非負矩陣Hadamard積譜半徑的界值*

李 華

(河南城建學院數理學院,河南 平頂山 467036)

非負矩陣Hadamard積譜半徑的界值*

李 華

(河南城建學院數理學院,河南 平頂山 467036)

給出兩個n階非負矩陣A與B的Hadamard積的譜半徑上界的一個新估計式, 并且與以往的結果進行比較, 說明所得的估計結果在一定條件下更為精確.

非負矩陣;Hadamard積;譜半徑

用A≥0(aij≥0)來表示A是非負矩陣, 用Cn×n(Rn×n)表示n階復(實)矩陣集,矩陣A=(aij)∈Cn×n的n個特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合為矩陣的譜, 記為σ(A). 矩陣A的n個特征值的模的最大值為矩陣的譜半徑, 記為ρ(A). 若A為非負矩陣, 則由Perron-Frobenius定理知:ρ(A)∈σ(A),且有非負特征向量與之對應.

對非負矩陣譜半徑的研究是矩陣理論的重要研究課題之一，在這方面較為重要的結論有：

引理1[1](Frobenius界值) 如果非負矩陣A=(aij)n×n的行和分別為r1,r2,…,rn, 則有

r≤ρ(A)≤R.

定義1[1]設A=(aij)∈Cn×n,B=(bij)∈Cn×n, 記C=A°B=(aijbij)為矩陣A與B的Hadamard積.

引理 2[3]設a=(a1,a2,…,an)T≥0,b=(b1,b2,…,bn)T≥0, 則有

1 非負矩陣的Hadamard積的譜半徑的上界估計

對于ρ(A°B)的上界估計, 1985年R.A.Horn等在文獻[2]中給出了結論:若矩陣A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,A≥0,B≥0, 則ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B).

本文在文獻[3]～[5]的基礎上，給出非負矩陣Hadamard積譜半徑上界的新估計式.

定理1 設矩陣A=(aij)∈Rn×n,B=(bij)∈Rn×n,A≥0,B≥0, 則有

其中k=1,2.

設U=diag(u1,u2,…,un),V=diag(v1,v2,…,vn), W=UV=diag(u1v1,u2v2,…,unvn), 則

由引理2知:

即

即上式對k=1,2時成立.

若A°B為可約矩陣, 設D=(dij)為置換矩陣,d12=d23=…=dn-1,n=dn1=1,其余的dij=0,則對任何正實數t,A+tD、B+tD為非負不可約矩陣,用A+tD、B+tD分別代替A、B，令t→0由連續性,可得到相同的結果.

特別: 當?i∈Naii=0,bii=0,k=1時, 則有ρ(A°B)≤ρ(JA)ρ(JB).

2 數值例子

在文獻[2]中，ρ(A)=4,ρ(B)=2,ρ(A°B)≤ρ(A)ρ(B)=8.

在定理1中，令k=1,ρ(A°B)≤4.2248.

實際上,ρ(A°B)=4. 由此可知, 定理1的結果在一定條件下比以前的結果更為精確.

[1]Frobenius. Uber matrizen aus nicht negativen elementen[M]. Akad.Wiss.(Berlin) S. B. Press, 1912.

[2]Horn R A, Johnson C R. Topics in Matrix Analusis[M]. Cambridge University Press, 1985.

[3]杜琨.矩陣Hadamard積和Fan積的特征值界的界[J].華東師范大學學報, 2008(5):45-50.

[4]Liu Qingbing, Chen Guoliang. On two inequalities for the Hadamard product and the Fan product of matrices[J]. Lin. Alg. Appl., 2009 (431):974-984.

[5]Fang M Z. Bounds on the eigenvalues of the Hadamard product and the Fan product of matrices [J]. Lin. Alg. Appl., 2007(425):7-15.

New bounds on Perron root of Hadamard product of nonnegative matrices

LI Hua

(SchoolofMathematicalandPhysicalScience,HenanUniversityofUrbanConstruction,Pingdingshan467036,China)

A new type upper bound of spectral radius of Hadamard product for nonnegative matrices is given. We comparde the new bounds with the previous results, which shows that the bounds are better than the previous results.

nonnegative matrices; Hadamard product; spectral radius

河南省科技計劃項目(112300410191)；河南省教育廳自然科學基金項目(13B520945).

2013-03-16

李 華(1978-),女,河南南陽人,河南城建學院數理學院講師。

1674-7046(2014)01-0085-03

O151.21

A