因物理公式中物理量的物理意義產生的悖論

龍輝

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數學教師的任務，我們應更關注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結合數學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數值上等于電阻的倒數。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數值上還等于電阻的倒數嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數在數值上才等于這一狀態下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內阻的實驗，分析電流表外接和內接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內阻的測量值與真實值間的關系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數值為電源的內阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數的變化，r無窮減小，F將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經不能再用。

【例4】關于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數據作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據數據作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據數據作圖得圖6。

分析：（1）根據函數關系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數學教師的任務，我們應更關注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結合數學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數值上等于電阻的倒數。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數值上還等于電阻的倒數嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數在數值上才等于這一狀態下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內阻的實驗，分析電流表外接和內接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內阻的測量值與真實值間的關系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數值為電源的內阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數的變化，r無窮減小，F將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經不能再用。

【例4】關于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數據作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據數據作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據數據作圖得圖6。

分析：（1）根據函數關系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）12-0029-02

在物理教學中，特別是講公式的推導過程，教師在講臺上不遺余力的推導公式和推論，這是舍本求末的做法。公式的推導過程是數學教師的任務，我們應更關注公式中各個物理量的物理意義。只要認清公式和推論中的各個物理量的物理意義，結合數學知識，物理教學會更簡單有趣，學生學習也會更輕松。

【例1】關于伏安特性曲線斜率。

分析：1.如圖1所示，當導體為線性元件時，其伏安特性是一條過原點的直線，其斜率為K===，這時斜率在數值上等于電阻的倒數。但求斜率時不能用斜率的正切來求，因物理圖線的坐標軸是含有物理意義的，其單位長度可以表達大小不同的物理量。

2.如圖2所示，當導體為非線性元件時，其伏安特性是一條過原點的曲線，這時候曲線上某點的斜率在數值上還等于電阻的倒數嗎？我們看看這時的表達為K==（這是一個微分表達式），只能說這是一個微分電阻的倒數，而不再是。但是OP這一條過原點的直線的斜率的倒數在數值上才等于這一狀態下的電阻值。

【例2】用電壓表和電流表測電源的電動勢和內阻的實驗，分析電流表外接和內接兩種情況下電動勢的測量值與真實值，電源內阻的測量值與真實值間的關系。

分析：不考慮電流表和電壓表的內阻有：

E'=U1+I1r'…（1），E'=U2+I2r'…（2）

聯立（1）（2）解得：E'=，r'=，（求出E'和r'為測量值）

1.若采用圖1電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+I1r+I1RA…（1），E=U2+I2r+I2RA…（2），

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'（求出和為真實值）

比較可得，E'=E，r'=r+RA>r。

2.若采用圖2電路時，考慮電流表和電壓表的內阻有：E=U1+（I1+）r…（1），E=U2+（I2+）r…（2）

聯立（1）（2）解得：

E=>E'，r=>r'

3.以上用數學計算太繁瑣，如果用物理意義和圖像配合就很簡潔了。對于一個閉合電路，端電壓和干路電流的關系曲線與縱軸的交點U=E，曲線的斜率數值為電源的內阻，下面圖1、圖2中的虛線表示待測電源組成的閉合回路的真實的U-I曲線。

分析：圖1所示的電路，電流表測的是干路電流，而電壓表測的電壓比實際的路端電壓小，故而對同一I值，測量電壓小于真實的路端電壓，做出圖線如圖3的實線和虛線，由圖可得：E'=E，r

圖2所示的電路，電壓表測的確實的路端電壓，而電流表測的電流小于實際的干路電流，當短路時電流表測的電流才等于干路電流。這時電壓表的分流對干路電流無影響，即橫軸截距相等，故而對同一U值，電流表測的電流小于實際的干路電流，作出圖線如圖4的實線和虛線，由圖可知：E'

【例3】關于萬有引力的公式F=G

分析：1.如圖1所示，萬有引力公式F=G表達的是兩個質點間的作用力。

2.如圖2所示，當物體靠近地球，甚至通過隧道到達地心。物體與地球間的萬有引力如何變化呢？按照公式函數的變化，r無窮減小，F將達到無窮大。而正確的是先變大后變小，如果把地球看成勻質的話，到地心是它們之間作用力為零。錯誤的原因歸于對公式的物理意義理解不透徹，當物體靠的很近時，這個公式F=G違背了它存在的條件。這個公式已經不能再用。

【例4】關于用單擺測重力加速度的實驗

如：（1）y=kx y=k（x-b） （2）y=kx y=k（x+b）

1.如上圖知：圖2、圖3是圖線沿x軸向右移b或圖線沿x軸向左移b所得。

2.對于用單擺測重力加速度的實驗中，根據實驗原理是：T=2 T2=，令 T2=y，=k，T=x，其中（T是周期，L是擺長，L=l+，l是擺線長，d是小球的直徑）。測量多組周期和擺長的數據作圖，得圖4。有些粗心的同學把漏加了小球半徑，根據數據作圖得圖5。也有些粗心的同學把加半徑加成了直徑，根據數據作圖得圖6。

分析：（1）根據函數關系有：T2=，T2=，只要圖線向右移或向左移就可以得到。

（2）從物理意義上：圖5中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻為負值。說明小球半徑未加上去。同理，圖6中圖線與T2的截距表示，擺長為零周期卻還有周期。這說明加小球半徑加成了直徑。

（責任編輯 劉 馨）