例析三角函數(shù)的解題技巧

朱健忠

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學(xué)習(xí)起來難，而且習(xí)題解答過程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.久而久之，高中生難免對(duì)三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題，從而使得他們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績(jī).另外，學(xué)好三角函數(shù)，對(duì)于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構(gòu)建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學(xué)習(xí)函數(shù)的能力？筆者認(rèn)為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習(xí)題來的更加重要，還可以間接強(qiáng)化高中生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知能力，從而讓他們?cè)诶斫獾耐瑫r(shí)提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中的主要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是各類考試中的重要項(xiàng)目，高中生若想取得良好的成績(jī)，不僅要學(xué)好三角函數(shù)，同時(shí)還要具備應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題的能力.然而，受到思維模式、認(rèn)知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習(xí)題的時(shí)候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴(yán)重影響他們的解題效率，對(duì)他們的成績(jī)而言也有著極大的影響.筆者便結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勄梢齾?shù)對(duì)解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1的結(jié)構(gòu)特征，以及數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，可以快速引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關(guān)系的.設(shè)sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導(dǎo)，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進(jìn)行求證，學(xué)生無疑會(huì)繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯(cuò)誤，那么整個(gè)求證過程將會(huì)功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習(xí)題變得簡(jiǎn)單、明確，同時(shí)還可以有效提高學(xué)生的解題效率.由此可見，有些習(xí)題給人的感覺之所以會(huì)很難，主要是由于學(xué)生缺乏良好的技巧.如果提高了學(xué)生的解題技巧，那么再解答此類習(xí)題時(shí)無疑會(huì)如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡(jiǎn)

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對(duì)較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實(shí)現(xiàn)問題的化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.升冪降冪解題技巧關(guān)鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時(shí)可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實(shí)現(xiàn)對(duì)習(xí)題的化繁為簡(jiǎn)、求值求證的目的.

例題2化簡(jiǎn)1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行解答的時(shí)候，主要涉及到了對(duì)公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當(dāng)我們對(duì)原式進(jìn)行升冪或降冪的時(shí)候，則會(huì)得出兩個(gè)不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對(duì)這兩個(gè)式子進(jìn)行推導(dǎo)，最后得出的結(jié)果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點(diǎn)在于對(duì)公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡(jiǎn)化了，而且學(xué)生還能快速挖掘出習(xí)題中隱含的亮點(diǎn)，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡(jiǎn)單.所以，在日常的教學(xué)活動(dòng)中，我們要積極引導(dǎo)學(xué)生掌握多種解題技巧，對(duì)經(jīng)典習(xí)題利用多種方法進(jìn)行解答，讓學(xué)生分析哪種解法更省時(shí)更有效.

三、化弦為切，簡(jiǎn)化習(xí)題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應(yīng)用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當(dāng)完成這一步的時(shí)候，學(xué)生便可以成功將習(xí)題轉(zhuǎn)化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時(shí)，習(xí)題就不再是抽象模糊，而是徹底轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題，解答自然會(huì)水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點(diǎn)，進(jìn)而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時(shí)除以cosα.這時(shí)，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學(xué)生解題既準(zhǔn)確又省時(shí)的重要手段.假如這道習(xí)題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會(huì)浪費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間，同時(shí)還極易出錯(cuò)，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)造成學(xué)生思維的絮亂，這對(duì)考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學(xué)時(shí)我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的同時(shí)提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學(xué)習(xí)固然重要，但好的學(xué)習(xí)方法同樣不可忽視.特別是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)還需要他們構(gòu)建全面的數(shù)學(xué)思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學(xué)習(xí)的科目非常的多，他們沒有更多的時(shí)間去鉆研數(shù)學(xué)解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學(xué)教師在平日的課堂教學(xué)中加強(qiáng)解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們?cè)诿鎸?duì)各類數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候無往而不勝.

endprint

函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學(xué)習(xí)起來難，而且習(xí)題解答過程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.久而久之，高中生難免對(duì)三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題，從而使得他們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績(jī).另外，學(xué)好三角函數(shù)，對(duì)于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構(gòu)建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學(xué)習(xí)函數(shù)的能力？筆者認(rèn)為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習(xí)題來的更加重要，還可以間接強(qiáng)化高中生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知能力，從而讓他們?cè)诶斫獾耐瑫r(shí)提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中的主要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是各類考試中的重要項(xiàng)目，高中生若想取得良好的成績(jī)，不僅要學(xué)好三角函數(shù)，同時(shí)還要具備應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題的能力.然而，受到思維模式、認(rèn)知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習(xí)題的時(shí)候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴(yán)重影響他們的解題效率，對(duì)他們的成績(jī)而言也有著極大的影響.筆者便結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勄梢齾?shù)對(duì)解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1的結(jié)構(gòu)特征，以及數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，可以快速引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關(guān)系的.設(shè)sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導(dǎo)，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進(jìn)行求證，學(xué)生無疑會(huì)繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯(cuò)誤，那么整個(gè)求證過程將會(huì)功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習(xí)題變得簡(jiǎn)單、明確，同時(shí)還可以有效提高學(xué)生的解題效率.由此可見，有些習(xí)題給人的感覺之所以會(huì)很難，主要是由于學(xué)生缺乏良好的技巧.如果提高了學(xué)生的解題技巧，那么再解答此類習(xí)題時(shí)無疑會(huì)如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡(jiǎn)

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對(duì)較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實(shí)現(xiàn)問題的化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.升冪降冪解題技巧關(guān)鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時(shí)可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實(shí)現(xiàn)對(duì)習(xí)題的化繁為簡(jiǎn)、求值求證的目的.

例題2化簡(jiǎn)1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行解答的時(shí)候，主要涉及到了對(duì)公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當(dāng)我們對(duì)原式進(jìn)行升冪或降冪的時(shí)候，則會(huì)得出兩個(gè)不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對(duì)這兩個(gè)式子進(jìn)行推導(dǎo)，最后得出的結(jié)果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點(diǎn)在于對(duì)公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡(jiǎn)化了，而且學(xué)生還能快速挖掘出習(xí)題中隱含的亮點(diǎn)，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡(jiǎn)單.所以，在日常的教學(xué)活動(dòng)中，我們要積極引導(dǎo)學(xué)生掌握多種解題技巧，對(duì)經(jīng)典習(xí)題利用多種方法進(jìn)行解答，讓學(xué)生分析哪種解法更省時(shí)更有效.

三、化弦為切，簡(jiǎn)化習(xí)題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應(yīng)用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當(dāng)完成這一步的時(shí)候，學(xué)生便可以成功將習(xí)題轉(zhuǎn)化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時(shí)，習(xí)題就不再是抽象模糊，而是徹底轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題，解答自然會(huì)水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點(diǎn)，進(jìn)而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時(shí)除以cosα.這時(shí)，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學(xué)生解題既準(zhǔn)確又省時(shí)的重要手段.假如這道習(xí)題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會(huì)浪費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間，同時(shí)還極易出錯(cuò)，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)造成學(xué)生思維的絮亂，這對(duì)考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學(xué)時(shí)我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的同時(shí)提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學(xué)習(xí)固然重要，但好的學(xué)習(xí)方法同樣不可忽視.特別是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)還需要他們構(gòu)建全面的數(shù)學(xué)思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學(xué)習(xí)的科目非常的多，他們沒有更多的時(shí)間去鉆研數(shù)學(xué)解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學(xué)教師在平日的課堂教學(xué)中加強(qiáng)解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們?cè)诿鎸?duì)各類數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候無往而不勝.

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函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位和重要性不言而喻，其難度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函數(shù)，不僅學(xué)習(xí)起來難，而且習(xí)題解答過程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.久而久之，高中生難免對(duì)三角函數(shù)“談之色變”.究其緣由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，無法更好地應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題，從而使得他們?cè)趯W(xué)習(xí)和考試中經(jīng)常碰壁，難以取得好的成績(jī).另外，學(xué)好三角函數(shù)，對(duì)于培養(yǎng)高中生的函數(shù)思維起著重要的作用.不過，該如何幫助高中生構(gòu)建全面、合理的函數(shù)思維，繼而提高他們學(xué)習(xí)函數(shù)的能力？筆者認(rèn)為可以從解題技巧入手，畢竟掌握一套好的解題技巧，比做無數(shù)道習(xí)題來的更加重要，還可以間接強(qiáng)化高中生對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)知能力，從而讓他們?cè)诶斫獾耐瑫r(shí)提高解題效率.

一、巧引參數(shù)，提高效率

三角函數(shù)是高中函數(shù)知識(shí)中的主要環(huán)節(jié)，同時(shí)也是各類考試中的重要項(xiàng)目，高中生若想取得良好的成績(jī)，不僅要學(xué)好三角函數(shù)，同時(shí)還要具備應(yīng)對(duì)各類三角函數(shù)習(xí)題的能力.然而，受到思維模式、認(rèn)知能力等諸多方面的影響，高中生在解答三角函數(shù)習(xí)題的時(shí)候往往存在著較大的斷檔，這樣不僅嚴(yán)重影響他們的解題效率，對(duì)他們的成績(jī)而言也有著極大的影響.筆者便結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，談?wù)勄梢齾?shù)對(duì)解答三角函數(shù)的有效性.

例題1求證sin8θ+cos8θ≥18.

解析根據(jù)三角函數(shù)的平方關(guān)系式sin2θ+cos2θ=1的結(jié)構(gòu)特征，以及數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，可以快速引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)sin2θ、12、cos2θ三者是成等差數(shù)列關(guān)系的.設(shè)sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，經(jīng)過推導(dǎo)，可以快速展開解題過程，并最終得證.

這道題按常規(guī)的方式進(jìn)行求證，學(xué)生無疑會(huì)繞很大的彎子，并且一旦出現(xiàn)一絲的錯(cuò)誤，那么整個(gè)求證過程將會(huì)功虧一簣.采用巧引參數(shù)的方法，不僅可以讓習(xí)題變得簡(jiǎn)單、明確，同時(shí)還可以有效提高學(xué)生的解題效率.由此可見，有些習(xí)題給人的感覺之所以會(huì)很難，主要是由于學(xué)生缺乏良好的技巧.如果提高了學(xué)生的解題技巧，那么再解答此類習(xí)題時(shí)無疑會(huì)如虎添翼.

二、升冪降冪，化繁為簡(jiǎn)

在三角函數(shù)的眾多解題技巧中，升冪降冪的方法相對(duì)較為特殊，但是可靠性和有效性卻是毋庸置疑的.此外，這種解題方法還可以快速實(shí)現(xiàn)問題的化繁為簡(jiǎn)，進(jìn)而讓隱含的題意瞬間呈現(xiàn)在學(xué)生眼前.升冪降冪解題技巧關(guān)鍵是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α這類公式，解題時(shí)可以滿足三角函數(shù)式的升降次要求，繼而實(shí)現(xiàn)對(duì)習(xí)題的化繁為簡(jiǎn)、求值求證的目的.

例題2化簡(jiǎn)1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升冪和降冪對(duì)這道習(xí)題進(jìn)行解答的時(shí)候，主要涉及到了對(duì)公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升冪，而順用便是指降冪.當(dāng)我們對(duì)原式進(jìn)行升冪或降冪的時(shí)候，則會(huì)得出兩個(gè)不同的式子，即：

升冪：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降冪：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分別對(duì)這兩個(gè)式子進(jìn)行推導(dǎo)，最后得出的結(jié)果都

是23.

由此我們可以看出，升冪和降冪特點(diǎn)在于對(duì)公式的逆用和順用.在升冪和降冪的過程中，不僅原式被簡(jiǎn)化了，而且學(xué)生還能快速挖掘出習(xí)題中隱含的亮點(diǎn)，從而快速完成解答.需要說明的是，本題使用其他解題技巧同樣可以完成，或許過程更為簡(jiǎn)單.所以，在日常的教學(xué)活動(dòng)中，我們要積極引導(dǎo)學(xué)生掌握多種解題技巧，對(duì)經(jīng)典習(xí)題利用多種方法進(jìn)行解答，讓學(xué)生分析哪種解法更省時(shí)更有效.

三、化弦為切，簡(jiǎn)化習(xí)題

在三角函數(shù)中，化弦為切也是一種較為常見的解題技巧，它的解題效率和應(yīng)用難度很適合高中生.所謂化弦為切，就是利用萬能公式把原式進(jìn)行變形，轉(zhuǎn)化原式中的正弦和余弦函數(shù)，讓其變化為正切和余切函數(shù).而當(dāng)完成這一步的時(shí)候，學(xué)生便可以成功將習(xí)題轉(zhuǎn)化為以tan為變量的一元有理函數(shù).這時(shí)，習(xí)題就不再是抽象模糊，而是徹底轉(zhuǎn)化為了代數(shù)問題，解答自然會(huì)水到渠成.

例題3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特點(diǎn)，進(jìn)而選用合理的解題方法.由題意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同時(shí)除以cosα.這時(shí)，化弦為切，然后將tanα的數(shù)值代入式子中，便可以快速整理出新的代數(shù)式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解題技巧是確保學(xué)生解題既準(zhǔn)確又省時(shí)的重要手段.假如這道習(xí)題我們采用常規(guī)的解答方式，不僅會(huì)浪費(fèi)學(xué)生大量的時(shí)間，同時(shí)還極易出錯(cuò)，嚴(yán)重時(shí)還會(huì)造成學(xué)生思維的絮亂，這對(duì)考試而言無疑是非常不利的.所以，在平日教學(xué)時(shí)我們可以將這種解題技巧以“一筆帶過”的方式融入到課堂中，在喚醒學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)的同時(shí)提高他們的解題能力.

總之，懷有一顆持之以恒的心去學(xué)習(xí)固然重要，但好的學(xué)習(xí)方法同樣不可忽視.特別是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，不僅需要高中生良好地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)還需要他們構(gòu)建全面的數(shù)學(xué)思維和巧妙的解題方法.目前，高中生所要學(xué)習(xí)的科目非常的多，他們沒有更多的時(shí)間去鉆研數(shù)學(xué)解題技巧.因此，這便需要我們數(shù)學(xué)教師在平日的課堂教學(xué)中加強(qiáng)解題技巧的培養(yǎng)，從而讓他們?cè)诿鎸?duì)各類數(shù)學(xué)習(xí)題的時(shí)候無往而不勝.

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