微元法在電磁感應中的應用

徐奇峰

摘 要： 微元法是分析、解決物理問題的常用方法，也是從部分到整體的思維方法。在電磁感應過程中，速度的變化導致安培力發生變化，進而導體棒的加速度也發生變化，可以用微元法。

關鍵詞： 微元法 電磁感應 應用

微元法是分析、解決物理問題中的常用方法，也是從部分到整體的思維方法?；竟δ芫褪恰盎優楹恪?，也就是說抓住“變化”的這一本質特征而通過限制“變化”所需的時間或空間把變化的事物或變化的過程轉化為不變的事物或不變的過程。在電磁感應過程中，導體棒導體切割磁感線運動，產生感應電動勢為E=BLv，感應電流為I=■，受安培力為F=BIL=■v，速度的變化導致安培力發生變化，進而導體棒的加速度也發生變化，勻變速運動公式已不適用，此時可以用微元法。在處理這種非勻變速運動問題時，從對事物的極小部分（微元）分析入手，達到解決事物整體的方法。在解題過程中，常常遇到非勻變速運動過程中求位移、電量、能量等問題，靈活運用微元的思想，可以幫助我們更深刻地理解物理過程。

一、只受安培力的情況

例1：如圖所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區域足夠長，磁感強度B=1T，每一條形磁場區域的寬度及相鄰條形磁場區域的間距均為d=0.5m，現有一邊長l=0.2m、質量m=0.1kg、電阻R=0.1Ω的正方形線框MNOP以v■=7m/s的初速從左側磁場邊緣水平進入磁場。求：線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n。

解：

線框在進入和穿出條形磁場時的任一時刻，受到安培力的大小F=■，

在△t時間內，由牛頓定律：■△t=△v，求和∑（■）v△t=∑△v，■·x=v■

解得x=■=1.75m，

線框能穿過的完整條形磁場區域的個數n=■=4.375，取整數為4。

例2：如圖所示，一水平放置的光滑平行導軌上放一質量為m的金屬桿，導軌間距為L，導軌的一端連接一阻值為R的電阻，其他電阻不計，磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面，現給金屬桿一個水平向右的初速度v■，然后任其運動，導軌足夠長，試求金屬桿在導軌上向右移動的最大距離是多少？

解析：從a向b看，作出桿在運動過程中的受力分析圖（如圖甲所示），這是一個典型的在變力作用下求位移的題，用微元法可以求解。

設桿在減速中的某一時刻速度為v，取一極短時間△t，發生了一段極小的位移△x，在△t時間內，磁通量的變化為△Φ

△Φ=BL△x I=■=■=■

金屬桿受到安培力為F■=ILB=■

由于時間極短，可以認為F■為恒力，選向右為正方向，在△t時間內，

導體棒的速度變化為：△v=-a·△t=-■

對所有的速度變化求和，可得-v■=∑（-■）=-■x其中x為桿運動的最大距離，

求得：x=■

在只克服安培力做功情況下，速度、電動勢E（BLv）、電流I（■）、安培力f（BIL）都與位移x（受安培力作用時走的距離）呈線性關系。

二、既受安培力又受其他恒力的情況

例3：如圖所示，兩平行的光滑金屬導軌安裝在一傾角為α的光滑絕緣斜面上，導軌間距為L，電阻忽略不計且足夠長，一寬度為d的有界勻強磁場垂直于斜面向上，磁感應強度為B。另有一長為2d的絕緣桿將一導體棒和一邊長為d（d

【解析】穿越過程中在t→△t時間內，

由牛頓定律：■△t=△v

∑△v=∑[gsinα+■]△t？圯v■=gt■sinα-■（t■為所求）

又穿越前BILd-mgsinα·2d=■v■■？圯t■=■

例4：如圖所示，間距為L的兩條足夠長的平行金屬導軌與水平面的夾角為θ，導軌光滑且電阻忽略不計。場強為B的條形勻強磁場方向與導軌平面垂直，磁場區域的寬度為d■，間距為d■，兩根質量均為m、有效電阻均為R的導體棒a和b放在導軌上，并與導軌垂直（設重力加速度為g）。若a進入第2個磁場區域時，b恰好離開第1個磁場區域；此后a離開第2個磁場區域時，b又恰好進入第2個磁場區域，且a.b在任意一個磁場區域或無磁場區域的運動時間均相同，求a穿出第k個磁場區域時的速率v。

【解析】在無磁場區域時，根據勻變速直線運動規律有v■-v■=gtsinθ

且平均速度■=■

在有磁場區域，棒a受到的合力F=mgsinθ-■v

根據牛頓第二定律，在t+△t時間內∑△v=∑■△t

則有：∑△v=∑[gsinθ-■]△t解得：v■-v■=gtsinθ-■d■

聯立解得v■=■sinθ-■

由題意知：v=v■=■sinθ-■

微元法解題，體現了微分和積分的思想，在時間△t很短或位移△x很小時，非勻變速運動可以看做是勻變速運動，這一過程體現了微分思想，求和過程體現了積分思想。

這種思想在物理教材中曾出現過，如證明“在速度時間圖像中圖像與坐標軸所圍圖形的面積等于位移”結論時就用到了這一重要思想。學生具備了這種思想，更有利于理解和掌握“微元法”問題。

在具體應用微元法時，合理的操作步驟為：（1）選取微元量化元過程；（2）運用規律表達元過程；（3）實施疊加求解全過程。