用梅涅勞定理與帕斯卡定理證明一個幾何命題

秦進　簡萱慧

摘 要： 本文利用梅涅勞定理與帕斯卡定理證明同一個幾何命題，體現命題與命題之間的關系，揭示定理與定理之間的內在聯系.表明高等幾何的原理和方法在初等幾何的應用中的指導意義.

關鍵詞： 梅涅勞定理 帕斯卡定理 幾何命題

梅涅勞定理是證明共線點的有力工具，它是初等幾何中的一個重要定理，它在國際國內數學競賽試題中出現較多.帕斯卡定理是高等幾何中的一個重要定理.1640年，帕斯卡（Pascal）發現著名的射影幾何命題，它是二次曲線的射影理論的重要內容.通過對命題的證明揭示梅涅勞定理與帕斯卡定理之間的內在聯系，同時體現命題與命題之間的關系.如，朱德祥編寫的高等學校教材《初等幾何研究》的第53頁例題2，就是利用梅涅勞定理證明在射影幾何中占有重要地位的德薩格定理.特別是利用高等幾何的思想方法解決初等幾何問題，顯得尤為重要.高等幾何的原理和方法在初等幾何中應用非常廣泛，它具有獨特的巧妙、靈活等特點.適當利用高等幾何的定理證明初等幾何問題能起到化繁為簡，化難為易的作用.

梅涅勞定理：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB被一直線分別截于點X、Y、Z，則有 · · =-1.

逆定理（梅涅勞定理）：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB上各取一點X、Y、Z滿足關系 · · =-1，則此三點X、Y、Z共線.

帕斯卡定理：對于任意一個內接于非退化的二階曲線的簡單六點形，它的三雙對邊的交點在一直線上.

命題：圓上六點A、B、C、D、E、F，AB與DE交于P，BC與EF交于Q，CD與FA交于R，求證P，R，Q共線.

證法1：利用梅涅勞定理證明.

證明：如圖1，設DE與FA交于X，BC與DE交于Y，FA與BC交于Z.由AB截△XYZ三邊分別于A、B、P，

· · =-1，即 · · =-1

由CD截△XYZ三邊分別與C、D、R，

· · =-1

由EF截△XYZ三邊分別于E、F、Q，

· · =-1

將以上三式相乘，得（ · · ）· · · · · · =-1

由圓的性質知，

ZA·ZF=ZB·ZC，YB·YC=YD·YE，XD·XE=XF·XA

即，ZA·ZF·YB·YC·XD·XE=ZB·ZC·YD·YE·XF·XA

· · · · · =1

所以， · · =-1

由逆定理（梅涅勞定理），P，R，Q共線.

證法2：利用帕斯卡定理證明.

證明：如圖1，設簡單六點形ABCDEF內接于圓，其三對對邊AB與DE，BC與EF，CD與FA的交點分別為P，R，Q，圓顯然是非退化的二階曲線，根據利用帕斯卡定理，P，R，Q共線.

本命題證明的證法1是利用梅涅勞定理證明，證明時需要運用一定的技巧，有一定的難度.本命題的證法2是利用帕斯卡定理證明的，證明過程十分簡潔，達到了事半功倍的效果.利用高等幾何理論可以統一初等幾何的某些問題，提高推廣問題的能力，開闊視野，加強高等幾何和初等幾何的聯系， 有利于更深刻地認識和掌握初等幾何，并指導初等幾何的教學與研究.能夠在更高層面上理解幾何空間的基本特性、研究方法及其內在聯系，深刻體會幾何的本質.

參考文獻：

[1]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要： 本文利用梅涅勞定理與帕斯卡定理證明同一個幾何命題，體現命題與命題之間的關系，揭示定理與定理之間的內在聯系.表明高等幾何的原理和方法在初等幾何的應用中的指導意義.

關鍵詞： 梅涅勞定理 帕斯卡定理 幾何命題

梅涅勞定理是證明共線點的有力工具，它是初等幾何中的一個重要定理，它在國際國內數學競賽試題中出現較多.帕斯卡定理是高等幾何中的一個重要定理.1640年，帕斯卡（Pascal）發現著名的射影幾何命題，它是二次曲線的射影理論的重要內容.通過對命題的證明揭示梅涅勞定理與帕斯卡定理之間的內在聯系，同時體現命題與命題之間的關系.如，朱德祥編寫的高等學校教材《初等幾何研究》的第53頁例題2，就是利用梅涅勞定理證明在射影幾何中占有重要地位的德薩格定理.特別是利用高等幾何的思想方法解決初等幾何問題，顯得尤為重要.高等幾何的原理和方法在初等幾何中應用非常廣泛，它具有獨特的巧妙、靈活等特點.適當利用高等幾何的定理證明初等幾何問題能起到化繁為簡，化難為易的作用.

梅涅勞定理：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB被一直線分別截于點X、Y、Z，則有 · · =-1.

逆定理（梅涅勞定理）：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB上各取一點X、Y、Z滿足關系 · · =-1，則此三點X、Y、Z共線.

帕斯卡定理：對于任意一個內接于非退化的二階曲線的簡單六點形，它的三雙對邊的交點在一直線上.

命題：圓上六點A、B、C、D、E、F，AB與DE交于P，BC與EF交于Q，CD與FA交于R，求證P，R，Q共線.

證法1：利用梅涅勞定理證明.

證明：如圖1，設DE與FA交于X，BC與DE交于Y，FA與BC交于Z.由AB截△XYZ三邊分別于A、B、P，

· · =-1，即 · · =-1

由CD截△XYZ三邊分別與C、D、R，

· · =-1

由EF截△XYZ三邊分別于E、F、Q，

· · =-1

將以上三式相乘，得（ · · ）· · · · · · =-1

由圓的性質知，

ZA·ZF=ZB·ZC，YB·YC=YD·YE，XD·XE=XF·XA

即，ZA·ZF·YB·YC·XD·XE=ZB·ZC·YD·YE·XF·XA

· · · · · =1

所以， · · =-1

由逆定理（梅涅勞定理），P，R，Q共線.

證法2：利用帕斯卡定理證明.

證明：如圖1，設簡單六點形ABCDEF內接于圓，其三對對邊AB與DE，BC與EF，CD與FA的交點分別為P，R，Q，圓顯然是非退化的二階曲線，根據利用帕斯卡定理，P，R，Q共線.

本命題證明的證法1是利用梅涅勞定理證明，證明時需要運用一定的技巧，有一定的難度.本命題的證法2是利用帕斯卡定理證明的，證明過程十分簡潔，達到了事半功倍的效果.利用高等幾何理論可以統一初等幾何的某些問題，提高推廣問題的能力，開闊視野，加強高等幾何和初等幾何的聯系， 有利于更深刻地認識和掌握初等幾何，并指導初等幾何的教學與研究.能夠在更高層面上理解幾何空間的基本特性、研究方法及其內在聯系，深刻體會幾何的本質.

參考文獻：

[1]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint

摘 要： 本文利用梅涅勞定理與帕斯卡定理證明同一個幾何命題，體現命題與命題之間的關系，揭示定理與定理之間的內在聯系.表明高等幾何的原理和方法在初等幾何的應用中的指導意義.

關鍵詞： 梅涅勞定理 帕斯卡定理 幾何命題

梅涅勞定理是證明共線點的有力工具，它是初等幾何中的一個重要定理，它在國際國內數學競賽試題中出現較多.帕斯卡定理是高等幾何中的一個重要定理.1640年，帕斯卡（Pascal）發現著名的射影幾何命題，它是二次曲線的射影理論的重要內容.通過對命題的證明揭示梅涅勞定理與帕斯卡定理之間的內在聯系，同時體現命題與命題之間的關系.如，朱德祥編寫的高等學校教材《初等幾何研究》的第53頁例題2，就是利用梅涅勞定理證明在射影幾何中占有重要地位的德薩格定理.特別是利用高等幾何的思想方法解決初等幾何問題，顯得尤為重要.高等幾何的原理和方法在初等幾何中應用非常廣泛，它具有獨特的巧妙、靈活等特點.適當利用高等幾何的定理證明初等幾何問題能起到化繁為簡，化難為易的作用.

梅涅勞定理：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB被一直線分別截于點X、Y、Z，則有 · · =-1.

逆定理（梅涅勞定理）：設三角形△ABC三邊（所在直線）BC、CA、AB上各取一點X、Y、Z滿足關系 · · =-1，則此三點X、Y、Z共線.

帕斯卡定理：對于任意一個內接于非退化的二階曲線的簡單六點形，它的三雙對邊的交點在一直線上.

命題：圓上六點A、B、C、D、E、F，AB與DE交于P，BC與EF交于Q，CD與FA交于R，求證P，R，Q共線.

證法1：利用梅涅勞定理證明.

證明：如圖1，設DE與FA交于X，BC與DE交于Y，FA與BC交于Z.由AB截△XYZ三邊分別于A、B、P，

· · =-1，即 · · =-1

由CD截△XYZ三邊分別與C、D、R，

· · =-1

由EF截△XYZ三邊分別于E、F、Q，

· · =-1

將以上三式相乘，得（ · · ）· · · · · · =-1

由圓的性質知，

ZA·ZF=ZB·ZC，YB·YC=YD·YE，XD·XE=XF·XA

即，ZA·ZF·YB·YC·XD·XE=ZB·ZC·YD·YE·XF·XA

· · · · · =1

所以， · · =-1

由逆定理（梅涅勞定理），P，R，Q共線.

證法2：利用帕斯卡定理證明.

證明：如圖1，設簡單六點形ABCDEF內接于圓，其三對對邊AB與DE，BC與EF，CD與FA的交點分別為P，R，Q，圓顯然是非退化的二階曲線，根據利用帕斯卡定理，P，R，Q共線.

本命題證明的證法1是利用梅涅勞定理證明，證明時需要運用一定的技巧，有一定的難度.本命題的證法2是利用帕斯卡定理證明的，證明過程十分簡潔，達到了事半功倍的效果.利用高等幾何理論可以統一初等幾何的某些問題，提高推廣問題的能力，開闊視野，加強高等幾何和初等幾何的聯系， 有利于更深刻地認識和掌握初等幾何，并指導初等幾何的教學與研究.能夠在更高層面上理解幾何空間的基本特性、研究方法及其內在聯系，深刻體會幾何的本質.

參考文獻：

[1]朱德祥.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]梅向明等.高等幾何[M].北京：高等教育出版社，1999.endprint