高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的簡(jiǎn)單應(yīng)用

楊潔 張玉杰 張園園

［摘要］本文通過(guò)實(shí)例介紹了高等數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)管理中的幾個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用，使抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，便于學(xué)生對(duì)相關(guān)專業(yè)知識(shí)的理解和掌握。

［關(guān)鍵詞］邊際函數(shù)彈性經(jīng)濟(jì)函數(shù)

［中圖分類號(hào)］O13［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］A［文章編號(hào)］2095-3437（2013）08-0056-02

在經(jīng)濟(jì)管理中，數(shù)學(xué)知識(shí)是必不可少的，本文就如何把高等數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)用于解決相關(guān)問(wèn)題加以討論。這有助于相關(guān)專業(yè)學(xué)生更好地掌握專業(yè)知識(shí)。

一、連續(xù)復(fù)利——e在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

利息是銀行對(duì)儲(chǔ)蓄（或借貸）所支付（或收取）的除本金以外的貨幣。銀行支付（或收取）利息的多少，以利率的高低來(lái)表示

單位時(shí)間的利率=單位時(shí)間的利息/存入的本金

（一）單利

設(shè)本金為A0（可指投資,存款等），年利率是i，所謂單利是指僅按本金A0計(jì)算利息。例如：A0的投資時(shí)間為t年，那么七年后,可得單利:I=A0it

本利和是A=A0+I=A0（1+it）

例如：1000元投資5年，年利率6%，于是5年后共得單利

I=1000×0.06=300（元），A=1000+300=1300（元）

（二）復(fù)利

所謂復(fù)利是指經(jīng)過(guò)一年時(shí)間，將所生利息加入本金再生利息。逐期滾算。

假定本金是A0元，那么一年后的利息是A0i，此時(shí)本金就成了

A0+A0i=A0（1+i）

再經(jīng)過(guò)一年又得復(fù)利iA0（1+i）

本金成了A0（1+i）2,

依次類推，t年后本金A（t）就成了A（t）=A0（1+i）t

例如：將1000元投資5年，年利率6%，按年計(jì)算復(fù)利，那么5年后本金就A（5）=1000（1+0.06）5＝1338.23（元）,利息是338.23元。

設(shè)年利率為i，如果一年計(jì)算m次復(fù)利，那么t年后就計(jì)算mt次，每次的利率算作■。設(shè)本金為A0元，年利率為i，每年計(jì)算復(fù)利m次，那么t年后本金為A（t）=A0（1+■）mt。

例如：將1000元投資5年，年利率6%，每年計(jì)算復(fù)利4次，那么5年后本金就成了A（5）=1000（1+■）5×4=1346.86（元），利息是346.86元。

（三）連續(xù)復(fù)利

A（t）=■A0（1+■）mt＝A0■［（1+■）■］it=A0eit

這種計(jì)利方法稱為連續(xù)復(fù)利。

連續(xù)復(fù)利的計(jì)算方法在其他許多問(wèn)題中也常有應(yīng)用，如：細(xì)胞分裂、樹(shù)木的生長(zhǎng)等。

二、邊際與彈性——導(dǎo)數(shù)與微分的簡(jiǎn)單應(yīng)用

（一）邊際概念

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際表示的是變化率，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù)。

如：成本函數(shù)C（x）的導(dǎo)數(shù)C′（x）稱為邊際成本函數(shù)。

邊際成本具有怎樣的經(jīng)濟(jì)意義？

當(dāng)產(chǎn)量由原產(chǎn)量x單位增加一個(gè)單位（Δx=1）時(shí)，成本C（x）的真值為C（x+1）-C（x），但當(dāng)產(chǎn)量的單位很小或一個(gè)單位與原產(chǎn)量x值相比很小時(shí)，則由近似式■=■≈C′（x）（|Δx|很小時(shí)）

取Δx=1，得C（x+1）-C（x）≈C′（x）

這表明當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到x時(shí)，再增加生產(chǎn)一個(gè)單位，成本的增加值就可以用邊際成本C′（x）近似表示。這就是邊際成本實(shí)際的經(jīng)濟(jì)意義。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通常略去“近似”二字，將邊際成本C′（x）解釋為：

當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到x時(shí)，再增加生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品所增加的成本。或生產(chǎn)x+1個(gè)產(chǎn)品所需的成本。

例如：設(shè)生產(chǎn)x件某產(chǎn)品的成本為C（x）＝200+0.03x2

生產(chǎn)100件的總成本為C（100）=200+0.03×（100）2=500

每件產(chǎn)品的平均成本是■=■=5

邊際成本函數(shù)為C′（x）=0.06x

產(chǎn)量在100件時(shí)的邊際成本為C′（x）=0.06×100=6

它近似表示生產(chǎn)第101產(chǎn)品的成本。這件產(chǎn)品的真值是

ΔC=C（100+1）-C（100）=6.03

除邊際成本函數(shù)外，收入函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際收入函數(shù)；利潤(rùn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際利潤(rùn)函數(shù)；需求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)等。他們的實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義都可以如邊際成本一樣理解。

（二）彈性概念

經(jīng)濟(jì)學(xué)中把一個(gè)變量對(duì)另一個(gè)變量相對(duì)變化的反映程度稱為彈性。

例如：需求對(duì)價(jià)格的彈性就是商品需求量對(duì)價(jià)格相對(duì)變化的程度。設(shè)需求函數(shù)x=f（p），其中x需求量，p是價(jià)格，η=p■

由于Δp很小時(shí)，η=p■≈■■所以需求彈性近似表示在價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格變動(dòng)1％，需求量將變化|η|%，通常也略去“近似”二字．一般來(lái)說(shuō)，需求函數(shù)是一個(gè)減函數(shù)，需求量隨價(jià)格的提高而減少，因此需求彈性一般是負(fù)值，它反映了商品需求量對(duì)價(jià)格變化反應(yīng)的強(qiáng)烈程度，即靈敏度。

對(duì)任何函數(shù)都可以建立彈性，一般地，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x處的彈性定義

為η=x■

它表示的是相對(duì)變化率。相對(duì)變化率便于比較不同市場(chǎng)的需求對(duì)價(jià)格變動(dòng)的反應(yīng)。它是無(wú)綱量。便于比較單位價(jià)格不一致的單位的靈敏度。

通常表示為：εyx=■=■■

例如：某種產(chǎn)品的需求量x與價(jià)格p的關(guān)系為x（p）=1600（■）p，

（1）求需求彈性η（p）;（2）當(dāng)商品的價(jià)格p=10元時(shí)，再增加1％，求該商品需求量變化情況。

解:需求彈性η（p）＝p■=p×ln■=（-2ln2）≈-1.39p

需求彈性為負(fù)，說(shuō)明商品價(jià)格p增加1％時(shí)，商品需求量將減少1.39p%

當(dāng)商品價(jià)格p=10元時(shí) η（10）≈-13.9

這表示價(jià)格p＝10元時(shí)，再增加1％，商品的需求量將增加13.9p%，如價(jià)格降低1％，商品的需求量將增加13.9p%。

三、積分在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用

例：已知某商品每天生產(chǎn)x單位時(shí)，邊際成本為C′（x）=0.4x+2（元／單位），其固定成本是20元，求總成本函數(shù)C（x）。如果這種商品規(guī)定的銷售單價(jià)為18元，且產(chǎn)品可以全部售出，求總利潤(rùn)函數(shù)L（x），并問(wèn)每天生產(chǎn)多少單位，總利潤(rùn)最大？

解可變成本就是邊際成本函數(shù)在［0，x］上的定積分，又已知固定成本為20元，所以總成本函數(shù)C（x）=■（0.4t+2）dt+20=0.2x2+2x+20

當(dāng)銷售單價(jià)為18元時(shí)，總利潤(rùn)函數(shù)為

L（x）＝R（x）-C（x）=-0.2x2+1.6x-20

由L′（x）=-0.4x+16=0，得x=40

又因?yàn)長(zhǎng)″（x）=-0.4＜0，所以，每天生產(chǎn)40單位可獲最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為L(zhǎng)（40）=300（元）。

高等數(shù)學(xué)在其它各個(gè)領(lǐng)域中的應(yīng)用不勝枚舉：如物理學(xué)中有速度、加速度、角速度、線密度、電流、功率、溫度梯度、衰變率、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、非均勻細(xì)桿的質(zhì)量、變力沿直線作功、抽水作功、引力等等；化學(xué)中有擴(kuò)散速度、反應(yīng)速度，溶液連續(xù)稀釋問(wèn)題等；生物學(xué)中有（種群）出生率、死亡率、自然生長(zhǎng)率等等；社會(huì)學(xué)中有信息的傳播速度、時(shí)尚的推廣、人口自然增長(zhǎng)規(guī)律等，幾何學(xué)中曲線的切線問(wèn)題，曲邊圖形的面積等這類涉及微小量無(wú)窮積累的問(wèn)題。這些都可以用高等數(shù)學(xué)加以討論。

［參考文獻(xiàn)］

［1］楊潔.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：人民衛(wèi)生出版社，2012.

［2］劉桂茹，孫永華.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)［M］.天津：南開(kāi)大學(xué)出版社，2003.

［責(zé)任編輯：左蕓］