由一道高考模擬題想到的

靳峰娜

摘 要： 中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，以方程的觀點(diǎn)研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題速度，以至于被迫中止解題過程.特別是高考過程中，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保量地完成解題任務(wù)，計(jì)算能力是考查的一個重要方面.探索減小運(yùn)算量的方法，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程顯得非常重要.

關(guān)鍵詞： 解析幾何 減少運(yùn)算量 高考模擬題

筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)遇到這樣一道模擬題：

如圖，已知橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），雙曲線 + =1的兩條漸近線為l ，l .過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l ，又l與l 交于點(diǎn)P，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.

（Ⅰ）若雙曲線的離心率為 且雙曲線的焦距為4，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）問為例，按照解析幾何的常規(guī)做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）與l ∶y= x聯(lián)立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

則 = = = ≤ = -1，（當(dāng)t= -1時(shí)取等號）

∴ 的最大值為 -1.

總結(jié)：這種做法運(yùn)算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此種解法并沒有用到在解解析幾何題經(jīng)常使用的“設(shè)而不求”的方法，比如韋達(dá)定理，“點(diǎn)差法”等.從減少解析幾何運(yùn)算量的角度來說，此種解法中“設(shè)點(diǎn)并求”是不太可取的一種方法，不到萬不得已不用.那么是不是除了這種“通法”外，此題就沒有其他減小運(yùn)算量的方法呢？

聯(lián)想平時(shí)在計(jì)算解析幾何題時(shí)用的一些減小運(yùn)算量的小“技巧”，筆者試著從以下角度分析求解本題：

1.改變設(shè)法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c與l ： x聯(lián)立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

總結(jié)：當(dāng)已知直線的橫截距時(shí)，設(shè)直線為x=ty+m型往往會收到意想不到的效果.另外，此題在求線段比時(shí)將其投影到y(tǒng)軸，可以減少一個點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)算.不要小瞧這“一小步”，對于較復(fù)雜的解析幾何題來說這是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，則 =λ ，

由原解知P（ ， ），進(jìn)而x = = = y = = = 將其代入橢圓C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

總結(jié)：向量本身就是一種工具，此種解法正是利用這個有效工具，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用在橢圓上這一條件得出結(jié)論，給人一種順理成章，一氣呵成的感覺.

3.活用平幾

另解3：過P作x軸的垂線交x軸于C，過A作PC軸的垂線交PC軸于A .記l與l 的交點(diǎn)為D，則O、P、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在橢圓的右準(zhǔn)線上，則 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小結(jié)：以上解法借助圓的幾何性質(zhì)解題，令人拍案叫絕.采用“回歸定義”的策略，簡捷運(yùn)算，是“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合的典范.

以上共介紹了三種解析幾何中常用的減小計(jì)算量的方法.其實(shí)，在解決解析幾何問題時(shí)，減小計(jì)算量的方法還有很多，比如設(shè)而不求、點(diǎn)差法、三角代換、極坐標(biāo)、參數(shù)方程、使用特值等，并且不同的題目會有不同的處理辦法，只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，就能夠以簡馭繁、事半功倍，使解題思路構(gòu)筑在較高的層面上.

參考文獻(xiàn)：

[1]謝全苗.論數(shù)學(xué)求簡精神的培養(yǎng).數(shù)學(xué)通報(bào)，2004.2.

[2]成軍.用平面向量巧解一題.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006.5.

摘 要： 中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，以方程的觀點(diǎn)研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題速度，以至于被迫中止解題過程.特別是高考過程中，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保量地完成解題任務(wù)，計(jì)算能力是考查的一個重要方面.探索減小運(yùn)算量的方法，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程顯得非常重要.

關(guān)鍵詞： 解析幾何 減少運(yùn)算量 高考模擬題

筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)遇到這樣一道模擬題：

如圖，已知橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），雙曲線 + =1的兩條漸近線為l ，l .過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l ，又l與l 交于點(diǎn)P，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.

（Ⅰ）若雙曲線的離心率為 且雙曲線的焦距為4，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）問為例，按照解析幾何的常規(guī)做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）與l ∶y= x聯(lián)立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

則 = = = ≤ = -1，（當(dāng)t= -1時(shí)取等號）

∴ 的最大值為 -1.

總結(jié)：這種做法運(yùn)算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此種解法并沒有用到在解解析幾何題經(jīng)常使用的“設(shè)而不求”的方法，比如韋達(dá)定理，“點(diǎn)差法”等.從減少解析幾何運(yùn)算量的角度來說，此種解法中“設(shè)點(diǎn)并求”是不太可取的一種方法，不到萬不得已不用.那么是不是除了這種“通法”外，此題就沒有其他減小運(yùn)算量的方法呢？

聯(lián)想平時(shí)在計(jì)算解析幾何題時(shí)用的一些減小運(yùn)算量的小“技巧”，筆者試著從以下角度分析求解本題：

1.改變設(shè)法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c與l ： x聯(lián)立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

總結(jié)：當(dāng)已知直線的橫截距時(shí)，設(shè)直線為x=ty+m型往往會收到意想不到的效果.另外，此題在求線段比時(shí)將其投影到y(tǒng)軸，可以減少一個點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)算.不要小瞧這“一小步”，對于較復(fù)雜的解析幾何題來說這是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，則 =λ ，

由原解知P（ ， ），進(jìn)而x = = = y = = = 將其代入橢圓C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

總結(jié)：向量本身就是一種工具，此種解法正是利用這個有效工具，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用在橢圓上這一條件得出結(jié)論，給人一種順理成章，一氣呵成的感覺.

3.活用平幾

另解3：過P作x軸的垂線交x軸于C，過A作PC軸的垂線交PC軸于A .記l與l 的交點(diǎn)為D，則O、P、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在橢圓的右準(zhǔn)線上，則 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小結(jié)：以上解法借助圓的幾何性質(zhì)解題，令人拍案叫絕.采用“回歸定義”的策略，簡捷運(yùn)算，是“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合的典范.

以上共介紹了三種解析幾何中常用的減小計(jì)算量的方法.其實(shí)，在解決解析幾何問題時(shí)，減小計(jì)算量的方法還有很多，比如設(shè)而不求、點(diǎn)差法、三角代換、極坐標(biāo)、參數(shù)方程、使用特值等，并且不同的題目會有不同的處理辦法，只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，就能夠以簡馭繁、事半功倍，使解題思路構(gòu)筑在較高的層面上.

參考文獻(xiàn)：

[1]謝全苗.論數(shù)學(xué)求簡精神的培養(yǎng).數(shù)學(xué)通報(bào)，2004.2.

[2]成軍.用平面向量巧解一題.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006.5.

摘 要： 中學(xué)解析幾何是將幾何圖形置于直角坐標(biāo)系中，以方程的觀點(diǎn)研究曲線，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法解決幾何問題的優(yōu)越性，但有時(shí)運(yùn)算量過大，或需繁雜的討論，這些都會影響解題速度，以至于被迫中止解題過程.特別是高考過程中，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)，保質(zhì)保量地完成解題任務(wù)，計(jì)算能力是考查的一個重要方面.探索減小運(yùn)算量的方法，合理簡化解題過程，優(yōu)化思維過程顯得非常重要.

關(guān)鍵詞： 解析幾何 減少運(yùn)算量 高考模擬題

筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)遇到這樣一道模擬題：

如圖，已知橢圓C的方程為 + =1（a>b>0），雙曲線 + =1的兩條漸近線為l ，l .過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l ，又l與l 交于點(diǎn)P，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上至下依次為A、B.

（Ⅰ）若雙曲線的離心率為 且雙曲線的焦距為4，求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求 的最大值.

本文以第（Ⅱ）問為例，按照解析幾何的常規(guī)做法如下：

解：（Ⅱ）l∶y= （x-c）與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）x -2ca x+a （a c -b ）=0.

由求根公式得x = = .

l∶y= （x-c）與l ∶y= x聯(lián)立，可求得P（ ， ），

∴ = = = = .

令t= ∈（0，1），

則 = = = ≤ = -1，（當(dāng)t= -1時(shí)取等號）

∴ 的最大值為 -1.

總結(jié)：這種做法運(yùn)算量很大，即使用了“投影”思想，究其原因是：此種解法并沒有用到在解解析幾何題經(jīng)常使用的“設(shè)而不求”的方法，比如韋達(dá)定理，“點(diǎn)差法”等.從減少解析幾何運(yùn)算量的角度來說，此種解法中“設(shè)點(diǎn)并求”是不太可取的一種方法，不到萬不得已不用.那么是不是除了這種“通法”外，此題就沒有其他減小運(yùn)算量的方法呢？

聯(lián)想平時(shí)在計(jì)算解析幾何題時(shí)用的一些減小運(yùn)算量的小“技巧”，筆者試著從以下角度分析求解本題：

1.改變設(shè)法

另解1：（Ⅱ）l∶y= y+c與橢圓C： + =1聯(lián)立整理得：（a +b ）y +2ab cy-a b =0.

由求根公式得y = = .l：x= y+c與l ： x聯(lián)立，可求得P（ ， ），∴ = = = （后同原解）.

總結(jié)：當(dāng)已知直線的橫截距時(shí)，設(shè)直線為x=ty+m型往往會收到意想不到的效果.另外，此題在求線段比時(shí)將其投影到y(tǒng)軸，可以減少一個點(diǎn)的坐標(biāo)的運(yùn)算.不要小瞧這“一小步”，對于較復(fù)雜的解析幾何題來說這是“一大步”.

2.巧用向量

另解2：令 =λ，則 =λ ，

由原解知P（ ， ），進(jìn)而x = = = y = = = 將其代入橢圓C： + =1得：（c +λa ） +λ a b =a c （1+λ） ，

整理得：∴λ= （后同原解）.

總結(jié)：向量本身就是一種工具，此種解法正是利用這個有效工具，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用在橢圓上這一條件得出結(jié)論，給人一種順理成章，一氣呵成的感覺.

3.活用平幾

另解3：過P作x軸的垂線交x軸于C，過A作PC軸的垂線交PC軸于A .記l與l 的交點(diǎn)為D，則O、P、C、D四點(diǎn)共圓，

∴∠A PA=∠DOF，∴ = .

由原解知P在橢圓的右準(zhǔn)線上，則 =e，

∴ = = =esin∠DOF.

又tan∠DOF= ，∴sin∠DOF= ，

∴ = = （后同原解）.

小結(jié)：以上解法借助圓的幾何性質(zhì)解題，令人拍案叫絕.采用“回歸定義”的策略，簡捷運(yùn)算，是“數(shù)”與“形”有機(jī)結(jié)合的典范.

以上共介紹了三種解析幾何中常用的減小計(jì)算量的方法.其實(shí)，在解決解析幾何問題時(shí)，減小計(jì)算量的方法還有很多，比如設(shè)而不求、點(diǎn)差法、三角代換、極坐標(biāo)、參數(shù)方程、使用特值等，并且不同的題目會有不同的處理辦法，只要在平時(shí)的練習(xí)中多實(shí)踐、多總結(jié)，就能夠以簡馭繁、事半功倍，使解題思路構(gòu)筑在較高的層面上.

參考文獻(xiàn)：

[1]謝全苗.論數(shù)學(xué)求簡精神的培養(yǎng).數(shù)學(xué)通報(bào)，2004.2.

[2]成軍.用平面向量巧解一題.中學(xué)數(shù)學(xué)，2006.5.