關于數學初高中銜接的若干知識點

潘東忠

一、因式分解的初高中銜接

1.因式分解的定義

把一個多項式化為幾個最簡整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解（也叫作分解因式）。

2.因式分解的方法

初中數學教材中主要介紹了提公因式法、運用公式法、分組分解法、十字相乘法、求根公式法、換元法等。

初中所學習的因式分解方法是針對形如x2+（p+q）x+pq這樣的二次項系數為1的二次三項式，注意在x2+（p+q）x+pq中x的可以是一個字母，也可以是一個單項式、多項式。與初中相比，只是常數項還含有字母，方法都是一樣的。

十字相乘法在解題時是一個很好用的方法，也很簡單。這種方法有兩種情況：

（1）x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解

這類二次三項式的特點是：二次項的系數是1；常數項是兩個數的積；一次項系數是常數項的兩個因數的和。因此，可以直接將某些二次項的系數是1的二次三項式因式分解：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

（2）kx2+mx+n型的式子的因式分解

如果有k=ab，n=cd，且有ad+bc=m時，那么kx2+mx+n=（ax+c）（bx+d）。

二、不等關系與不等式的初高中銜接

1.不等式的定義

在客觀世界中，量與量之間的不等關系是普遍存在的，我們用數學符號＞、≥、≤、≠連接兩個數或代數式以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子，叫做不等式。

2.不等式的性質

（1）對稱性：a＞b?圳b＜a

（2）傳遞性：a＞b，b＞c?圳a＞c

（3）可加性：a＞b?圳a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?圯a＋c＞b＋d；

（4）可乘性：a＞b，c＞0?圯ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?圯ac＞bd

（5）可乘方：a＞b＞0?圯an＞bn（n∈N，n≥2）

（6）可開方：a＞b＞0?圯■＞■（n∈N，n≥2）

3.兩條常用性質

（1）倒數性質：若a＞b，ab＞0?圯■＜■；若a＜0＜b?圯■＜■；若a＞b＞0,0＜c＜d?圯■＞■；若0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?圯■＜■＜■。

（2）若a＞b＞0，m＞0，則①真分數的性質：■＜■；■＞■（b－m＞0）；②假分數的性質：■＞■；■＜■（b－m＞0）。

三、一元二次不等式解法的初高中銜接

1.一元二次不等式

一元二次不等式經過變形，標準形式：①ax2+bx+c＞0（a＞0）；②ax2+bx+c＜0（a＞0）。

2.一元二次函數的圖像、一元二次方程的根、一元二次不等式的關系

一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是使二次函數y=ax2+bx+c的函數值為零時對應的x值，一元二次不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解就是使二次函數y=ax2+bx+c的函數值大于零或小于零時x的取值范圍，因此解一元二次方程ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0一般要畫與之對應的二次函數y=ax2+bx+c的圖像。

3.一元二次不等式解法步驟

（1）化簡（將不等式化為不等號右邊為0，左邊的最高次項系數為正）

（2）首先考慮分解因式；不易分解則判斷，當時解方程（利用求根公式）

（3）畫圖寫解集（能取的根打實心點，不能去的打空心）

四、絕對值不等式的初高中銜接

初中知識回顧：

1.含絕對值不等式的解法（關鍵是去掉絕對值）

（1）利用絕對值的定義：（零點分段法）

|x|= x x≥0-x x<0

（2）利用絕對值的幾何意義：|x|表示x到原點的距離。

2.知識拓展

（1）|ax+b|>c(c>0)或|ax+b|0)的解法|ax+b|>c?圳ax+b>c或ax+b<-c；|ax+b|

（2）|f(x)|>g(x)或|f(x)|g(x)?圳f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；|f(x)|

（3）|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|的解法：|f(x)|>|g(x)|?圳f2(x)>g2(x)|f(x)|<|g(x)|?圳f2(x)

（4）|x-a|±|x-b|的幾何意義：數軸上的動點x到兩個定點a,b的距離之和（差）。

主要方法：解含絕對值的不等式的基本思想是去掉絕對值符號，將其等價轉化為一元一次（二次）不等式進行求解。