例說(shuō)中考正方形探究問(wèn)題

黃細(xì)把

在近幾年中考試題中，經(jīng)常遇到正方形探究問(wèn)題。解答時(shí)，同學(xué)們要注意從正方形出發(fā)，靈活利用正方形的性質(zhì)或判定。現(xiàn)舉例說(shuō)明。

一、探究結(jié)論型

例1（2013年遼寧省鞍山市中考題）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE。

（1）求證：CE＝CF；

（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

分析（1）要證明CE＝CF，只需證明△CBE≌△CDF；（2）三條線段之間的和差問(wèn)題通常轉(zhuǎn)為兩條線段相等問(wèn)題。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。

解（1）在正方形ABCD中，

因?yàn)锽C＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，

所以△CBE≌△CDF（SAS）。

所以CE＝CF。

（2）GE＝BE＋GD成立。

因?yàn)椤鰿BE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。

因?yàn)椤螧CD＝90°，∠GCE＝45°，

所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。

所以∠GCF＝45°＝∠GCE。

因?yàn)镃F＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。

所以GF＝GE。

因?yàn)镚F＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。

二、探究條件型

例2 （2013年遼寧省鐵嶺市中考題）如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE＝OD，連接AE、BE。

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由。

分析（1）因?yàn)镺A＝OB，OE＝OD，所以四邊形AEBD是平行四邊形。要證明它是矩形，只需再證明它有一個(gè)內(nèi)角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，則∠BAD＝■∠EAD＝45°。這時(shí)∠BAC＝2∠BAD＝90°。

解（1）因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝OB。

因?yàn)镺E＝OD，

所以四邊形AEBD是平行四邊形。

因?yàn)锳B＝AC，AD是△ABC的角平分線，

所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。

所以平行四邊形AEBD是矩形。

（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，矩形AEBD是正方形。理由如下：

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，AB＝AC，

所以∠BAC＝90°。

因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，

所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。

所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。

所以矩形AEBD是有一組鄰邊相等的矩形。

所以矩形AEBD是正方形。

三、探究存在型

例3（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F。

（1）求證：AE＝EP；

（2）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析（1）在BA邊上截取BK＝BE，連接KE。要證明AE＝EP，只需證明△AKE≌△ECP；（2）假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，點(diǎn)M為過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線與AB的交點(diǎn)。接下去只需探究四邊形DMEP是否是平行四邊形。若是，就存在；否則，不存在。

解（1）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，則△BEK是等腰直角三角形，則∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。

因?yàn)椤螪CN＝90°，CP平分∠DCN，

所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。

所以∠AKE＝∠ECP。

因?yàn)锳B＝CB，BK＝BE，

所以AK＝EC。

因?yàn)椤螮AK＝90°－∠AEB＝∠PEC，

所以△AKE≌△ECP（ASA）。

所以AE＝EP。

（2）存在。過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE與AB交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為符合要求的點(diǎn)（ASA）。理由如下：

因?yàn)镈M⊥AE，EP⊥AE，

所以DM∥PE。

因?yàn)椤螧AE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，

所以△ABE≌△DAM（ASA）。

所以AE＝DM。

因?yàn)锳E＝EP，所以DM＝EP。

所以四邊形DMEP為平行四邊形。

在近幾年中考試題中，經(jīng)常遇到正方形探究問(wèn)題。解答時(shí)，同學(xué)們要注意從正方形出發(fā)，靈活利用正方形的性質(zhì)或判定。現(xiàn)舉例說(shuō)明。

一、探究結(jié)論型

例1（2013年遼寧省鞍山市中考題）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE。

（1）求證：CE＝CF；

（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

分析（1）要證明CE＝CF，只需證明△CBE≌△CDF；（2）三條線段之間的和差問(wèn)題通常轉(zhuǎn)為兩條線段相等問(wèn)題。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。

解（1）在正方形ABCD中，

因?yàn)锽C＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，

所以△CBE≌△CDF（SAS）。

所以CE＝CF。

（2）GE＝BE＋GD成立。

因?yàn)椤鰿BE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。

因?yàn)椤螧CD＝90°，∠GCE＝45°，

所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。

所以∠GCF＝45°＝∠GCE。

因?yàn)镃F＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。

所以GF＝GE。

因?yàn)镚F＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。

二、探究條件型

例2 （2013年遼寧省鐵嶺市中考題）如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE＝OD，連接AE、BE。

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由。

分析（1）因?yàn)镺A＝OB，OE＝OD，所以四邊形AEBD是平行四邊形。要證明它是矩形，只需再證明它有一個(gè)內(nèi)角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，則∠BAD＝■∠EAD＝45°。這時(shí)∠BAC＝2∠BAD＝90°。

解（1）因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝OB。

因?yàn)镺E＝OD，

所以四邊形AEBD是平行四邊形。

因?yàn)锳B＝AC，AD是△ABC的角平分線，

所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。

所以平行四邊形AEBD是矩形。

（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，矩形AEBD是正方形。理由如下：

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，AB＝AC，

所以∠BAC＝90°。

因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，

所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。

所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。

所以矩形AEBD是有一組鄰邊相等的矩形。

所以矩形AEBD是正方形。

三、探究存在型

例3（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F。

（1）求證：AE＝EP；

（2）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析（1）在BA邊上截取BK＝BE，連接KE。要證明AE＝EP，只需證明△AKE≌△ECP；（2）假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，點(diǎn)M為過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線與AB的交點(diǎn)。接下去只需探究四邊形DMEP是否是平行四邊形。若是，就存在；否則，不存在。

解（1）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，則△BEK是等腰直角三角形，則∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。

因?yàn)椤螪CN＝90°，CP平分∠DCN，

所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。

所以∠AKE＝∠ECP。

因?yàn)锳B＝CB，BK＝BE，

所以AK＝EC。

因?yàn)椤螮AK＝90°－∠AEB＝∠PEC，

所以△AKE≌△ECP（ASA）。

所以AE＝EP。

（2）存在。過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE與AB交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為符合要求的點(diǎn)（ASA）。理由如下：

因?yàn)镈M⊥AE，EP⊥AE，

所以DM∥PE。

因?yàn)椤螧AE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，

所以△ABE≌△DAM（ASA）。

所以AE＝DM。

因?yàn)锳E＝EP，所以DM＝EP。

所以四邊形DMEP為平行四邊形。

在近幾年中考試題中，經(jīng)常遇到正方形探究問(wèn)題。解答時(shí)，同學(xué)們要注意從正方形出發(fā)，靈活利用正方形的性質(zhì)或判定。現(xiàn)舉例說(shuō)明。

一、探究結(jié)論型

例1（2013年遼寧省鞍山市中考題）如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE。

（1）求證：CE＝CF；

（2）若點(diǎn)G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE＋GD成立嗎？為什么？

分析（1）要證明CE＝CF，只需證明△CBE≌△CDF；（2）三條線段之間的和差問(wèn)題通常轉(zhuǎn)為兩條線段相等問(wèn)題。由BE＝DF，得BE＋GD＝DF＋GD＝GF。要探究GE＝BE＋GD是否成立，只需探究GE＝GF是否成立。

解（1）在正方形ABCD中，

因?yàn)锽C＝CD，∠B＝∠CDF＝90°，BE＝DF，

所以△CBE≌△CDF（SAS）。

所以CE＝CF。

（2）GE＝BE＋GD成立。

因?yàn)椤鰿BE≌△CDF，所以∠BCE＝∠DCF。

因?yàn)椤螧CD＝90°，∠GCE＝45°，

所以∠BCE＋∠DCG＝45°，∠DCF＋∠DCG＝45°。

所以∠GCF＝45°＝∠GCE。

因?yàn)镃F＝CE，GC＝GC，所以△CFG≌△CEG（SAS）。

所以GF＝GE。

因?yàn)镚F＝DF＋GD，DF＝BE，所以GE＝BE＋GD。

二、探究條件型

例2 （2013年遼寧省鐵嶺市中考題）如圖2，△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使OE＝OD，連接AE、BE。

（1）求證：四邊形AEBD是矩形；

（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，矩形AEBD是正方形，并說(shuō)明理由。

分析（1）因?yàn)镺A＝OB，OE＝OD，所以四邊形AEBD是平行四邊形。要證明它是矩形，只需再證明它有一個(gè)內(nèi)角是直角；（2）如果矩形AEBD是正方形，則∠BAD＝■∠EAD＝45°。這時(shí)∠BAC＝2∠BAD＝90°。

解（1）因?yàn)辄c(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)A＝OB。

因?yàn)镺E＝OD，

所以四邊形AEBD是平行四邊形。

因?yàn)锳B＝AC，AD是△ABC的角平分線，

所以AD⊥BC，∠ADB＝90°。

所以平行四邊形AEBD是矩形。

（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，矩形AEBD是正方形。理由如下：

因?yàn)椤鰽BC是等腰直角三角形，AB＝AC，

所以∠BAC＝90°。

因?yàn)锳D是△ABC的角平分線，

所以∠BAD＝■∠BAC＝45°，∠ABD＝90°－∠BAD＝45°。

所以∠BAD＝∠ABD，AD＝BD。

所以矩形AEBD是有一組鄰邊相等的矩形。

所以矩形AEBD是正方形。

三、探究存在型

例3（2013年內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市中考題）如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的點(diǎn)，∠AEP＝90°，且EP交正方形ABCD外角的平分線CP于點(diǎn)P，交邊CD于點(diǎn)F。

（1）求證：AE＝EP；

（2）在AB邊上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析（1）在BA邊上截取BK＝BE，連接KE。要證明AE＝EP，只需證明△AKE≌△ECP；（2）假設(shè)存在符合要求的點(diǎn)M，注意到PE⊥AE，那么DM⊥AE。因此，點(diǎn)M為過(guò)點(diǎn)D作AE的垂線與AB的交點(diǎn)。接下去只需探究四邊形DMEP是否是平行四邊形。若是，就存在；否則，不存在。

解（1）在BA邊上截取BK=BE，連接KE，則△BEK是等腰直角三角形，則∠BKE＝45°，∠AKE＝135°。

因?yàn)椤螪CN＝90°，CP平分∠DCN，

所以∠PCN＝45°，∠ECP＝135°。

所以∠AKE＝∠ECP。

因?yàn)锳B＝CB，BK＝BE，

所以AK＝EC。

因?yàn)椤螮AK＝90°－∠AEB＝∠PEC，

所以△AKE≌△ECP（ASA）。

所以AE＝EP。

（2）存在。過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AE與AB交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M即為符合要求的點(diǎn)（ASA）。理由如下：

因?yàn)镈M⊥AE，EP⊥AE，

所以DM∥PE。

因?yàn)椤螧AE＝90°－∠EAD＝∠ADM，AB＝DA，∠ABE＝∠DAM＝90°，

所以△ABE≌△DAM（ASA）。

所以AE＝DM。

因?yàn)锳E＝EP，所以DM＝EP。

所以四邊形DMEP為平行四邊形。