函數y=x+ （m≠0），掀起你的“蓋頭”來，讓我來看看你的“臉”

沈潮海

函數y=x+ （m>0），很多老師在教學中會冠以它一個響亮的名字——“對勾”函數，這樣似乎既形象直觀地刻畫了這個函數的性質特征，又能讓學生加深對它的印象.但是如果函數y=x+ （m>0）可以叫“對勾”函數，那么y=x+ （m<0）該叫什么呢？筆者通過研究發現，所謂的“對勾”函數只不過是雙曲線家族的普通一員，若長期冠以“對勾”這樣的“頭銜”，那么在掩蓋它的真實身份的同時，也掩蓋了它的更多的性質.接下來，就來揭開函數y=x+ （m≠0）的真實面紗.

1.庖丁解牛

高中階段主要研究了焦點在坐標軸上的雙曲線方程，以下對中心在坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線 - =1（a>0，b>0）舉例說明.

因為雙曲線 - =1（a>0，b>0）在平移變化和旋轉變化下的形狀不發生變化，其中在平移變化下為： - =1（a>0，b>0），方程結構沒有大的變化，雙曲線的各種性質也容易研究，此處不做展開.而在旋轉變化下， - =1（a>0，b>0）結構會發生很大的變化.

引理：點P（x，y）在平面直角坐標系下，繞原點逆時針旋轉α角的旋轉變化，記為R ，旋轉后的點P′（x′，y′）.

（1）R 對應于矩陣，R =cosα -sinα|sinα cosα；（2）x′y′=R xy=cosα -sinαsinα cosαxy，

即：點P（x，y）在R 變化后的點P′（x′，y′）滿足：x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα.

設P（x，y）為雙曲線 - =1（a>0，b>0）上任意一點，在R 變化后的點為P′（x′，y′），

所以x′=xcosα-ysinαy′=xsinα+ycosα（α為旋轉角）…（*）

雙曲線 - =1（a>0，b>0）的兩條漸近線l ：y= 和l ：y=- x，記l 的傾斜角為θ（其中tanθ= ），現將l 繞原點逆時針旋轉 -θ，使得l 與y軸重合，取α= -θ，所以有cosα= sinα= 代入（*）得x′= x- yy′= x+ y…（1）

解得x= y= 又 - =1，所以 - =1，整理后得：y′= x′+ ，

令：k= ，m= ，則有：y′=kx′+ （k∈R，m>0）…（2）

2.柳暗花明

通過上述證明，函數y=kx+ （k∈R，m>0）的圖像可由雙曲線通過旋轉得到，當然y=kx+ （m>0）的真實身份就是雙曲線.

結論：函數y=kx+ （k∈R，m≠0）的圖像為雙曲線.

注：m<0的圖像，可由m>0時的圖像關于y軸對稱變換得到.

所以所謂的“對勾”函數y=x+ （m>0）的圖像，其實質是一雙曲線，當然y=x+ （m<0）也是一雙曲線。那么雙曲線y=x+ （m>0）與y=x+ （m<0）它們之間有什么關系呢？

3.順藤摸瓜

既然函數y=kx+ （k∈R，m>0）的圖像為雙曲線，當然它也具有雙曲線的一些性質。

（Ⅰ）根據（2）k= ，m= ，以及旋轉前雙曲線的離心率e= 得，雙曲線y=kx+ （m≠0）的離心率與k的關系為：k= .

（Ⅱ）由（1）的旋轉變化，雙曲線 - =1的另一漸近線l ：y=- x在旋轉變為y′= x′，即：雙曲線y=kx+ （m>0）的兩條漸近分別為直線x=0和y=kx.

特別地：當a=b，即e= 時，k=0，雙曲線y= （m>0）是由等軸雙曲線 - =1，繞原點逆時針旋轉 得到，其中m= ，且兩條漸近分別為直線x軸和y軸.

注：m<0的圖像，可由m>0時的圖像關于y軸對稱變換得到.

結論：反比列函數y= （m≠0）的圖像為等軸雙曲線.

（Ⅲ）雙曲線y=kx+ （m≠0），當m>0時，實軸長=2 ；虛軸長=2 ；當m<0時，實軸長=2 ；虛軸長=2 ；焦距=4 .

（Ⅳ）y=kx+ （m≠0）與y=kx- （m≠0）互為共軛雙曲線.

反思：雖然函數的圖像很多情況下可以直觀地刻畫函數的性質，但是圖像畢竟只是函數的“表象”，我們要通過“表象”看事物的本質，只有看透了事物本質，才能胸有成竹，百戰不殆，抓住事物本質是數學教學的重要目標之一.