淺談極限運算中的■型問題常見解題方法

游祎++劉海峰+付夢琳

一、引言

在函數極限運算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運算題型。雖然洛必達法則是解決此類問題的一種重要的數學手段，但是對于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應根據問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達法則以及泰勒公式等。筆者在此對不同類型題型和方法做出相應的歸納和總結，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達法則

直接應用洛必達法則求解0/0型未定式問題是一個基本思路。但是在應用該方法時的一個前提條件是函數的求導計算不是太繁瑣，同時在使用該方法時注意與其他方法如等價代換、代數式化簡以及極限性質的結合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對代數式進行變形轉換為■型不定式形式，再使用洛必達法則

[例2]計算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉換為0/0型不定式形式，再使用洛必達法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達法則題型使用洛必達法則能夠使題目簡化，但是對于有些類型的洛必達法則題型使用洛必達法則后卻很復雜，這種情況下應考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質、等價無窮小代換等結合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應用

借助于變量代換，同時與其他數學手段比如等價無窮小替換結合將題型轉化為洛必達法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對極限基本概念、性質有深入理解。

[例3]計算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數學手段，但是在一些問題上比用導數工具求解卻更加方便。

[例4]計算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達法則可以求解，但是不是最好的方法。事實上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應用

初學高等數學的學生常常感到泰勒公式的應用比較困難，其實帶有佩亞諾型余項的泰勒公式在0/0型極限運算中的應用常常使得問題得以簡化。

6.等價無窮小替換在0/0型不定式中的應用

使用等價無窮小替換，將函數轉化為兩個重要極限題型或者符合洛必達法則的形式，可使題目簡化，運算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結束語

上節所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學數學學習過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數學思想方法。對于綜合題型往往需要多種方法的結合使用。但是對基本概念、基礎知識的熟練掌握才是能夠實現一題多解的關鍵所在。

一、引言

在函數極限運算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運算題型。雖然洛必達法則是解決此類問題的一種重要的數學手段，但是對于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應根據問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達法則以及泰勒公式等。筆者在此對不同類型題型和方法做出相應的歸納和總結，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達法則

直接應用洛必達法則求解0/0型未定式問題是一個基本思路。但是在應用該方法時的一個前提條件是函數的求導計算不是太繁瑣，同時在使用該方法時注意與其他方法如等價代換、代數式化簡以及極限性質的結合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對代數式進行變形轉換為■型不定式形式，再使用洛必達法則

[例2]計算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉換為0/0型不定式形式，再使用洛必達法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達法則題型使用洛必達法則能夠使題目簡化，但是對于有些類型的洛必達法則題型使用洛必達法則后卻很復雜，這種情況下應考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質、等價無窮小代換等結合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應用

借助于變量代換，同時與其他數學手段比如等價無窮小替換結合將題型轉化為洛必達法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對極限基本概念、性質有深入理解。

[例3]計算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數學手段，但是在一些問題上比用導數工具求解卻更加方便。

[例4]計算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達法則可以求解，但是不是最好的方法。事實上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應用

初學高等數學的學生常常感到泰勒公式的應用比較困難，其實帶有佩亞諾型余項的泰勒公式在0/0型極限運算中的應用常常使得問題得以簡化。

6.等價無窮小替換在0/0型不定式中的應用

使用等價無窮小替換，將函數轉化為兩個重要極限題型或者符合洛必達法則的形式，可使題目簡化，運算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結束語

上節所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學數學學習過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數學思想方法。對于綜合題型往往需要多種方法的結合使用。但是對基本概念、基礎知識的熟練掌握才是能夠實現一題多解的關鍵所在。

一、引言

在函數極限運算中，0/0型未定式型是一類重要的極限運算題型。雖然洛必達法則是解決此類問題的一種重要的數學手段，但是對于一些題型來說這并不是最為有效的方法，應根據問題的具體情況選取不同的方法。如換元法、取倒法、使用洛必達法則以及泰勒公式等。筆者在此對不同類型題型和方法做出相應的歸納和總結，這有助于提高解決該類型問題的能力。

二、0/0型未定式問題常見解題途徑

1.0/0未定式題型首選洛必達法則

直接應用洛必達法則求解0/0型未定式問題是一個基本思路。但是在應用該方法時的一個前提條件是函數的求導計算不是太繁瑣，同時在使用該方法時注意與其他方法如等價代換、代數式化簡以及極限性質的結合，這種解題方式常常使得解題途徑簡單明了。

[例1]計算極限：■■，a≠0

分析：這是0/0型不定式。如果使用因式分解方法求極限過程較為繁瑣，使用洛必達法則很容易求解：■■■■■=■am-n

2.首先對代數式進行變形轉換為■型不定式形式，再使用洛必達法則

[例2]計算極限：■x2（■-arctan2x2）

分析：這是0·∞型不定式。先將其轉換為0/0型不定式形式，再使用洛必達法則求解：

■x2（■-arctan2x2）=■■■■■=■■=■

一些典型的洛必達法則題型使用洛必達法則能夠使題目簡化，但是對于有些類型的洛必達法則題型使用洛必達法則后卻很復雜，這種情況下應考慮與其他方法如變量替換、極限基本性質、等價無窮小代換等結合使用。

3.換元法在0/0型不定式中的應用

借助于變量代換，同時與其他數學手段比如等價無窮小替換結合將題型轉化為洛必達法則適用范圍是求解0/0型不定式的常見思路，但是這種處理模式要求對極限基本概念、性質有深入理解。

[例3]計算極限：■（x-π）tan■

這是0·∞型不定式，考慮換元法求解。令x-π=t?圯x=π+t，■（x-π）tan■=■ttan■=-■tcot■=■■=-■■=-2

4.因式分解法在0/0型不定式中的應用

借助因式分解求解0/0型不定型問題雖然是初等數學手段，但是在一些問題上比用導數工具求解卻更加方便。

[例4]計算極限■■

分析：本題屬于0/0型不定式，使用洛必達法則可以求解，但是不是最好的方法。事實上借助因式分解問題很快得以簡化：■■=■■=3

5.泰勒公式在0/0型不定式中的應用

初學高等數學的學生常常感到泰勒公式的應用比較困難，其實帶有佩亞諾型余項的泰勒公式在0/0型極限運算中的應用常常使得問題得以簡化。

6.等價無窮小替換在0/0型不定式中的應用

使用等價無窮小替換，將函數轉化為兩個重要極限題型或者符合洛必達法則的形式，可使題目簡化，運算簡捷。

[例5]求極限：■■

分析：由于1-ex■~-x2，代入題中，配合洛必達法則，有：

■■=■■=-■■=-■■=-1

三、結束語

上節所列舉的幾種方法是求解0/0問題中常用的方法。隨著大學數學學習過程的逐步深入，我們需要逐步掌握一些過去不熟悉的數學思想方法。對于綜合題型往往需要多種方法的結合使用。但是對基本概念、基礎知識的熟練掌握才是能夠實現一題多解的關鍵所在。