《高等數學》授課中培養學生的科研能力①

耿鳳杰++廉海榮++褚寶增

摘 要：就講透基本概念、引導學生發現學科的不足及類比教學說明了如何在高等數學授課中培養學生的科研能力。

關鍵詞：高等數學 教學法 創新

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養具有創新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養并非要從研究生階段才開始著重培養，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養一種標新立異提問題的習慣至關重要。而對本科生科研能力的培養最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數學中微積分的創立、一元微積分到多元微積分的發展以及各個重要概念的產生無不透露出數學家發現問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養學生的科研能力，最重要的是培養學生發覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創造的學習模式的轉變，這種學習模式的轉變進而要求教師授課模式的轉變。本文就講透基本概念，引導學生發現學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉變學習模式，進而培養學生的科研能力。

1 講透基本概念

數學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數和微分，更多的是該讓學生把握數學思想，深刻理解數學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質。以極限概念為例，怎么理解數列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質的東西就是用距離去刻畫，即數列和某個定點的距離當時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關鍵是距離起著重要作用。再以函數可微概念為例，很多學生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數是不是可微就是看這個函數的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關系，即是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數的增量和其自變量的增量是否成線性比例關系，二元函數的變量是兩個，即看是否成立？同樣多元函數的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發現問題的前提。

2 引導學生發現學科的不足

無論哪門學科之所以產生、發展，往往源于人們對已有相關學科的不滿以及該學科創立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結果展現給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產生。數學就是在不斷地發現學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數學史上曾發生過三次數學危機，可每一次危機都沒有推翻前人的理論而只是在數學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數學更加完善了，危機的產生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數，這樣簡單的函數為何不可積？可能有人認為這是實變函數的內容超出了高等數學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養學生的創新意識。人人都認為所創造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發展了，這給了學生一種提出質疑的態度，培養了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續課程是實變函數，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關概念的歸納比較，展示概念之間的內在聯系和本質區別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數為例，從定義來講，無窮級數與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續的對應關系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數與有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發現定理的成就感。

4 結語

高等數學的教學要使學生不僅知道許多重要的數學概念、方法，而且領會到數學的精神實質和思想，從而在自己所學的領域中不斷發現問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉變了學生從被動接受到主動思考創造的學習模式，才能培養其科研能力。

參考文獻

[1] 克萊因.古今數學思想[M].朱學賢，譯.上海：上海科學技術出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關于高等數學教學的建議[J].教育理論與實踐，2012，31（9）：48-49.endprint

摘 要：就講透基本概念、引導學生發現學科的不足及類比教學說明了如何在高等數學授課中培養學生的科研能力。

關鍵詞：高等數學 教學法 創新

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養具有創新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養并非要從研究生階段才開始著重培養，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養一種標新立異提問題的習慣至關重要。而對本科生科研能力的培養最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數學中微積分的創立、一元微積分到多元微積分的發展以及各個重要概念的產生無不透露出數學家發現問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養學生的科研能力，最重要的是培養學生發覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創造的學習模式的轉變，這種學習模式的轉變進而要求教師授課模式的轉變。本文就講透基本概念，引導學生發現學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉變學習模式，進而培養學生的科研能力。

1 講透基本概念

數學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數和微分，更多的是該讓學生把握數學思想，深刻理解數學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質。以極限概念為例，怎么理解數列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質的東西就是用距離去刻畫，即數列和某個定點的距離當時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關鍵是距離起著重要作用。再以函數可微概念為例，很多學生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數是不是可微就是看這個函數的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關系，即是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數的增量和其自變量的增量是否成線性比例關系，二元函數的變量是兩個，即看是否成立？同樣多元函數的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發現問題的前提。

2 引導學生發現學科的不足

無論哪門學科之所以產生、發展，往往源于人們對已有相關學科的不滿以及該學科創立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結果展現給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產生。數學就是在不斷地發現學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數學史上曾發生過三次數學危機，可每一次危機都沒有推翻前人的理論而只是在數學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數學更加完善了，危機的產生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數，這樣簡單的函數為何不可積？可能有人認為這是實變函數的內容超出了高等數學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養學生的創新意識。人人都認為所創造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發展了，這給了學生一種提出質疑的態度，培養了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續課程是實變函數，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關概念的歸納比較，展示概念之間的內在聯系和本質區別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數為例，從定義來講，無窮級數與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續的對應關系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數與有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發現定理的成就感。

4 結語

高等數學的教學要使學生不僅知道許多重要的數學概念、方法，而且領會到數學的精神實質和思想，從而在自己所學的領域中不斷發現問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉變了學生從被動接受到主動思考創造的學習模式，才能培養其科研能力。

參考文獻

[1] 克萊因.古今數學思想[M].朱學賢，譯.上海：上海科學技術出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關于高等數學教學的建議[J].教育理論與實踐，2012，31（9）：48-49.endprint

摘 要：就講透基本概念、引導學生發現學科的不足及類比教學說明了如何在高等數學授課中培養學生的科研能力。

關鍵詞：高等數學 教學法 創新

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（b）-0034-01

科研能力和科研成果標志著一個國家的科技水平，培養具有創新意識和科研能力的人才是高等院校所面臨和必須解決的實際問題，然而科研能力的培養并非要從研究生階段才開始著重培養，在本科階段的教學中給學生盡早接觸科研的機會，讓學生從本科階段開始培養一種標新立異提問題的習慣至關重要。而對本科生科研能力的培養最主要的途徑就是在對其傳授知識的過程中完成的。高等數學作為高等院校各院系一門重要的公共基礎課之一對學生在四年大學生活中扮演著重要的角色，高等數學中微積分的創立、一元微積分到多元微積分的發展以及各個重要概念的產生無不透露出數學家發現問題和解決問題的思路，如果能夠從中進行引導，找到適合的切入點，逐步在學習過程中讓學生積累素材并培養一種問“好”問題的習慣，本科學生一樣可以接觸科研。

培養學生的科研能力，最重要的是培養學生發覺問題的能力，而這首先要求學生改變以往的學習模式，即由被動的接受到主動的思考創造的學習模式的轉變，這種學習模式的轉變進而要求教師授課模式的轉變。本文就講透基本概念，引導學生發現學科的不足及類比教學等幾方面來談談如何引導學生轉變學習模式，進而培養學生的科研能力。

1 講透基本概念

數學中最重要的就是基本概念，基本概念把握不透到頭來學生可能只會做部分簡單的習題。事實上，高等數學授課的主要目的并非讓學生學會如何計算導數和微分，更多的是該讓學生把握數學思想，深刻理解數學概念。深刻理解概念即要把握概念的本質。以極限概念為例，怎么理解數列，如果只是按照書上的定義把語言寫出來還遠遠不夠，應該告訴學生極限最本質的東西就是用距離去刻畫，即數列和某個定點的距離當時無限接近。知道了這一點，平面上一個點列的概念自然就有了，同樣我們用點列和點的距離當時無限接近去刻畫。只是需要注意的一點的是，平面上兩點間的距離不能再用絕對值了，而是用

進而到維空間中乃至無窮維空間中如何定義點列收斂我們都可以知道，關鍵是距離起著重要作用。再以函數可微概念為例，很多學生只知道，至于為什么求微分，以及什么是可微函數不知道。這些就需要老師在講授這個基本概念的時候介紹清楚，讓學生搞透這個概念。事實上，一個函數是不是可微就是看這個函數的增量與其自變量的增量是否可成一個線性比例關系，即是否成立，知道了這一點，可以立即讓學生去思考如果是一個二元函數是否可微該如何定義？按照上面的說法，二元函數的增量和其自變量的增量是否成線性比例關系，二元函數的變量是兩個，即看是否成立？同樣多元函數的可微性乃至一個泛函的可微性理解起來都很簡單了。搞透數學中的基本概念這是讓學生能夠不斷思考并發現問題的前提。

2 引導學生發現學科的不足

無論哪門學科之所以產生、發展，往往源于人們對已有相關學科的不滿以及該學科創立時的不完善。作為教師，應當更多地呈現給學生所講學科的不足及存在的問題，這樣學生才有思考的余地，把學科的不足及問題隱藏起來而只把學科完美的漂亮的結果展現給學生，那么他們就只會做練習而永遠也不會去創作東西。要知道，正是當年微積分的不完善才有了極限的產生。數學就是在不斷地發現學科的不足并改進的過程中逐步完善起來的。眾所周知，數學史上曾發生過三次數學危機，可每一次危機都沒有推翻前人的理論而只是在數學這座漂亮的高樓大廈上添磚加瓦而已，危機使數學更加完善了，危機的產生正是由于學科本身的問題和不足導致的。

當講完定積分時不能讓學生認為定積分是完美無暇的，應該讓學生尋找這個概念的不足之處，比如狄利克雷函數，這樣簡單的函數為何不可積？可能有人認為這是實變函數的內容超出了高等數學的范圍，事實上不是這樣的。通過讓學生尋找定積分的不足可以鍛煉學生的一種思維方式，培養學生的創新意識。人人都認為所創造出來的學科是神圣不可侵犯的話就不會有所發展了，這給了學生一種提出質疑的態度，培養了學生問問題的一種習慣，久而久之，學生的科研能力也能加強。另一方面，我們可以告訴學生黎曼積分不是那么完美的，因為還有一種更廣泛的積分就是勒貝格積分，告訴學生在微積分之后還有一門后續課程是實變函數，感興趣的同學會自己去查閱。同時我們可以用形象地數錢地方式告訴學生什么是黎曼積分，什么是勒貝格積分。有一搭錢，我想知道數目是多少，從頭開始累加而不管其面值是多少可以得出最后的數目這就是黎曼積分，如果會打理一些，把面值相同的錢先放在一起，5元，10元，100元，再數各面值的有多少張，最后算和這就是勒貝格積分。這樣不僅提高了學生的興趣，加深了他們對概念的理解，也開闊了學生的思維。

3 類比教學

數學中有很多基本概念都是相近的，作好相似、相近或相關概念的歸納比較，展示概念之間的內在聯系和本質區別，讓學生在比較中學習，從比較中加深理解，從整體上把握所學到的諸多概念，這樣既可以學習新知識又可鞏固舊知識。以無窮積分與無窮級數為例，從定義來講，無窮級數與無窮積分的基本概念之間存在離散與連續的對應關系：

，

（前提是極限都存在）。這樣很容易得出p級數與有相同的斂散性（這是教材的一個定理），這樣學生能自己去給出這個定理，不僅很快掌握了，而且有著自己發現定理的成就感。

4 結語

高等數學的教學要使學生不僅知道許多重要的數學概念、方法，而且領會到數學的精神實質和思想，從而在自己所學的領域中不斷發現問題并運用其相同或相近的思想解決問題。只有轉變了學生從被動接受到主動思考創造的學習模式，才能培養其科研能力。

參考文獻

[1] 克萊因.古今數學思想[M].朱學賢，譯.上海：上海科學技術出版社，2002.

[2] 楊明俊，郭麗娜.關于高等數學教學的建議[J].教育理論與實踐，2012，31（9）：48-49.endprint