ABC與△A'B'C有可能相似。

4.設計拓展問題，培養思維發散

發散思維的培養是從同一來源材料求不同答案的思維過程和方法，思維方向分散于不同方面，即向不同方面進行思考。發散思維要求學生善于聯想、思路寬闊；要求他們善于分解組合、引申推導、靈活變通。如：

已知：如圖（1）直線AB//CD，P是AB和CD之間的一點。求證：∠ABP+∠PDC=∠BPD

圖（1）

對于數學問題的解決，教師可以引導學生構造多種數學模型，幫助他們進行數學想象，并在探究、交流中伴以實際操作，鼓勵他們發散思維，將數學問題嵌入到活動的思維中，并不斷地使學生在做數學、談數學、用數學的過程中學習知識，掌握方法，構造模型，形成數學思維能力。它是以豐富的知識為依據，從事物的不同方面和不同聯系認識條件。教師應該加以引導，這樣訓練效果更加理想，啟發了學生的聯想。

本題是一道典型的可以實現“一題多解”的題目，因此，教師設計本題目不僅僅是為了解決數學問題，更為重要的是讓學生學會多種解題的思路，在教師提出的已知條件基礎上，讓學生進行多角度的理解想象，從而達到能夠很好地訓練學生思維的廣闊性和靈活性的目的。主要有以下幾種：

證法一：過點P向右作PE∥AB

則有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

證法二：過點P向左作PE∥AB

則有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

證法三：延長BP，交CD于點E

則∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前蘇聯國家元首加里寧所說：“數學是思維的體操。”[6]在數學教學中，教師要千方百計地通過學生學習數學知識，全面揭示數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。

參考文獻

[1] 張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱維宗，唐敏.聚焦數學教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建躍.創造力研究與數學教學.數學通報，1997（12）.

[4] 吳洪.培養數學交流能力的探索.上海中學數學，2005（9）.

[5] 中華人民共和國教育部制訂.數學課程標準（實驗稿）.北京師范大學出版社，2001.

[6] 張碩.數學能力比較研究.甘肅學院學報（自然科學版），2001（1）.

【責任編輯 鄭雪凌】

3.設計變式問題，跳出思維定勢

在中學數學教學上，思維定勢的局限性主要表現在解決新問題時，盲目地照搬舊經驗，不注意新舊問題間的差異。在分析解決問題時，人們的思維在新的情景中往往難以靈活地思考，容易受到舊框框的束縛，從而導致對新問題與舊問題之間的差異和條件的變遷認識不清，常常發生生搬硬套、張冠李戴的錯誤。因此，教師在課堂問題設計時要有意識地讓學生打破思維定勢。

1.判斷題：ΔABC的三條邊分別為a、b、c，并且a2+b2≠c2，則ΔABC就不是直角三角形。

學生受思維定勢影響，此題很容易作出肯定判斷。由a2+b2=c2可以立即判斷ΔABC是直角三角形，但它只是充分條件，而非必要條件。c并不一定是斜邊，如a=5，b=3，c=4等，a2+b2≠c2，但ΔABC仍是直角三角形。

2.證明題：在△ABC與△A'B'C'中，∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°。這兩個三角形相似嗎？

部分學生會認為∠A=∠A'=70°，∠B=60°，∠B'=50°，不滿足“如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似”的判定條件。因此，會得出△ABC與△A'B'C不相似的錯誤答案。但實際上，學生是受到思維定勢的影響，認為三角形相似就一定要是∠A=∠A'，∠B=∠B'，而判定條件要求的是對應的夾角相等，因此，△ABC與△A'B'C有可能相似。

4.設計拓展問題，培養思維發散

發散思維的培養是從同一來源材料求不同答案的思維過程和方法，思維方向分散于不同方面，即向不同方面進行思考。發散思維要求學生善于聯想、思路寬闊；要求他們善于分解組合、引申推導、靈活變通。如：

已知：如圖（1）直線AB//CD，P是AB和CD之間的一點。求證：∠ABP+∠PDC=∠BPD

圖（1）

對于數學問題的解決，教師可以引導學生構造多種數學模型，幫助他們進行數學想象，并在探究、交流中伴以實際操作，鼓勵他們發散思維，將數學問題嵌入到活動的思維中，并不斷地使學生在做數學、談數學、用數學的過程中學習知識，掌握方法，構造模型，形成數學思維能力。它是以豐富的知識為依據，從事物的不同方面和不同聯系認識條件。教師應該加以引導，這樣訓練效果更加理想，啟發了學生的聯想。

本題是一道典型的可以實現“一題多解”的題目，因此，教師設計本題目不僅僅是為了解決數學問題，更為重要的是讓學生學會多種解題的思路，在教師提出的已知條件基礎上，讓學生進行多角度的理解想象，從而達到能夠很好地訓練學生思維的廣闊性和靈活性的目的。主要有以下幾種：

證法一：過點P向右作PE∥AB

則有∠ABP=∠BPE又∵AB∥CD

∴PE∥CD，∴∠EPD=∠PDC

因此，∠ABP+∠PDC=∠BPE+∠EPD=∠BPD

證法二：過點P向左作PE∥AB

則有∠ABP+∠BPE=180°易得PE∥CD

∴∠EPD+∠PDC=180°

故有∠ABP+∠BPE+∠EPD+∠PDC=360°

又∵∠BPE+∠EPD+∠BPD=360°

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

證法三：延長BP，交CD于點E

則∠BPD=∠PED+∠PDC

∵AB∥CD， ∴∠ABP=∠PED

∴∠ABP+∠PDC=∠BPD

正如前蘇聯國家元首加里寧所說：“數學是思維的體操。”[6]在數學教學中，教師要千方百計地通過學生學習數學知識，全面揭示數學思維過程，啟迪和發展學生思維，將知識發生、發展過程與學生學習知識的心理活動統一起來。

參考文獻

[1] 張奠宙，李士锜，李俊.數學教育學導論.北京：高等教育出版社，2003.

[2] 朱維宗，唐敏.聚焦數學教育.昆明：云南民族出版社，2005.

[3] 章建躍.創造力研究與數學教學.數學通報，1997（12）.

[4] 吳洪.培養數學交流能力的探索.上海中學數學，2005（9）.

[5] 中華人民共和國教育部制訂.數學課程標準（實驗稿）.北京師范大學出版社，2001.

[6] 張碩.數學能力比較研究.甘肅學院學報（自然科學版），2001（1）.

【責任編輯 鄭雪凌】