動態經濟系統最優控制與極大值原理的經濟學解釋

許堅

【文章摘要】

本文從動態經濟系統最優控制的數學模型入手，解釋模型變量，并在此基礎上給出動態經濟系統最優控制的經濟學解釋，最后結合一個實例來分析應用極大值原理求解實際問題，以便直觀而深刻的理解極大值原理在經濟系統中的應用。

【關鍵詞】

動態經濟系統；最優控制；極大值原理；經濟學

0 引言

動態最優化的問題，在自然科學與社會科學的很多領域中有著十分廣泛的應用。在經濟學中，尤其在博弈論和宏觀經濟學中有著大量的應用，研究動態最優化的數學工具有好幾種，如變分法、最優控制理論和動態規劃等。極大值原理不僅在現代控制理論中應用甚廣，在經濟金融領域的應用也相當廣泛，為了能有效的解決實際問題，解決經濟領域的復雜控制問題，深刻理解數學中的極大值原理的實質及原理精髓，了解其經濟學解釋對解決經濟系統的最優控制問題幫助很大。

極大值（也稱極小值）原理是蘇聯學者龐特里亞金很早就提出來的，后來人們利用極大值原理求解最優控制，以取代古典變分法。實際上，極大值原理也可看成古典變分法的推廣，即最優控制域不必局限于開集，也可推廣到閉集。

1 動態經濟系統最優控制的數學模型

1.1原始最優控制數學模型簡介：

狀態變量的時間發展軌跡：；性能指標函數為：

哈密爾頓函數（輔助函數）

1.2問題的數學模型

按照最優控制問題的模式引入符號標志：經濟系統有n個經濟變量，以及m個決策變量，動態經濟系統最優控制的數學模型可由下面的式子描述：

其中受到一定限制；

其中已知，給定， 在解決實際的經濟問題時，通常只考慮n=2，m=3的情況，即只有兩個經濟變量，兩個決策變量，從而上述模型可以簡化為：

其中受到一定限制；

其中已知，給定。

動態經濟系統最優控制數學模型的極大值原理的必要條件：

（1）

其中為哈密爾頓算子，決策變量在容許范圍內應使得哈密爾頓函數取值最大。如果是沒有限制的，那么哈密爾頓函數值取極大值的條件為：

動態經濟系統最優控制的極大值原理必要條件的經濟學解釋

在（1）中，哈密爾頓算子可看作影子價格，于是（1）可記作

由于，所以上式又可記作

（2）

由（1）和（2）得出

（3）

由（3）可以看出：是固定成本的價格，是中間投入的價格，當進行最優決策時，不僅要使在時間內獲得的人均消費最大，也要考慮到固定資本 與中間投入的增值最大。

一般來說，稱為對目標值的瞬間直接貢獻，稱為對目標的瞬時間接貢獻，兩者之和稱為對目標值的瞬時總貢獻，這便是哈密爾頓函數的經濟學意義。當進行經濟決策時，應當使得哈密爾頓函數值取最大，這便是極大值原理的經濟學意義。

再來解釋影子價格與的經濟學意義：對于動態經濟系統來說，其它都不變，僅固定資本增加的量，那么由于 的增加必使得在時間內目標增加，稱為由引起的收益；另一方面，若擁有的資本，在t時刻價值為，在時刻價值為，兩者之差為，稱其為的邊際成本。由于僅在變化，故。上式可以寫成（4），對的變化作類似分析，可得到

（5）

而（4）（5）就是動態經濟系統最優控制數學模型極值的必要條件。

2 實例分析

例如某種糧專業戶現擁有1臺抽水機及1輛馬車等固定資本總共 = 1.5萬元，投入種子及化肥等中間消耗= 0.3萬元，再投入10人年勞動工時；種20畝地，畝產1 500斤，每斤賣1元，種糧收入3萬元，加上其他收入共3.27萬元。每年除消費外，余下的用于擴大再生產，根據最優增長模型，在防調發展狀態下，產出的收入中應該有多少比例用于購買設備，多少比例用于購買化肥、種子、農藥等中間消耗投入？

解：首先構造哈密爾頓函數

當且時，應令。當且時，應令。以上兩種情況都是在約束邊界上，或為1意味著消費為0，這在長時間內是不可能的。因此經過一定時間的調整后，必然使得或都小于1，我們稱為協調發展狀態。

現在討論協調發展時與的取值：在協調發展時，，上式對時間t求導，得到。代入極值的必要條件，得到 。

將哈密爾頓函數代入上式，可以得出：

同樣可以求出：。由此可以求出 因此，最優的用于購置設備的投資比例，正好是生產函數中的指數；最優的用于購置中間消耗投入的比例，正好是生產函數中的指數，余下的30%用于消費。

【參考文獻】

[1]赫孝良.最優化與最優控制[M].西安交通大學出版社，2009.

[2]安吉爾·德·拉·弗恩特.經濟數學方法與模型[M].上海：上海財經大學出版社，2003.