高等數學內容教學難點分析與突破例談

邱香蘭

摘 要： 本文分析了高等數學內容中的教學難點，提出了突破教學難點的三種方法：搭建合適的臺階、循序漸進和“淺入深出”。

關鍵詞： 高等數學 教學難點 搭建臺階 循序漸進 淺入深出

教學難點是指學生不易理解的知識，或不易掌握的技能技巧。如高等數學內容中一元函數在一點處的極限定義，一元函數在一點處的導數定義，定積分的概念，變上限積分的概念及其求導，定積分的應用，多元函數的多重極限，多元函數的可微分，常微分方程在物理上的應用，等等，都是學生不易理解的知識；另外，不定積分的計算方法，求解某些二階微分方程的方法等，都是學生不易掌握的技能技巧。

難點有時要根據學生的實際水平來定，同樣一個問題在不同班級的不同學生中，就可以是難點也可以不是難點。如分部積分法對于專科學生來說，就是難點，而對于本科學生來說就不是難點。在一般情況下，使大多數學生感到困難的內容，就是教學難點。也可以說教學難點是由于新內容與學生已有的認知水平之間存在較大的落差而產生的。因此，要找出教學難點，就要分析學生已有的認知水平，分析以往學生學這些內容時容易犯的錯誤。

教師要著力采用各種有效辦法對教學難點加以突破，否則不但這部分內容學生聽不懂學不會，還會為理解以后的新知識和掌握新技能造成困難。如一元函數在一點處的極限定義如果沒有弄清楚，那么一元函數的連續性，一元函數在一點處的導數，定積分的概念，甚至于多元函數的極限，多元函數的可微分性等就都會學不會。

那么怎樣突破教學難點呢？既然教學難點是由于新內容與學生已有的認知水平之間存在較大的落差而產生的，那么就要分析這個落差，搭建合適的臺階。例如，要突破“變上限積分的概念及其求導”這個教學難點，首先分析：變上限積分不是一般的定積分，其值不是常數，而是一個函數（自變量為上限變量），如果被積函數在某個閉區間上連續，則這個變上限積分可導，其導數等于被積函數在上限處的值。然后，在教學中搭建合適的臺階：第一定義變上限積分，讓學生掌握其標準形式，老師強調被積函數的自變量與積分變量相同，否則，要求學生通過換元變成相同的變量。第二給出變上限積分的第一個性質，若被積函數在某個閉區間上連續，則上限變量趨于下限值時，對應的變上限積分是一個無窮小量；對此利用積分中值定理和閉區間上的連續函數的有界性及無窮小的性質進行證明。第三給出變上限積分的第二個性質，即課本上的原函數存在定理，對此除了要進行證明以外，還要讓學生判別所要求導的這個變上限積分是否為求導變量的復合函數，如果是復合函數就要利用復合函數的求導法則求導。最后，使學生掌握變上限積分的兩個性質的應用：第一個性質可用于利用洛必達法則求不定式的極限，第二個性質可用于含變上限積分的式子或方程的求解，其中求解的過程中需要求導。

要攻克教學難點，極其重要的一條就是循序漸進，一個5m高的峭壁，沒有專門的工具，沒有經過專業訓練的人是很難攀登的，而泰山那么高，一般的人都爬得上去，就是因為泰山開鑿了一般健康人都能接受的臺階。教學也是一樣的道理，要遵循循序漸進的原則。例如二階線性微分方程在電學上的應用實例的講解：首先要復習和補充電學中有關的知識和概念，如電容、電感的定義，電容、電感的計算公式，串聯電路的幾大特點；然后才能根據回路定律得出串聯電路的振蕩方程；最后進行討論求解。同理，在教學二階線性微分方程在力學上的應用實例時，首先要介紹實例的相應的背景知識并介紹有關的概念，如彈性恢復力、繩子的張力等，然后進行受力分析，并根據有關的物理定律建立振動方程，最后討論求解。

要攻克教學難點，極其重要的另一條就是“淺入深出”。成語“深入淺出”，是指講話或文章的內容深刻，語言文字卻淺顯易懂。而我認為教學，尤其是數學教學要“淺入深出”，這里的“淺入深出”是從字面意思理解的，“淺入”是指導入要淺顯，從簡單的例子或者從生活中實際的例子引入教學，“深出”是指從淺顯的例子中歸納出規律性的東西，比如定律、法則等。如在教學定積分的概念時，宜先學習曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程的求解計算步驟，然后分析：雖然所要計算的量，即曲邊梯形的面積A及變速直線運動的路程S的實際意義不同，前者是幾何量后者是物理量，但是它們都決定于一個函數及其自變量的變化區間，其次，計算這些量的方法與步驟都是相同的，并且它們都可以歸結為具有相同的結構的一種特定和的極限，拋開這些問題的具體意義，抓住它們在數量關系上共同的本質與特性加以概括，就可以抽象出定積分的定義。

要做到“淺入深出”，教師對教材研究必須深入透徹，且能創造性地處理教材。蘇霍姆林斯基的《給教師的建議》中有這樣一段話：“應當在你所教的那門科學領域里，使學校教科書里包含的那點科學基礎知識，對你來說只不過是入門的常識。在你的科學知識的大海里，你所教給學生的教科書里的那點基礎知識，應當只是滄海之一粟。”“如果一個教師在他剛參加教育工作的頭幾年里所具備的知識，與他要教給兒童的最低限度知識的比例為10：1，那么到他有了15年至20年教齡的時候，這個比例就變為20：1，30：1，50：1。”有了這樣的積淀才能真正實現“淺入深出”，達到“深入淺出”的教學效果。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學（上冊） [M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.