數形結合:一種重要數學思維模式的實踐與認識

付夢琳+劉海峰++周慶樺

摘 要：數形結合是學習數學的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數形結合角度探索解題途徑，對數形結合模式在解題中的方便之處進行梳理和總結，從學習角度對這一經典的數學思維方法的理解與把握方面談談自己在學習中的體會，以期與同學們共同提高數學思維能力。

關鍵詞：數形結合；解題；化繁為簡

一、引言

數學大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”恩格斯也曾說過：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”數形結合是一種重要的數學思維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果。“數”反映數量關系，有精確性；“形”反映圖形性質，有直觀性。數形結合就是將抽象的數學語言和直觀的幾何圖形結合起來，讓代數運算法與直觀圖像法優勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復雜的數學問題化繁為簡，找到解決問題的最佳方案。

二、數形結合的途徑

在數學學習中，我們總能發現“數”和“形”是分不開的。化形為數的橋梁是解析幾何，涉及到代數運算的方程組求解、變量代換、不等式的構造與求解等方面，特別是在求異面直線構成的角、線面角、面與面構成的角以及判斷點線面的位置關系等問題中，向量的代數運算起著至關重要的作用。化數為形的例子也不勝枚舉，如解決函數問題時，畫出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數單調性、確定函數零點、尋找函數最值等方面化數為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示。總之,數形結合以數解形，以形助數，化繁為簡，化難為易是一種重要的數學思維模式。

三、數形結合實例及思路分析

本文通過幾個數形結合的題例分析，探討其在數學問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結，以期與同學一起培養借助這種數學模式處理具體問題的數學思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個不同的點P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標準方程■+■=1對比，此處a=6，b=3■，c=3，準線x=12，a=1/2。

設∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時針方向），記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點P1到準線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點評：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯立方程組求解，但根據圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質解題，往往是簡化解題過程的最佳手段。這題若是用點斜式設出方程與橢圓方程聯立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段FP1長度，類似解出FP2,FP3長度，同樣可得到結果，但運算量過大，非最佳策略。

例2：如果三個正實數x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點評：從原題條件出發，根據題設表達式構造基本幾何圖形是解答此題的關鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯想到余弦定理；三個數據也與勾股數相關，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題就顯得清晰、簡單、直觀。

例3：已知函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒有實數根。

問：f(f(x))=x是否有實數根？并證明你的結論。

解法一：分析法

假設f(f(x))=x有實根，即存在實數x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時有點A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點。由于f(x)=x沒有實數根，所以A，B這兩點不重合且關于直線y=x對稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點，即f(x)=x有實根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒有實數根。

解法二：數形結合圖像法

當a>0時，∵f(x)=x無實根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對，∴f(f(x))=x無實數根；當a<0時，同理可證f(f(x))

■

點評：本題一題多解，通過比較，我們發現方法一簡潔嚴謹，方法二最直觀易懂。

摘 要：數形結合是學習數學的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數形結合角度探索解題途徑，對數形結合模式在解題中的方便之處進行梳理和總結，從學習角度對這一經典的數學思維方法的理解與把握方面談談自己在學習中的體會，以期與同學們共同提高數學思維能力。

關鍵詞：數形結合；解題；化繁為簡

一、引言

數學大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”恩格斯也曾說過：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”數形結合是一種重要的數學思維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果。“數”反映數量關系，有精確性；“形”反映圖形性質，有直觀性。數形結合就是將抽象的數學語言和直觀的幾何圖形結合起來，讓代數運算法與直觀圖像法優勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復雜的數學問題化繁為簡，找到解決問題的最佳方案。

二、數形結合的途徑

在數學學習中，我們總能發現“數”和“形”是分不開的。化形為數的橋梁是解析幾何，涉及到代數運算的方程組求解、變量代換、不等式的構造與求解等方面，特別是在求異面直線構成的角、線面角、面與面構成的角以及判斷點線面的位置關系等問題中，向量的代數運算起著至關重要的作用。化數為形的例子也不勝枚舉，如解決函數問題時，畫出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數單調性、確定函數零點、尋找函數最值等方面化數為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示。總之,數形結合以數解形，以形助數，化繁為簡，化難為易是一種重要的數學思維模式。

三、數形結合實例及思路分析

本文通過幾個數形結合的題例分析，探討其在數學問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結，以期與同學一起培養借助這種數學模式處理具體問題的數學思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個不同的點P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標準方程■+■=1對比，此處a=6，b=3■，c=3，準線x=12，a=1/2。

設∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時針方向），記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點P1到準線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點評：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯立方程組求解，但根據圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質解題，往往是簡化解題過程的最佳手段。這題若是用點斜式設出方程與橢圓方程聯立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段FP1長度，類似解出FP2,FP3長度，同樣可得到結果，但運算量過大，非最佳策略。

例2：如果三個正實數x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點評：從原題條件出發，根據題設表達式構造基本幾何圖形是解答此題的關鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯想到余弦定理；三個數據也與勾股數相關，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題就顯得清晰、簡單、直觀。

例3：已知函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒有實數根。

問：f(f(x))=x是否有實數根？并證明你的結論。

解法一：分析法

假設f(f(x))=x有實根，即存在實數x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時有點A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點。由于f(x)=x沒有實數根，所以A，B這兩點不重合且關于直線y=x對稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點，即f(x)=x有實根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒有實數根。

解法二：數形結合圖像法

當a>0時，∵f(x)=x無實根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對，∴f(f(x))=x無實數根；當a<0時，同理可證f(f(x))

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點評：本題一題多解，通過比較，我們發現方法一簡潔嚴謹，方法二最直觀易懂。

摘 要：數形結合是學習數學的一種重要思維方式。本文通過3個題例分析，從數形結合角度探索解題途徑，對數形結合模式在解題中的方便之處進行梳理和總結，從學習角度對這一經典的數學思維方法的理解與把握方面談談自己在學習中的體會，以期與同學們共同提高數學思維能力。

關鍵詞：數形結合；解題；化繁為簡

一、引言

數學大師華羅庚曾精彩地詮釋：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”恩格斯也曾說過：“純數學的對象是現實世界的空間形式和數量關系。”數形結合是一種重要的數學思維方法，利用這種手段解題常常達到事半功倍的效果。“數”反映數量關系，有精確性；“形”反映圖形性質，有直觀性。數形結合就是將抽象的數學語言和直觀的幾何圖形結合起來，讓代數運算法與直觀圖像法優勢互補，抽象思維和形象思維共同運作，將復雜的數學問題化繁為簡，找到解決問題的最佳方案。

二、數形結合的途徑

在數學學習中，我們總能發現“數”和“形”是分不開的。化形為數的橋梁是解析幾何，涉及到代數運算的方程組求解、變量代換、不等式的構造與求解等方面，特別是在求異面直線構成的角、線面角、面與面構成的角以及判斷點線面的位置關系等問題中，向量的代數運算起著至關重要的作用。化數為形的例子也不勝枚舉，如解決函數問題時，畫出大致圖像對解題有很大的幫助；判斷函數單調性、確定函數零點、尋找函數最值等方面化數為形的途徑常常為解決問題提供直觀印象及解題途徑啟示。總之,數形結合以數解形，以形助數，化繁為簡，化難為易是一種重要的數學思維模式。

三、數形結合實例及思路分析

本文通過幾個數形結合的題例分析，探討其在數學問題處理上的一般思路、解題技巧及方法總結，以期與同學一起培養借助這種數學模式處理具體問題的數學思維能力。分析下面題例：

例1：已知橢圓C:■+■=1,在C上任取三個不同的點P1，P2，P3，使得∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3，證明■+■+■為定值，并求出該值。

分析：與橢圓標準方程■+■=1對比，此處a=6，b=3■，c=3，準線x=12，a=1/2。

設∠AFP1=α?圯∠AFP2=α+2x/3∠AFP3=α+4x/3（按逆時針方向），記|FP1|=x1，則|FM1|=x1cosα，點P1到準線距離為2x1，由FD=FM+MD=x1cosα+2x1=■-c=9，故有x1=■?圯■=■，同理■=■，■=■,因此■+■+■=■=■.

點評：條件∠P1FP2=∠P1FP3=∠P2FP3為我們表示FP1,FP2,FP3提供了便利，也暗示了我們本題可能需要尋求幾何方法而非僅憑代數手段硬算。盡管解析幾何題一般思路是聯立方程組求解，但根據圓錐曲線橢圓的定義和幾何性質解題，往往是簡化解題過程的最佳手段。這題若是用點斜式設出方程與橢圓方程聯立，再利用韋達定理和弦長公式解出線段FP1長度，類似解出FP2,FP3長度，同樣可得到結果，但運算量過大，非最佳策略。

例2：如果三個正實數x，y，z滿足x2+y2+xy=■，x2+z2+xz=■，y2+z2+yz=36，求xy+yz+zx的值。

解：將三個等式變形為x2+y2-2xycos120°=(■)2，x2+z2-2xzcos120°=(■)2，y2+z2-2yzcos120°=62，如圖，構造△PBC、△PCA、△PAB，使PB=x，PA=y，PC=z.∠BPC=∠CPA=∠APB=120。AB=13/2,BC=5/2,AC=6.由勾股定理,△ABC是一個直角三角形.由S△ABC=S△PBC+S△PAC=S△PAB

易得：■（xy+yz+zx）sin120°=■，從而得xy+yz+zx=10■.

點評：從原題條件出發，根據題設表達式構造基本幾何圖形是解答此題的關鍵。觀察題目給的三個條件，很容易聯想到余弦定理；三個數據也與勾股數相關，這些都提示我們將這個問題放到三角形中研究。這樣問題就顯得清晰、簡單、直觀。

例3：已知函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(x)=x沒有實數根。

問：f(f(x))=x是否有實數根？并證明你的結論。

解法一：分析法

假設f(f(x))=x有實根，即存在實數x0使得f(f(x0)=x0，令f(x0)=t，此時有點A(x0,t),B(t,x0)都是y=f(x)上的點。由于f(x)=x沒有實數根，所以A，B這兩點不重合且關于直線y=x對稱。

所以y=f(x)=ax2+bx+c與y=x必有交點，即f(x)=x有實根，與條件矛盾，所以f(f(x))=x沒有實數根。

解法二：數形結合圖像法

當a>0時，∵f(x)=x無實根，∴?坌x,f(x)>x,f(f(x))>f(x)>x對，∴f(f(x))=x無實數根；當a<0時，同理可證f(f(x))

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點評：本題一題多解，通過比較，我們發現方法一簡潔嚴謹，方法二最直觀易懂。