巧用三角形面積解決幾何問題

趙云

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中階段，三角形作為一種基本圖形，其題型多種多樣，下面我就將能利用三角形面積解決的部分題型羅列如下，供大家參考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于點D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的長。

解法一：（作圖）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作圖，利用面積解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，BD是等腰三角形AC邊上的高，猜想PE、PF和BD之間具有怎樣的數量關系。

證法一：過P點作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四邊形DFPM為矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

證法二：

連接AP則S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明顯以上兩例中，利用面積的解法比解法一簡單一點，也利于學生接受和記憶。本文在此只做拋磚引玉之舉，能夠為廣大教育工作者提供一種啟示，一種思路。在教學過程中，往往一題有多種解法，我們不妨給予學生適當的提示與鼓勵，培養他們的發散性思維，往往能收到良好的效果。

（責任編輯 劉 馨）endprint

中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中階段，三角形作為一種基本圖形，其題型多種多樣，下面我就將能利用三角形面積解決的部分題型羅列如下，供大家參考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于點D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的長。

解法一：（作圖）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作圖，利用面積解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，BD是等腰三角形AC邊上的高，猜想PE、PF和BD之間具有怎樣的數量關系。

證法一：過P點作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四邊形DFPM為矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

證法二：

連接AP則S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明顯以上兩例中，利用面積的解法比解法一簡單一點，也利于學生接受和記憶。本文在此只做拋磚引玉之舉，能夠為廣大教育工作者提供一種啟示，一種思路。在教學過程中，往往一題有多種解法，我們不妨給予學生適當的提示與鼓勵，培養他們的發散性思維，往往能收到良好的效果。

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中圖分類號：G633.63 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0055-01

在初中階段，三角形作為一種基本圖形，其題型多種多樣，下面我就將能利用三角形面積解決的部分題型羅列如下，供大家參考。

[示例1]直角三角形ABC，∠C=90€埃珻D⊥AB于點D，AB=13，AC=12，BC=5，求CD的長。

解法一：（作圖）∵∠C=90€埃珹B=13，CB=5

∴sinA==

=

CD=

解法二（作圖，利用面積解）：

∵S△ABC=BC€譇C=30

∴S△ABC=ABCD=30

∴BC€譇C=AB€證D

CD=

[示例2]如圖，P是等腰三角形ABC底邊BC上的任意一點，PE⊥AB于點E，PF⊥AC于點F，BD是等腰三角形AC邊上的高，猜想PE、PF和BD之間具有怎樣的數量關系。

證法一：過P點作PM⊥BD于M，

∵BD⊥AC，PF⊥AC，

∴∠PMD=∠MDF=∠DFP=90€？

∴四邊形DFPM為矩形

∴PF=MD，PM∥AC

∴∠MPB=∠C

又∵△ABC是等腰三角形，AB=AC

即∠ABC=∠C=∠MPB

又∵∠PEB=∠BMP=90€埃珺P=BP

∴△BEP≌△PMB

∴PE=BM

又BD=BM+MD，PE=BM，PF=MD

∴PE+PF=BD

證法二：

連接AP則S△ABC=AC BD

又由S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB PE+AC PF=AC（PE+PF）

∴AC（PE+PF）=AC BD

∴PE+PF=BD

很明顯以上兩例中，利用面積的解法比解法一簡單一點，也利于學生接受和記憶。本文在此只做拋磚引玉之舉，能夠為廣大教育工作者提供一種啟示，一種思路。在教學過程中，往往一題有多種解法，我們不妨給予學生適當的提示與鼓勵，培養他們的發散性思維，往往能收到良好的效果。

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