基態Bn（n=2，3）結構與完全解析勢能函數

祝恒江，路俊哲，魏 婕，劉立仁

（新疆師范大學物理與電子工程學院，烏魯木齊830054）

1 引 言

硼塊體材料呈現半導體性質，具有低密度、高熔點、高ΔH燃燒及金剛石般的硬度，無論是從體積和重量的標準看，它都是一種高能材料，是一種令人特別感興趣的火箭推進劑.硼可以和其他元素合成為很多有用的金屬及無機化合物的富硼材料（以硼為基礎含有少量其它元素，但性質有重大改變的材料），它們一般都很硬，熔點高，導電、導熱性好，具有廣泛的應用前景.如爆炸，材料精煉與提純，高彈纖維混合物，化學性質穩定的絕緣體，高溫半導體設備和熱電轉換材料等方面都要涉及到硼和富硼材料.因此，硼被視為是元素周期表中最令人感興趣的化學元素之一.

多年以來，硼材料的實驗和理論研究都十分活躍，主要集中在硼納米材料、硼超導材料、硼表面活性研究及硼的電學性質等方面.實驗方面，人們已經通過分子束外延技術和激光燒蝕技術合成了硼團簇，并通過飛行時間質譜技術研究了它的性質，預言純硼團簇是三維結構［1］.理論方面的報道也很多，其中Boustani［2］采用從頭計算方法研究了小硼團簇Bn（n=2～14）的幾何和電子結構，預言n＞9時，硼團簇的最終結構主要由六邊錐或五邊錐組成，以準平面或凸起結構作為空心球或納米管的表面部分.Lau［3-4］等報道了B12和B24的幾何結構與振動性質，指出B12的基態結構是凸平面，B24的基態結構為雙環結構.LI［5-7］等報道了B8，B7和B5的結構和穩定性，指出它們的基態構型分別是硼原子位于中心的七邊形，六邊錐和平面五邊環結構.劉立仁［8］等人利用密度泛函理論方法計算并分析了Bn（n=2～15）團簇的幾何結構和電子性質.另外，對B6，B4，B3和B2的結構和穩定性也都有相關報道［9-11］.

大部分富硼材料的結構多是基于一種剛性的三維網狀結構，具有低密度、高硬度和高的化學穩定性.近幾年，富硼材料的實驗和理論研究主要集中在三元硼化物，氮化硼，碳化硼和富硼氧化物.三元硼化物AlMgB14材料具有高硬度，高韌性，低密度，低摩擦系數以及抗高溫氧化腐蝕等眾多優異性能，在工具、模具、微機械制造及航空航天關鍵零部件等領域具有重要的應用前景［12-15］.氮化硼化合物因其在核技術，半導體和鋼鐵工業等領域的廣泛應用而倍受關注［16］.碳化硼具有超常的硬度及較高的中子吸收能力，高熔點，高抗彎強度，高彈性模量等特點，具有耐酸堿，抗氧化，不易侵蝕等優良十分的化學性質，被廣泛應用于工程陶瓷、核工業和航空航天等領域［17］.富硼氧化物因具有低密度，高硬度，高機械強度，高熔點，高化學穩定性，高熱導率等特殊性質可望成為有發展前景的新型的工業超硬材料［18-20］.

分子勢能函數一直是理論化學、原子分子物理等學科的重要研究課題之一，對分析研究分子的結構和性質都非常重要，同時也是研究分子形成和離解的重要基礎，通過勢能函數也可進行反應動力學計算，可對分子材料的制備和應用提供理論指導，其重要作用體現在：（1）分子本身幾何結構及電子的完整描述；（2）構造多原子分子全空間勢能函數的基礎；（3）研究分子穩定性的依據；（4）研究原子與分子碰撞和分子反應動力學的基礎.

硼和富硼材料的理論和實驗研究都十分活躍，但B2，B3分子及其離子的勢能函數研究十分有限，這與硼的化學元素地位甚不相稱.據作者所知，目前僅有閆安英［21］等人利用密度泛函理論B3LYP方法給出了B2基態分子結構及勢能函數及楊傳路，朱正和［25］等人利用從頭計算QCISD方法給出了B3分子的結構和勢能函數的文獻報道.文獻［21］所用方法比較粗略，相應得出的數據與實驗數據有較大誤差，而文獻［25］在確定多體項展式勢能函數三體項線性系數和非線性系數時，沒有考慮它們之間的關聯，所得解析勢能函數不能準確再現B3分子基態平衡結構的全部特征，未能實現用一個勢能函數同時描述多個極小點的性質或由一種穩定構型的數據確定其它穩定構型的勢能面.鑒于此，B2及B3分子及其離子的勢能函數值得進一步進行理論與實驗研究.本文使用Gaussian03程序包，采用單雙取代耦合簇（CCSD）方法，選擇基組6-311+g（2df），對B2分子的基態進行優化計算，采用十一參量Murrell-Sorbie函數，運用最小二乘法擬合得到B2分子基態解析勢能函數，給出與實驗值符合很好的光譜常數.使用同樣的方法和基組，對B3分子的基態結構進行優化計算，采用多體項展式法，考慮線性系數和非線性系數之間的關聯，得到B3分子基態完全解析勢能函數.勢能面靜態特征表明，該勢能函數準確再現了B3分子基態全部平衡結構特征.

2 理論計算

2.1 B2基態分子結構及勢能函數

關于雙原子分子解析勢能函數的理論研究，主要采用單點能掃描擬合方法.B2分子基態解析勢能函數的確定一直是個難題，相關研究少有報道.文獻［21］利用密度泛函理論B3LYP方法，選用不同的基組對B2分子進行優化得到其基態穩定構型，選用最優組合DFT-B3LYP／cc-PVTZ對B2分子基態進行單點能掃描，采用五參數Murrell-Sorbie函數進行非線性最小二乘法擬合，得到了B2分子基態解析勢能函數.文獻［22］利用已有的光譜常數數據，經零點能校正，推算出B2分子基態五參數Murrell-Sorbie解析勢能函數.

B2分子是一個簡單體系，但事實表明對B2分子解析勢能函數的理論研究卻相當困難.原因在于，理論計算時，同一方法不同的基組，甚至不同的初始猜，都會使計算結果有較大差異.對采用單點能掃描擬合方法得到雙原子分子勢能函數而言，選取一個合理的勢能函數關系十分重要，且單點能的掃描方式和初始猜的確定也非常關鍵.Murrell-Sorbie函數能準確反應基態雙原子分子的排斥支和吸引支，正確反應其離解極限和長程勢，是用于描述雙原子分子勢能函數的最佳選擇.為提高勢能函數的精度，采用十一參量Murrell-Sorbie函數，其形式為：

式中ρ=R-Re，R 為核間距，Re為平衡間距，離解能De及a1-a9為Murrell-Sorbie函數參數.為了確定（1）式，需確定Re、De、a1-a9.首先，采用單雙取代耦合簇（CCSD）方法，參考Re，De，諧振頻率ωe及電子態的實驗數據及已有的理論計算結果，選用不同基組對B2分子進行優化計算，確定最優基組為6-311+g（2df），計算得到相應數據和結果列表1.然后，采用CCSD 方法，選擇6-311+g（2df）基組，對B2分子進行單點能掃描，將得到的一系列單點勢能值采用最小二乘法進行擬合，得到Murrell-Sorbie函數參數De和a1-a9列表2.

圖1給出B2分子的基態勢能曲線，從中可以看出：在計算范圍內單點能掃描得到的能量點與擬合曲線完全重合（其中實線為擬合結果，圓圈為單點能掃描結果）.由（1）式可得擬合參數與力常數的關系：

其中力常數f2、f3、f4與光譜常數的關系為：

其中μ為單個原子的約化質量，ωe為諧振頻率，xe為非諧振動因子，c為真空光速，Be和αe為剛性和非剛性轉動因子，Drot為離心畸變常數.由（2）、（3）兩式和表2，得到與實驗值符合很好的B2分子光譜常數列于表3.說明擬合得到的勢能函數能夠正確描述B2分子基態勢能函數性質.

表1 B2分子的平衡間距、離解能、諧振頻率與電子態Table 1 The optimized structural parameters for B2

從表1、表2 和表3 可知，與實驗值相比較，本文所得結果與實驗值符合很好，且相應數值均好于文獻值.另外，與優化計算值相比，擬合得到的De和ωe與實驗值符合的更好.

表2 B2分子離解能、Murrell-Sorbie函數參數Table 2 The dissociation energy and M-S potential energy function parameters for B2

表3 B2分子的光譜常數Table 3 The spectroscopic constants for B2

表4 B3分子基態線型、角型構型參數和離解能Table 4 The structure parameters and the dissociation energies of line-and angle-type

圖1 B2分子的勢能曲線Fig.1 The potential energy curve of B2

2.2 B3分子的平衡結構及力學常數

B3分子與B2分子的情況不同，B2分子僅有D∞h一種穩定構型，其電子態為X3∑-g.而B3分子則可能有C2v，C∞v，D∞h，D3h等四種穩定構型.本文采用CCSD 方法，選擇6-311+g（2df）基組，優化計算B3分子二重態，得到C2v，C∞v，D∞h，D3h四種穩定構型，其基態平衡構型為D3h，電子態為2A′1.B3分子四種穩定構型的結構參數和離解能列于表4，C2v構型的振動頻率與力常數列于表5.

表6給出了B3分子基態平衡構型及相應的電子態與文獻結果的對比.由表6可知，本文優化計算得到了B3分子基態全部可能的平衡構型.這與文獻［2，8，25］既相同又有較大區別，文獻［25］僅優化得到D∞h（2Πu），D3h（2A′1）兩種平衡構型，而文獻［2］和文獻［8］則只分別優化得到C2v（2A1），D3h（2A′1）兩種平衡構型及C2v（2A′），D∞h（2∑），D3h（2A′）三種平衡構型.

表5 B3分子C2v構型振動頻率與力常數Table 5 The structure parameters of ground state and the force constants for B3

表6 B3分子基態平衡構型（電子態）與文獻結果比較Table 6 Equihbrium geometry and electronic State of B3compared with literature

2.3 基態B3分子的離解極限

在多原子分子勢能函數的研究中，正確的離解極限是必不可少的.因為在表述原子，分子及其離子的勢能函數中，必須知道在分子離解極限中各原子和原子團的電子狀態，才能給出多體展式中各級展式的解析勢能函數，從而得出多原子分子的勢能函數表達式.與雙原子的情況一樣，要確定多原子分子正確的離解極限，首先要確定電子態，利用從頭計算結合電子組態法的分析可以確定電子態，由分子反應靜力學原理可確定分子可能的電子態和離解極限.對于D3h構型的分子，其離解極限的確定比較特殊，需經C2v構型變形并結合微觀過程的可逆性原理才能確定可能的電子態，從而確定離解極限［25］.計算結果表明B3分子的基態平衡構型為D3h，電子態為2A′1.因此B3分子可按分離原子法指出的方式離解，又2Pu為B原子的基電子態，X3∑-g為B2分子的基電子態，符合能量最優原理，結合原子分子反應靜力學中的微觀過程傳遞性原理和B2（X3∑-g）分子的離解極限，故確定B3分子的離解極限為：

2.4 B3分子基態完全解析勢能函數

根據多體項展式理論，如果設基態原子的能量為零，則基態B3分子的多體項展式勢能函數可寫為：

（5）式中R1=R12，R2=R23，R3=R31；V（2）（Ri）（i=1，2，3）為兩體項，可由（1）式得到；V（3）（Ri）（i=1，2，3）為三體項，其形式為：

其中P 為多項式，T 為量程函數，分別為：

B3分子的基態構型為D3h.為簡化多體項形式，（6）、（7）兩式是以C2v構型為參考構型，并采用對稱內坐Si（i=1，2，3），內坐標ρi向對稱性坐標變換如下：

其中內坐標ρi=Ri-R0i（i=1，2，3），優化內坐標中的S2對R1和R2的交換是反對稱的，但R1和R2交換之后分子結構是等同的，為了滿足這一物理性質，（6）式中S2只能含有偶次項.（6）、（7）兩式中含有7個線性系數Ci（i=1，2，3，4，5，6，7）和兩個非線性系數λ1、λ3.利用B3分子平衡態C2v的幾何結構參數、力常數和離解能，以及Ci（i=1，2，3，4，5，6，7）與λ1、λ3的函數關系，對B3分子勢能面進行非線性優化得到λ1、λ3，進而得到7個線性系數Ci（i=1，2，3，4，5，6，7），結果列于表7.

為了直觀分析勢能函數特性，展示對稱性與分子結構以及分子的形成與離解的機理，根據已得出的數據參數，由（4）式圖繪出B3分子的伸縮振動和旋轉等值勢能圖2～圖6，正確復現了B3分子的穩態能量和平衡結構.

表7 B3分子勢能函數三體項參數Table 7 Coefficients of 3-body term of potential energy function for B3

圖2 是固定θ123=61.65895°時，改變鍵長R12，R23的B3分子勢能函數的伸縮振動等值勢能圖.圖2表明在R12=R23=0.15367nm 處有一個極小值7.564eV，準確再現了B3分子具有穩定的C2v結構特征，這與優化計算結果完全一致.與文獻［25］不同，圖2表明反應B+B2→B3不存在鞍點，是容易進行的無閾能反應.

圖2 B3分子的伸縮振動等值勢能圖 Fig.2 Stretched vibrational contour of potential energy for B3

圖3 B繞B-B旋轉的等值勢能圖 Fig.3 Rotational contour of potential energy function for Bround B-B

圖3將R12=0.15367nm 固定在X 軸上，以R12鍵的中點為原點建立Y 軸，另一B 原子繞R12鍵旋轉時形成的等值勢能圖.從圖3可以看出，當另一B原子旋轉到θ123=61.65895°，θ231=θ312=59.17053°處，有一個極小值7.5645eV，準確再現了B3分子穩定的C2v構型；當另一B 原子旋轉到θ123=θ231=θ312=60°處，有一個極小值7.5501 eV，準確再現了B3分子穩定的D3h構型；當另一B原子旋轉到θ321=180°處，有一個極小值6.18 eV，表明B3分子具有一個穩定的C∞v構型；當另一B 原子旋轉到θ213=180°處，有一個極小值7.07492eV，表明B3分子具有一個穩定的D∞h構型.由此可知基態B3分子具有C2v，D3h，C∞v和D∞h四個穩態構型.圖4是圖3的局部放大.

圖4 B繞B-B旋轉的等值勢能圖 Fig.4 Rotational contour of potential energy function for Bround B-B

圖5 B繞B-B旋轉的等值勢能圖Fig.5 Rotational contour of potential energy function for Bround B-B

圖5將R13=0.15751nm 固定在X 軸上，以R13鍵的中點為原點建立Y 軸，另一B 原子繞R13鍵旋轉時形成的等值勢能圖.圖5同樣表明在θ123=61.65895°，θ231=θ312=59.17053°處，有一個極小值7.5645eV，準確再現了B3分子穩定的C2v構

型；當另一B 原子旋轉到θ123=θ231=θ312=60°處，有一個極小值7.5491eV，準確再現了B3分子穩定的D3h構型；當另一B原子旋轉到θ213=θ132=180°處，有兩個相同的極小值7.0628eV，準確再現了B3分子穩定的D∞h構型.圖6是對圖5的局部放大.

圖6 B繞B-B旋轉的等值勢能圖Fig.6 Rotational contour of potential energy function for Bround B-B

圖2～圖6表明，本文所得B3分子基態解析勢能函數準確再現了B3分子基態全部平衡結構特征，與優化計算結果完全一致，是B3分子基態的完全解析勢能函數，實現了用一個勢能函數同時描述多個極小點的性質或由一種穩定構型的數據確定其它穩定構型的勢能面.這正是多體項展式理論的特有優點，而從頭計算和LEPS 函數等方法則是不可能的.

3 結 論

本文使用Gaussian03程序包，采用單雙取代耦合簇（CCSD）方法，選擇基組6-311+g（2df），對B2分子的基態進行優化計算，采用十一參量Murrell-Sorbie函數，運用最小二乘法擬合得到B2分子勢能函數，得到與實驗值符合很好的光譜常數；對B3分子的基態平衡結構進行優化計算，采用多體項展式法，利用B3分子平衡結構C2v的幾何參數、力常數和離解能，以及線性系數Ci（i=1，2，3，4，5，6，7）與非線性系數λ1、λ3的函數關系，先在極小點附近對B3分子勢能面進行非線性優化擬合得到λ1、λ3，進而得到Ci，得到基態B3分子的完全解析勢能函數，準確再現了B3分子基態全部平衡結構特征，實現了用一個勢能函數同時描述多個極小點的性質或由一種穩定構型的數據確定其它穩定構型的勢能面.

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