以連續(xù)性為例談“體驗(yàn)式學(xué)習(xí)”教學(xué)模式的應(yīng)用

邢婧++++魏小燕+++曾艷妮

【摘要】高等數(shù)學(xué)是大學(xué)課程中一門重要的基礎(chǔ)課，具有較強(qiáng)的連貫性和系統(tǒng)性，對學(xué)生基礎(chǔ)知識要求高，基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)是高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。在高等數(shù)學(xué)中引入體驗(yàn)式教學(xué)，可以有效的激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，幫助學(xué)生理解概念。本文以函數(shù)的連續(xù)性這一典型概念為藍(lán)本，通過實(shí)際經(jīng)歷和體驗(yàn)、觀察和反思、抽象歸納、以及在新環(huán)境中測試新概念的含義四個(gè)步驟介紹體驗(yàn)式學(xué)習(xí)的引入。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 連續(xù)性 體驗(yàn)式學(xué)習(xí)

【中圖分類號】G633.66 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2014）4-0080-01

所謂體驗(yàn)式學(xué)習(xí)，簡單的說就是通過實(shí)踐來認(rèn)識周圍事物。最早提出體驗(yàn)式學(xué)習(xí)模型的學(xué)者是美國的教育家科爾布。科爾布認(rèn)為學(xué)習(xí)不是內(nèi)容的獲得與傳遞，而是通過經(jīng)驗(yàn)的轉(zhuǎn)換從而創(chuàng)造知識的過程。數(shù)學(xué)課程中的體驗(yàn)式學(xué)習(xí)是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師積極創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景，引導(dǎo)學(xué)生自然過渡到教學(xué)氛圍中，并激發(fā)出學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)動(dòng)力，使學(xué)生積極地由被動(dòng)到主動(dòng)、由依賴到自主、由接受性到創(chuàng)造性地自主對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程進(jìn)行體驗(yàn)。

體驗(yàn)式學(xué)習(xí)分為四個(gè)步驟：第一步，實(shí)際經(jīng)歷和體驗(yàn)。創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生投入到當(dāng)時(shí)當(dāng)?shù)氐膶?shí)際體驗(yàn)活動(dòng)中；第二步，觀察和反思。引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度觀察和思考實(shí)際體驗(yàn)活動(dòng)和經(jīng)歷；第三步，抽象概念和歸納的形成。通過觀察與思考，抽象出合乎邏輯的概念和理論；第四步，在新環(huán)境中測試新概念的含義。運(yùn)用這些理論去作出決策和解決問題，并在實(shí)際工作中驗(yàn)證自己新形成的概念和理論。

函數(shù)的連續(xù)性是《高等數(shù)學(xué)》中一個(gè)重要的概念，在高等數(shù)學(xué)體系中有著重要的地位。首先，連續(xù)性為微積分夯實(shí)了基礎(chǔ)。17世紀(jì)下半葉，以牛頓和萊布尼茨為代表的數(shù)學(xué)家們創(chuàng)立了微積分，解決了很多實(shí)際問題。但當(dāng)時(shí)的微積分從概念到推導(dǎo)都是不夠嚴(yán)密的， 19世紀(jì)前后，數(shù)學(xué)家們?yōu)榱耸刮⒎e分更嚴(yán)密，抓住了極限和連續(xù)這兩個(gè)本質(zhì)概念，使用數(shù)量化的語言精確的定義了極限和連續(xù)，使微積分有了嚴(yán)密牢靠的基礎(chǔ)，最終形成了完整的理論體系。連續(xù)的教學(xué)內(nèi)容可以從“函數(shù)在一點(diǎn)處的連續(xù)”開始，到“函數(shù)在區(qū)間的連續(xù)”，接著進(jìn)一步討論“閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)”。以下基于體驗(yàn)式學(xué)習(xí)理論設(shè)計(jì)教學(xué)過程。

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

教師在課件中給出一個(gè)群山的圖片，引導(dǎo)學(xué)生觀察、描述群山的輪廓。教師：“伽利略說過：宇宙是永遠(yuǎn)放在我們面前的一本大書，而這本書是用數(shù)學(xué)語言寫成的。數(shù)學(xué)可以幫助我們更精準(zhǔn)地認(rèn)識世界。請大家觀察這群山的輪廓，你可以試著用數(shù)學(xué)的語言來描述它嗎?”

由于群山的輪廓是學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，再加上科學(xué)家的名言，很容易達(dá)到引人入勝的效果。學(xué)生自然會(huì)說道，“連綿不斷”、“一條連綿不斷的曲線”的描述。教師予以肯定：“平面上的一條連綿不斷的曲線可以抽象成數(shù)學(xué)里一個(gè)連續(xù)函數(shù)的圖像。這就是本節(jié)課的研究對象。” 這一教學(xué)過程間斷有效，使學(xué)生印象深刻，體現(xiàn)了體驗(yàn)式學(xué)習(xí)的第一步。

二、觀察歸納，形成概念

有了第一步直觀的感受，接下來就是精確的刻畫連續(xù)的數(shù)學(xué)定義，這是這堂課的難點(diǎn)。教師可給出函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)連續(xù)和函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)有跳躍間斷點(diǎn)兩張圖片，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)值該變量的角度觀察比較、分析歸納，探尋函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)出連續(xù)的精確定義。通過演示課件，讓學(xué)生看到函數(shù)的連續(xù)的情況下，隨著自變量改變量的不斷減少，雖然兩個(gè)圖像中的函數(shù)值改變量都是在不斷減少，但函數(shù)的連續(xù)本質(zhì)是函數(shù)值該變量可以無限小，而跳躍間斷點(diǎn)的情形則始終大于一個(gè)固定的值，這就是連續(xù)與不連續(xù)的本質(zhì)區(qū)別。通過這樣的體驗(yàn)，學(xué)生很容易理解連續(xù)的概念。同事也可以融匯前面的極限的知識，自出寫出函數(shù)連續(xù)的精確定義，即函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)就是在這一點(diǎn)處當(dāng)自變量該變量趨于零時(shí)，函數(shù)值改變量也趨于零。

三、討論研究、推廣概念

得出了函數(shù)在一個(gè)點(diǎn)處連續(xù)定定義，進(jìn)一步，如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間中的每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，則稱作該函數(shù)在這個(gè)區(qū)間連續(xù)。討論一般初等函數(shù)在定義區(qū)間中都是連續(xù)的。初等函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中經(jīng)常用到的函數(shù)，那么連續(xù)函數(shù)在區(qū)間中連續(xù)的性質(zhì)的討論就顯得很有必要。觀察閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)如果一個(gè)函數(shù)在一個(gè)比區(qū)間連續(xù)，如果從一個(gè)負(fù)值變化成一個(gè)正值，那么，幾何上，函數(shù)圖象一定會(huì)經(jīng)過x軸至少一次。解析的角度就是該函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。這是著名的零點(diǎn)定理。用這樣的方式進(jìn)行推廣概念，過渡自然，承上啟下。

四、建立模型，應(yīng)用概念

學(xué)生知道了零點(diǎn)定理的定理表述，那么這個(gè)定理究竟可以幫助解決什么實(shí)際問題呢？這個(gè)部分體驗(yàn)式學(xué)習(xí)可以充分顯示出其優(yōu)勢。教師提出一個(gè)問題情境。

“登山運(yùn)動(dòng)員第一天早上七點(diǎn)鐘出發(fā)，經(jīng)過十二個(gè)小時(shí)的艱難跋涉于晚上7點(diǎn)到達(dá)山頂。在山上住了一晚，第二天早上7點(diǎn)出發(fā)沿原路下山，又經(jīng)過了十二個(gè)小時(shí)，于晚上7點(diǎn)到達(dá)山腳。問題是，是否存在某個(gè)時(shí)刻，兩天里運(yùn)動(dòng)員在這個(gè)時(shí)刻經(jīng)過同一個(gè)地點(diǎn)？”

引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)問題的過程，將題干中的文字?jǐn)⑹鼋⒛Ｐ停D(zhuǎn)化成為數(shù)學(xué)中兩條曲線是否具有交點(diǎn)的問題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成零點(diǎn)存在問題，再利用零點(diǎn)定理證明其存在。學(xué)生親身體會(huì)到了零點(diǎn)定理的妙用。才能更加深刻的理解這個(gè)概念，從而掌握定理的用法。

參考文獻(xiàn)：

[1] 高等數(shù)學(xué) 科學(xué)出版社 2012.8

[2] “體驗(yàn)式學(xué)習(xí)”在高中數(shù)學(xué)中的實(shí)踐與研究 邱春來 福建師范大學(xué)碩士論文 2005.9

[3] 體驗(yàn)式學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 蔣云飛 考試周刊 2011年第70期