一道初中數學習題的拓廣與證明初探

張宗相

【關鍵詞】初中數學 習題 拓廣 證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數學課堂教學改革，優化課堂結構，培養學生的思維創新能力，從而提高課堂教學質量，是當今數學課堂教學研究的一個重要內容。數學課堂的核心任務是讓學生提出問題，培養他們養成勤提問的良好習慣，促進學生創新思維能力的發展。例題或習題的拓廣無疑是培養學生提出問題的一個重要方式。教材中的例題、習題的拓廣與證明是經過數學專家精心篩選出來的，具有經典性與代表性，理應引起我們一線教師的重視。現以新人教版八年級數學下冊第122頁的習題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

說明：此題是人教版八年級數學下冊第十九章《四邊形》復習題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數學章節復習題分三個層次展開，循序漸進、由淺入深：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索。“復習鞏固”環節是對本章基礎知識與基本技能的重溫與再現，旨在強化學生的“雙基”；“綜合運用”環節題是對知識在數學生活與實際生活中的應用，旨在培養學生應用所學知識解決實際問題的能力；而“拓廣探索”環節不僅是對知識內涵的拓展，更是知識應用的外延，旨在培養學生的探究能力與創新能力。為了降低學生的解題難度，本題還進行了方法提示。

證明：取AB的中點G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點G、點E分別是AB、BC的中點

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個動點，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點是由點E是線段BC的中點拓廣為點E線段BC的上的一個動點，體現數學問題由“靜”到“動”的變化，達到課堂活躍之功效，提升了學生學習數學的興趣，培養了學生用動態的觀點解決數學問題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長線上的一個動點，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎上繼續向外延伸，點E由在有限區間運動延伸到無限區間運動，讓學生的發散思維能力達到了一個更廣闊的空間，學生學習的積極性進一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問題的能力得到了加強。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長線上的一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長線于點F.

AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當點E是線段BC的反向延長線上的一個動點時，學生的好奇心再次被激發，求知欲得到增強。在教師的引導下，學生通過猜想、探索、討論、對比、驗證，由“山重水復”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個拓廣題的證明過程來看，用到了分類討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結果卻是殊途同歸——證明兩個三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點E在線段BC的延長線上，則其解題策略是在線段BA的延長線上截取AG=CE，而拓廣三中當點E在BC的反向延長線上時，其解題策略是在BA的反向延長線上取截取BG=BE。通過這種解題方法的指引，讓學生掌握類比探究的解題方法，達到了教是為了不教的教學效果。

總之，在初中數學的問題解決中，我們要引導學生對問題會變、善變，深入挖掘課本中例題、習題的潛在功能，以點帶面，不僅能提高學生學習數學的積極性與主動性，提高學習興趣，最大限度地誘發學生的解題欲望，而且問題的拓廣有利于培養學生的發散思維能力與創新思維能力，取得舉一反三、觸類旁通的教學效果。

【關鍵詞】初中數學 習題 拓廣 證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數學課堂教學改革，優化課堂結構，培養學生的思維創新能力，從而提高課堂教學質量，是當今數學課堂教學研究的一個重要內容。數學課堂的核心任務是讓學生提出問題，培養他們養成勤提問的良好習慣，促進學生創新思維能力的發展。例題或習題的拓廣無疑是培養學生提出問題的一個重要方式。教材中的例題、習題的拓廣與證明是經過數學專家精心篩選出來的，具有經典性與代表性，理應引起我們一線教師的重視。現以新人教版八年級數學下冊第122頁的習題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

說明：此題是人教版八年級數學下冊第十九章《四邊形》復習題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數學章節復習題分三個層次展開，循序漸進、由淺入深：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索。“復習鞏固”環節是對本章基礎知識與基本技能的重溫與再現，旨在強化學生的“雙基”；“綜合運用”環節題是對知識在數學生活與實際生活中的應用，旨在培養學生應用所學知識解決實際問題的能力；而“拓廣探索”環節不僅是對知識內涵的拓展，更是知識應用的外延，旨在培養學生的探究能力與創新能力。為了降低學生的解題難度，本題還進行了方法提示。

證明：取AB的中點G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點G、點E分別是AB、BC的中點

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個動點，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點是由點E是線段BC的中點拓廣為點E線段BC的上的一個動點，體現數學問題由“靜”到“動”的變化，達到課堂活躍之功效，提升了學生學習數學的興趣，培養了學生用動態的觀點解決數學問題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長線上的一個動點，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎上繼續向外延伸，點E由在有限區間運動延伸到無限區間運動，讓學生的發散思維能力達到了一個更廣闊的空間，學生學習的積極性進一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問題的能力得到了加強。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長線上的一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長線于點F.

AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當點E是線段BC的反向延長線上的一個動點時，學生的好奇心再次被激發，求知欲得到增強。在教師的引導下，學生通過猜想、探索、討論、對比、驗證，由“山重水復”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個拓廣題的證明過程來看，用到了分類討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結果卻是殊途同歸——證明兩個三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點E在線段BC的延長線上，則其解題策略是在線段BA的延長線上截取AG=CE，而拓廣三中當點E在BC的反向延長線上時，其解題策略是在BA的反向延長線上取截取BG=BE。通過這種解題方法的指引，讓學生掌握類比探究的解題方法，達到了教是為了不教的教學效果。

總之，在初中數學的問題解決中，我們要引導學生對問題會變、善變，深入挖掘課本中例題、習題的潛在功能，以點帶面，不僅能提高學生學習數學的積極性與主動性，提高學習興趣，最大限度地誘發學生的解題欲望，而且問題的拓廣有利于培養學生的發散思維能力與創新思維能力，取得舉一反三、觸類旁通的教學效果。

【關鍵詞】初中數學 習題 拓廣 證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2014）04A-0080-02

隨著新課程改革的不斷深入，如何深化數學課堂教學改革，優化課堂結構，培養學生的思維創新能力，從而提高課堂教學質量，是當今數學課堂教學研究的一個重要內容。數學課堂的核心任務是讓學生提出問題，培養他們養成勤提問的良好習慣，促進學生創新思維能力的發展。例題或習題的拓廣無疑是培養學生提出問題的一個重要方式。教材中的例題、習題的拓廣與證明是經過數學專家精心篩選出來的，具有經典性與代表性，理應引起我們一線教師的重視。現以新人教版八年級數學下冊第122頁的習題為例，探索本題的拓廣與證明的方法。

問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CF于點F.

求證：AE=EF.（提示：取AB的中點G，連接EG）

說明：此題是人教版八年級數學下冊第十九章《四邊形》復習題中的拓廣探究題（即第15題）。新人教版初中數學章節復習題分三個層次展開，循序漸進、由淺入深：復習鞏固、綜合運用、拓廣探索。“復習鞏固”環節是對本章基礎知識與基本技能的重溫與再現，旨在強化學生的“雙基”；“綜合運用”環節題是對知識在數學生活與實際生活中的應用，旨在培養學生應用所學知識解決實際問題的能力；而“拓廣探索”環節不僅是對知識內涵的拓展，更是知識應用的外延，旨在培養學生的探究能力與創新能力。為了降低學生的解題難度，本題還進行了方法提示。

證明：取AB的中點G，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵點G、點E分別是AB、BC的中點

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一：如圖2，若E是線段BC上的一個動點，其他條件不變，則AE=EF嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：成立，證明如下：

在AB上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣一與原題相比，其最大的特點是由點E是線段BC的中點拓廣為點E線段BC的上的一個動點，體現數學問題由“靜”到“動”的變化，達到課堂活躍之功效，提升了學生學習數學的興趣，培養了學生用動態的觀點解決數學問題的能力。

拓廣二：如圖3，若E是線段BC延長線上的一個動點，其他條件不變，AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在BA的延長線上截取AG=CE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本題在拓廣一的基礎上繼續向外延伸，點E由在有限區間運動延伸到無限區間運動，讓學生的發散思維能力達到了一個更廣闊的空間，學生學習的積極性進一步高漲，變通能力得到了有效提高，解決問題的能力得到了加強。

拓廣三：如圖4，若E是線段CB延長線上的一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CM的反向延長線于點F.

AE=EF成立嗎？若成立，請證明，若不成立，請說明理由。

解：AE=EF成立，證明如下：

在AB的延長線上截取BG=BE，連接GE.

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分線

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓廣三似乎與拓廣二背道而馳，卻能收到意外的效果。當點E是線段BC的反向延長線上的一個動點時，學生的好奇心再次被激發，求知欲得到增強。在教師的引導下，學生通過猜想、探索、討論、對比、驗證，由“山重水復”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悅。

從以上三個拓廣題的證明過程來看，用到了分類討論的思想，其解題思路與方法看似不同，其結果卻是殊途同歸——證明兩個三角形全等。而輔助線的作法又是那么相似，例如拓廣二中的點E在線段BC的延長線上，則其解題策略是在線段BA的延長線上截取AG=CE，而拓廣三中當點E在BC的反向延長線上時，其解題策略是在BA的反向延長線上取截取BG=BE。通過這種解題方法的指引，讓學生掌握類比探究的解題方法，達到了教是為了不教的教學效果。

總之，在初中數學的問題解決中，我們要引導學生對問題會變、善變，深入挖掘課本中例題、習題的潛在功能，以點帶面，不僅能提高學生學習數學的積極性與主動性，提高學習興趣，最大限度地誘發學生的解題欲望，而且問題的拓廣有利于培養學生的發散思維能力與創新思維能力，取得舉一反三、觸類旁通的教學效果。