函數(shù)模型及其應(yīng)用例談

李曉萍

函數(shù)模型是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有力工具。然而，要能夠?qū)Ω鞣N問題有準(zhǔn)確的判斷，并且在此基礎(chǔ)上找到最為適合的函數(shù)模型，則需要學(xué)生具備較好的思維能力及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文將結(jié)合實例來具體談?wù)労瘮?shù)模型及其應(yīng)用。

一、一次函數(shù)與二次函數(shù)模型

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常見的函數(shù)模型是一次函數(shù)與二次函數(shù)模型，這兩種函數(shù)模型在構(gòu)建及實際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)給學(xué)生強調(diào)如下要點：（1）當(dāng)涉及的問題可以歸結(jié)為一次函數(shù)模型時，即函數(shù)的增長特點是隨直線上升或直線下降時。對于這樣的問題，在構(gòu)建一次函數(shù)模型時主要是借助一次函數(shù)圖像的單調(diào)性來解決實際問題；（2）當(dāng)研究的問題是面積問題、產(chǎn)量問題及利潤問題等時，通常都涉及兩變量函數(shù)之間的二次函數(shù)關(guān)系，需要利用二次函數(shù)模型來具體求解，此時可以通過對函數(shù)配方并且結(jié)合具體的函數(shù)圖像來分析函數(shù)的單調(diào)性，最后找出相關(guān)規(guī)律讓問題得以解決；（3）在一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的構(gòu)建及實際應(yīng)用中，特別需要注意的是函數(shù)的定義域。

評析：分段函數(shù)是一種非常具有代表性的函數(shù)模型，也是能夠讓很多復(fù)雜問題得以解決的方法。在利用分段函數(shù)模型時需要提醒學(xué)生注意如下事項：（1）當(dāng)問題中的變量關(guān)系無法用一個函數(shù)式表達(dá)時，應(yīng)立刻想到建立分段函數(shù)模型；（2）在使用分段函數(shù)解決實際問題時，應(yīng)做到思維清晰，可以先將整個問題當(dāng)作幾個小問題來分別處理，再結(jié)合每個小問題找出各段函數(shù)的變化規(guī)律，之后再讓這些分段函數(shù)匯集到一起，進(jìn)行相關(guān)總結(jié)。特別需要注意的是，分段函數(shù)中每一段函數(shù)的定義域都可能會不同，對于函數(shù)的端點值的確定也要十分明確。

三、指數(shù)函數(shù)模型

【例2】 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22。

（1） 求每年砍伐面積的百分比；

（2） 到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多還能砍伐多少年？

評析：例2是典型的增長率問題，增長率問題是非常常見的函數(shù)問題，很多都可以借助指數(shù)函數(shù)模型y=N（1+p）x（其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）和冪函數(shù)模型y=a（1+x）n（其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間）的形式來解決。在指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用中，計算是一個難點，在進(jìn)行對數(shù)運算或開方時要注意利用題目中給定的數(shù)值求解。

函數(shù)模型及其應(yīng)用是考查學(xué)生對函數(shù)知識的綜合應(yīng)用的一種非常有效的途徑，也是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的一種直觀體現(xiàn)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)借助實際問題的分析研討來提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生能夠更好地借助函數(shù)模型解決各類復(fù)雜問題。

（責(zé)任編輯 黃春香）endprint

函數(shù)模型是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有力工具。然而，要能夠?qū)Ω鞣N問題有準(zhǔn)確的判斷，并且在此基礎(chǔ)上找到最為適合的函數(shù)模型，則需要學(xué)生具備較好的思維能力及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文將結(jié)合實例來具體談?wù)労瘮?shù)模型及其應(yīng)用。

一、一次函數(shù)與二次函數(shù)模型

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常見的函數(shù)模型是一次函數(shù)與二次函數(shù)模型，這兩種函數(shù)模型在構(gòu)建及實際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)給學(xué)生強調(diào)如下要點：（1）當(dāng)涉及的問題可以歸結(jié)為一次函數(shù)模型時，即函數(shù)的增長特點是隨直線上升或直線下降時。對于這樣的問題，在構(gòu)建一次函數(shù)模型時主要是借助一次函數(shù)圖像的單調(diào)性來解決實際問題；（2）當(dāng)研究的問題是面積問題、產(chǎn)量問題及利潤問題等時，通常都涉及兩變量函數(shù)之間的二次函數(shù)關(guān)系，需要利用二次函數(shù)模型來具體求解，此時可以通過對函數(shù)配方并且結(jié)合具體的函數(shù)圖像來分析函數(shù)的單調(diào)性，最后找出相關(guān)規(guī)律讓問題得以解決；（3）在一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的構(gòu)建及實際應(yīng)用中，特別需要注意的是函數(shù)的定義域。

評析：分段函數(shù)是一種非常具有代表性的函數(shù)模型，也是能夠讓很多復(fù)雜問題得以解決的方法。在利用分段函數(shù)模型時需要提醒學(xué)生注意如下事項：（1）當(dāng)問題中的變量關(guān)系無法用一個函數(shù)式表達(dá)時，應(yīng)立刻想到建立分段函數(shù)模型；（2）在使用分段函數(shù)解決實際問題時，應(yīng)做到思維清晰，可以先將整個問題當(dāng)作幾個小問題來分別處理，再結(jié)合每個小問題找出各段函數(shù)的變化規(guī)律，之后再讓這些分段函數(shù)匯集到一起，進(jìn)行相關(guān)總結(jié)。特別需要注意的是，分段函數(shù)中每一段函數(shù)的定義域都可能會不同，對于函數(shù)的端點值的確定也要十分明確。

三、指數(shù)函數(shù)模型

【例2】 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22。

（1） 求每年砍伐面積的百分比；

（2） 到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多還能砍伐多少年？

評析：例2是典型的增長率問題，增長率問題是非常常見的函數(shù)問題，很多都可以借助指數(shù)函數(shù)模型y=N（1+p）x（其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）和冪函數(shù)模型y=a（1+x）n（其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間）的形式來解決。在指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用中，計算是一個難點，在進(jìn)行對數(shù)運算或開方時要注意利用題目中給定的數(shù)值求解。

函數(shù)模型及其應(yīng)用是考查學(xué)生對函數(shù)知識的綜合應(yīng)用的一種非常有效的途徑，也是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的一種直觀體現(xiàn)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)借助實際問題的分析研討來提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生能夠更好地借助函數(shù)模型解決各類復(fù)雜問題。

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函數(shù)模型是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的有力工具。然而，要能夠?qū)Ω鞣N問題有準(zhǔn)確的判斷，并且在此基礎(chǔ)上找到最為適合的函數(shù)模型，則需要學(xué)生具備較好的思維能力及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。本文將結(jié)合實例來具體談?wù)労瘮?shù)模型及其應(yīng)用。

一、一次函數(shù)與二次函數(shù)模型

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，最常見的函數(shù)模型是一次函數(shù)與二次函數(shù)模型，這兩種函數(shù)模型在構(gòu)建及實際應(yīng)用中應(yīng)當(dāng)給學(xué)生強調(diào)如下要點：（1）當(dāng)涉及的問題可以歸結(jié)為一次函數(shù)模型時，即函數(shù)的增長特點是隨直線上升或直線下降時。對于這樣的問題，在構(gòu)建一次函數(shù)模型時主要是借助一次函數(shù)圖像的單調(diào)性來解決實際問題；（2）當(dāng)研究的問題是面積問題、產(chǎn)量問題及利潤問題等時，通常都涉及兩變量函數(shù)之間的二次函數(shù)關(guān)系，需要利用二次函數(shù)模型來具體求解，此時可以通過對函數(shù)配方并且結(jié)合具體的函數(shù)圖像來分析函數(shù)的單調(diào)性，最后找出相關(guān)規(guī)律讓問題得以解決；（3）在一次函數(shù)與二次函數(shù)模型的構(gòu)建及實際應(yīng)用中，特別需要注意的是函數(shù)的定義域。

評析：分段函數(shù)是一種非常具有代表性的函數(shù)模型，也是能夠讓很多復(fù)雜問題得以解決的方法。在利用分段函數(shù)模型時需要提醒學(xué)生注意如下事項：（1）當(dāng)問題中的變量關(guān)系無法用一個函數(shù)式表達(dá)時，應(yīng)立刻想到建立分段函數(shù)模型；（2）在使用分段函數(shù)解決實際問題時，應(yīng)做到思維清晰，可以先將整個問題當(dāng)作幾個小問題來分別處理，再結(jié)合每個小問題找出各段函數(shù)的變化規(guī)律，之后再讓這些分段函數(shù)匯集到一起，進(jìn)行相關(guān)總結(jié)。特別需要注意的是，分段函數(shù)中每一段函數(shù)的定義域都可能會不同，對于函數(shù)的端點值的確定也要十分明確。

三、指數(shù)函數(shù)模型

【例2】 一片森林原來面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的14，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的22。

（1） 求每年砍伐面積的百分比；

（2） 到今年為止，該森林已砍伐了多少年？

（3） 今后最多還能砍伐多少年？

評析：例2是典型的增長率問題，增長率問題是非常常見的函數(shù)問題，很多都可以借助指數(shù)函數(shù)模型y=N（1+p）x（其中N是基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）和冪函數(shù)模型y=a（1+x）n（其中a為基礎(chǔ)數(shù)，x為增長率，n為時間）的形式來解決。在指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用中，計算是一個難點，在進(jìn)行對數(shù)運算或開方時要注意利用題目中給定的數(shù)值求解。

函數(shù)模型及其應(yīng)用是考查學(xué)生對函數(shù)知識的綜合應(yīng)用的一種非常有效的途徑，也是學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)的一種直觀體現(xiàn)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)借助實際問題的分析研討來提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生能夠更好地借助函數(shù)模型解決各類復(fù)雜問題。

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