數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)放化與學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展的意義

安嵩

所謂先“學(xué)會(huì)怎么做，再懂得為什么”的教學(xué)方法，雖然可以有效地提高學(xué)生的解題正確率與卷面成績(jī)，卻可能隱藏著“知其然而不知其所以然”的隱患。即學(xué)生只擅長(zhǎng)在理想化條件中按照特定的模式得到答案，而不具備運(yùn)用數(shù)學(xué)手段解決實(shí)際生活中問(wèn)題的能力。上世紀(jì)80年代美國(guó)數(shù)學(xué)教育工作者們也發(fā)現(xiàn)學(xué)生雖有一定的計(jì)算技能和數(shù)學(xué)知識(shí)，但卻嚴(yán)重缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決實(shí)際問(wèn)題的能力。因此，以構(gòu)建主義為原則，以“解決問(wèn)題”為中心的數(shù)學(xué)課程應(yīng)運(yùn)而生，并實(shí)行了20余年，而此“解決問(wèn)題”中所指的“問(wèn)題”即開(kāi)放性問(wèn)題。

1.“封閉”的數(shù)學(xué)教育與創(chuàng)造力和數(shù)感的喪失。

學(xué)校教育或許成為讓學(xué)生降低甚至喪失數(shù)感和數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的一個(gè)重要因素。我在近些年曾經(jīng)做過(guò)一項(xiàng)研究，讓華東某省會(huì)城市一所小學(xué)四至六年級(jí)的各兩個(gè)班的學(xué)生分別去解答一系列相同的開(kāi)放性問(wèn)題，再比較不同年級(jí)學(xué)生的解題方法與最終答案。此項(xiàng)研究的結(jié)果并不符合教師們常規(guī)的預(yù)期，即高年級(jí)學(xué)生應(yīng)該具有更成熟、更多樣化的解題方法，以及更準(zhǔn)確的答案，恰恰相反，我們的研究發(fā)現(xiàn)中年級(jí)學(xué)生反而展現(xiàn)出了更具創(chuàng)造性和可行性的解題方法；同時(shí)，正是由于低年級(jí)學(xué)生的解題方法往往更基于生活常識(shí)背景，且更少地受純數(shù)學(xué)公式和概念的限制，他們的最終答案的準(zhǔn)確率也普遍高于他們的高年級(jí)學(xué)哥學(xué)姐們。

在此項(xiàng)研究中有一道題目是讓四至六年級(jí)的學(xué)生們估算，用他們自己的方法和工具去測(cè)量學(xué)校體育場(chǎng)的面積。此體育場(chǎng)（類似標(biāo)準(zhǔn)田徑場(chǎng)）是一個(gè)由直線和圓弧所組成的“不規(guī)則形狀”，學(xué)生無(wú)法套用幾何面積計(jì)算公式直接得出準(zhǔn)確答案。然而，很多高年級(jí)學(xué)生在估算和測(cè)量體育場(chǎng)面積時(shí)傾向于選擇他們所學(xué)過(guò)的“最高級(jí)”面積單位（如公頃和平方千米），幾何計(jì)算公式（如圓的面積公式）和測(cè)量工具（如卷尺）。在估算方面，高年級(jí)學(xué)生更多地選擇公頃和平方千米作為估算基準(zhǔn)單位同時(shí)配以圓的面積公式來(lái)“精確”他們的答案；在測(cè)量工具選擇方面，高年級(jí)學(xué)生往往只局限于使用有精準(zhǔn)刻度的卷尺。然而，公頃和平方千米作為“大面積單位”在測(cè)量體育場(chǎng)面積時(shí)顯然過(guò)大，加上大部分學(xué)生對(duì)這兩個(gè)面積單位缺乏感性認(rèn)識(shí)，導(dǎo)致很多學(xué)生過(guò)大地估算了體育場(chǎng)的面積；圓的面積公式作為一種理想化的“規(guī)則面積公式”在此例中也不適于進(jìn)行估算與計(jì)算體育場(chǎng)面積；另外，卷尺作為一種相對(duì)精準(zhǔn)的標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)量工具在此例中的使用與其他“非標(biāo)準(zhǔn)化的測(cè)量工具”相比也絲毫不占優(yōu)勢(shì)。最后，相當(dāng)一部分六年級(jí)的學(xué)生確信他們估算答案的準(zhǔn)確性，選擇了不去體育場(chǎng)做實(shí)地測(cè)量而直接用估算答案作為他們的測(cè)量答案，從而導(dǎo)致了較高的錯(cuò)誤率。

反觀四年級(jí)學(xué)生的估算和測(cè)量方法，我們得到了很多驚喜。驚喜之一是學(xué)生們使用了相對(duì)適合的面積單位進(jìn)行估算。在估算方面，“平方米”作為一個(gè)他們?cè)谌粘Ｉ钪兴熘拿娣e單位被廣泛地使用，這是由于學(xué)生對(duì)“平方米”這個(gè)計(jì)量單位有著較為準(zhǔn)確的感性認(rèn)識(shí)，在估算時(shí)，往往可以得到較為精確的答案；個(gè)別有著農(nóng)村生活體驗(yàn)的學(xué)生甚至使用了一些教科書(shū)中不太涉及的面積單位“畝”作為他們估算的基準(zhǔn)單位，使用這個(gè)單位的學(xué)生們也都相對(duì)準(zhǔn)確地估算出了體育場(chǎng)的面積。驚喜之二是學(xué)生們使用了極具多樣性的測(cè)量工具進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，大掃帚、樹(shù)枝、跳繩、竹竿等超過(guò)13種日常生活用品被學(xué)生當(dāng)成測(cè)量工具，這些他們?cè)谌粘Ｉ钪兴熘奈锲吩谑种凶兂闪吮取熬沓摺备屿`活的非標(biāo)準(zhǔn)化測(cè)量工具，讓他們得出了比高年級(jí)學(xué)生更為精準(zhǔn)的答案。

四年級(jí)學(xué)生帶給我們的驚喜也正是我們的擔(dān)憂所在：當(dāng)這批學(xué)生升入高年級(jí)后，他們?cè)诿鎸?duì)開(kāi)放性問(wèn)題時(shí)所展現(xiàn)出的創(chuàng)造性，數(shù)感的靈活性是否會(huì)被反復(fù)的、封閉的數(shù)學(xué)訓(xùn)練所磨滅？他們?cè)谏敫吣昙?jí)后是否會(huì)陷入和他們前輩一樣的誤區(qū)？這些問(wèn)題值得我們反思。

2.簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)題也需要“開(kāi)放化”。

學(xué)生問(wèn)：“1+1在什么情況下不等于2？”作為一名合格的教師該如何回答學(xué)生這樣的提問(wèn)？“在算錯(cuò)的情況下不等于2！”如果簡(jiǎn)單地用喜劇小品中的語(yǔ)言來(lái)應(yīng)付學(xué)生的話，會(huì)造成學(xué)生對(duì)數(shù)理認(rèn)識(shí)和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)產(chǎn)生很大的誤區(qū)。其實(shí)，1+1在很多情況下是可以不等于2的。例如，在2進(jìn)制中1+1=10（注：此處的10只代表數(shù)字1和0，與數(shù)字“十”有著完全不同的意義）。這個(gè)例子說(shuō)明開(kāi)放性的問(wèn)題，并不一定需要具體的生活背景和嚴(yán)格的文字表述，即便簡(jiǎn)單的數(shù)字，經(jīng)過(guò)條件的改變也是可以設(shè)計(jì)出開(kāi)放性的問(wèn)題的。

一個(gè)普遍的誤區(qū)是把開(kāi)放性問(wèn)題簡(jiǎn)單等同于“文字題”或“應(yīng)用題”，認(rèn)為有若干文字描述的非選擇題和非單純性數(shù)字計(jì)算題都是開(kāi)放性問(wèn)題。然而，在大多數(shù)情況下，我們提供給學(xué)生的“應(yīng)用題”缺乏足夠的彈性空間，學(xué)生難以用自己的方法去進(jìn)行探索并驗(yàn)證答案。此處我們所指的開(kāi)放并不只是指題目和答案的開(kāi)放，而是一種思維的開(kāi)放和探究的開(kāi)放，即學(xué)生需要有一個(gè)開(kāi)放的探索空間和合作環(huán)境來(lái)利用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)知識(shí)和手段去獲取和理解新的數(shù)學(xué)知識(shí)。

數(shù)學(xué)，對(duì)于低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一種新的“語(yǔ)言”，是需要有著充分“開(kāi)放”的思維空間來(lái)理解和感悟其結(jié)構(gòu)與規(guī)律的。數(shù)字，作為這個(gè)新的“語(yǔ)言系統(tǒng)”中的元素，對(duì)大部分剛剛接觸數(shù)學(xué)教育的低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)是陌生的。通過(guò)不斷重復(fù)的訓(xùn)練，我們確實(shí)可以讓學(xué)生看似“懂得了”數(shù)學(xué)，但在大多數(shù)情況下，學(xué)生對(duì)“數(shù)學(xué)究竟是什么？”缺乏基本的理解。例如，大部分學(xué)生可以輕松地算出4與6之和等于10，然而真正懂得“6+4為什么等于10？為什么兩個(gè)一位數(shù)（4和6）相加會(huì)變成一個(gè)兩位數(shù)（10）？”的學(xué)生卻并不多。在進(jìn)行基礎(chǔ)教育的時(shí)候，教師們可以把這些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)放化，讓學(xué)生有自由探索與思考數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，從而理解數(shù)學(xué)。可以讓學(xué)生探究在不同進(jìn)制中（9進(jìn)制、8進(jìn)制和7進(jìn)制中）6+4的答案，并在此過(guò)程中了解每個(gè)數(shù)位和數(shù)字的真正含義。

3.促進(jìn)思維開(kāi)放化，給學(xué)生更多的機(jī)會(huì)去理解數(shù)學(xué)。

在日常生活中，人們往往根據(jù)不同情況和需要去選擇合適的交通工具。每個(gè)人都知道“坐車”與“開(kāi)車”，“騎車”和“走路”在不同的環(huán)境中，有著各自不同的利弊，僅僅使用一種交通工具是無(wú)法滿足人們的日常需要的。然而，在數(shù)學(xué)教育中，有些教師恰恰犯了這樣的常識(shí)性的“錯(cuò)誤”，即只教授學(xué)生如何“在快車道上行駛”而忽略了學(xué)生在“慢車道上騎車”和“在人行道上走路”的訓(xùn)練。在許多情況下，為了追求運(yùn)算速度和正確率，教師們往往指定學(xué)生去“記住答案”和“套用公式”直接得到答案。例如，有些教師在學(xué)生缺乏充分探究和理解的情況下，即要求學(xué)生強(qiáng)記基本運(yùn)算結(jié)果（如7+8=15，8×9=72等）和套用基本運(yùn)算公式（如必須使用豎式進(jìn)行乘除法的計(jì)算等），此教學(xué)方法雖然可以迅速提高學(xué)生的運(yùn)算速度，卻讓學(xué)生喪失了對(duì)“數(shù)學(xué)世界”的理解。

數(shù)學(xué)，對(duì)于很多學(xué)生來(lái)說(shuō)，是一個(gè)浩瀚的世界，但知道數(shù)學(xué)世界中每個(gè)“景點(diǎn)”之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系并不多。如果教師只提供給學(xué)生一種方法去探索數(shù)學(xué)世界，學(xué)生對(duì)這個(gè)世界的理解將必然是片面的。只有提供給學(xué)生不同的方法，尤其是讓他們根據(jù)自己的喜好，選擇適合自己的“交通工具”來(lái)探索才能相對(duì)全面地了解數(shù)學(xué)。例如，在進(jìn)行乘法教學(xué)的時(shí)候，我們大可不必過(guò)早讓學(xué)生強(qiáng)記“口訣”，在記下“口訣”前，我們可以讓學(xué)生自己去尋找加法和乘法的聯(lián)系以及不同數(shù)字之間乘法的關(guān)系，如4×9=2×9+（9+9）=6×6。在學(xué)生充分理解了乘法的本質(zhì)和規(guī)律后再進(jìn)行口訣記憶，會(huì)大大提高學(xué)生的應(yīng)變能力。尤其是在高年級(jí)進(jìn)行復(fù)雜數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)遇到傳統(tǒng)數(shù)學(xué)方法行不通的情形，學(xué)生可以及時(shí)地改換思路，使用自己發(fā)明的方法從而順利地得到正確的答案。簡(jiǎn)言之，讓學(xué)生去運(yùn)用教科書(shū)所提到的公理和公式之前，我們是要學(xué)生有充分的機(jī)會(huì)，來(lái)探索、使用他們自己的方法來(lái)總結(jié)一些數(shù)學(xué)規(guī)律的。

4.機(jī)遇與挑戰(zhàn)——基于構(gòu)建主義，以開(kāi)放性問(wèn)題為核心的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

基于開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)和基于構(gòu)建主義的教學(xué)是兩個(gè)一脈相承的概念，在當(dāng)代數(shù)學(xué)教育中，此二者不可分割：基于開(kāi)放性問(wèn)題的教學(xué)是指在教學(xué)中提供給學(xué)生獨(dú)立思考與獨(dú)立探究的機(jī)會(huì)；基于構(gòu)建主義的教學(xué)是指在教學(xué)中提供給學(xué)生團(tuán)隊(duì)合作，分享知識(shí)的機(jī)會(huì)。我們傳統(tǒng)的教學(xué)方法，是以教師講課為主的，然后學(xué)生模仿教師的例題來(lái)進(jìn)行大量訓(xùn)練。在此過(guò)程中，學(xué)生缺乏自己去“研究數(shù)學(xué)”的機(jī)會(huì)。作為教師，我們要讓學(xué)生交流他們對(duì)數(shù)學(xué)的感悟并用自己的話說(shuō)出對(duì)數(shù)學(xué)的理解。好的教師需要關(guān)注學(xué)生想出的每一種不同的方法，讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)不是只有唯一的方法，解題也并不需要遵循某種特定的過(guò)程。在一個(gè)以開(kāi)放性問(wèn)題為核心的數(shù)學(xué)課堂里，教師不再是這個(gè)課堂的唯一的權(quán)威而只是作為一個(gè)引導(dǎo)者：提供給學(xué)生一個(gè)開(kāi)放的研究環(huán)境，讓他們自己去尋找和探索新舊知識(shí)間的聯(lián)系，并且在學(xué)生的探索完成后，來(lái)總結(jié)學(xué)生們的研究成果。通過(guò)讓學(xué)生對(duì)比自己的方法和同學(xué)們的方法之后，評(píng)價(jià)各種方法的優(yōu)劣，最后再把教科書(shū)中“正式的”和“最優(yōu)的”數(shù)學(xué)知識(shí)教給學(xué)生。

（作者單位：美國(guó)得克薩斯大學(xué)）