基于旋量理論的滾仰式導引頭跟蹤指令解算

劉 凱，梁曉庚，李友年

(中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471000)

導引頭是自動尋的導彈的關鍵組成部分，導引頭的性能對導彈的作戰性能具有重大的影響。為了適應現代戰爭的需要，新一代近距格斗空空導彈應具有高機動性及大離軸角發射能力，要求導引頭視場大、體積小、質量輕。傳統的導引頭穩定平臺采用速率陀螺穩定平臺，難以滿足現代戰爭的要求。滾仰式導引頭既減小了導引頭的質量和體積，又節約成本，是新一代空空導彈穩定平臺的理想選擇。

滾仰導引頭對應的探測器光軸運動方式是以彈體縱軸為軸線的空間圓錐運動，因此，像點在像平面上按照極坐標描述。采用這種結構形式，滾轉和俯仰回路會產生指令多值問題。傳統的角增量解算方法采用運動學關系分別計算光軸和視線方向單位矢量在彈體坐標系的投影，由兩矢量的恒等關系求解出跟蹤指令。這種方法通常只能求解出解空間中的一個解，在跟蹤過程中會出現數值解頻繁在不同解之間跳動的問題，導致目標丟失。

為解決這個問題，本文提出了基于旋量理論的求解滾仰導引頭跟蹤指令的方法。本文分析了滾仰式導引頭的運動學關系，將求解光軸與視線重合的逆運動學問題分解為Paden-Kahan 子問題，求解相應的Paden-Kahan 子問題來得到所有的運動學逆解。為避免數值解在解空間中頻繁跳動的問題，采用最小增量角準則對運動學逆解進行優化，給出平滑連續的角跟蹤指令。

1 滾仰導引頭角跟蹤指令計算

1.1 滾仰導引頭跟蹤原理

導引頭的運動學關系可以考慮為由滾轉軸和俯仰軸組成的開運動學鏈。在滾轉俯仰軸線相交點建立如圖1 所示的5 個坐標系。其中，ox0y0z0為彈體坐標系;ox1y1z1為滾轉坐標系，與滾轉軸固聯，ox1軸與滾轉軸重合，γ 為滾轉角;ox2y2z2為俯仰坐標系(光軸坐標系)，與俯仰軸固聯，oz2軸與俯仰軸重合，ox2與光軸重合，θ 為俯仰角。跟蹤過程中，光軸坐標系ox2y2z2的指向和視線之間存在失調角εy和εz，將ox2y2z2繞oy2旋轉εy形成坐標系ox3y3z3，ox3y3z3繞oz3旋轉εz形成坐標系ox4y4z4(視線坐標系)。ox4的指向即為視線方向。

圖1 滾仰導引頭運動學關系

滾仰式導引頭跟蹤過程如下:導引頭探測器根據目標及導引頭的位置信息得到目標誤差角εy和εz，結合此時導引頭俯仰、滾轉框架角γ 和θ，解算導引頭的跟蹤指令Δγ 和Δθ，經過校正及功放，分別輸送給兩通道得力矩電機，通過電機轉動使導引頭指向目標，完成導引頭的跟蹤閉環控制。

1.2 滾仰導引頭角跟蹤指令計算方法

滾仰導引頭的角跟蹤指令算法是將臺體坐標系中目標的方位誤差和俯仰誤差分解到俯仰電機軸和橫滾電機軸，即將目標偏差信號εy和εz換算成應有的橫滾控制角γs和俯仰控制角θs，從而通過控制橫滾轉動和俯仰轉動達到跟蹤目標的目的。

兩軸跟蹤是通過兩種不同的坐標變換得到目標視線矢量。第一種變換，根據當前的框架角γ 和θ 將彈體系換到內環臺體坐標系，在通過失調角εy和εz，使得光軸對準目標矢量;第二種變換，將彈體系通過應有的控制角γs( γ+Δγ)和θs( θ+Δθ)直接變換到視線坐標系，其中Δγ 和Δθ 是橫滾框架角增量和俯仰角增量，比較兩個視線矢量即可計算得到Δγ 和Δθ。

經推到計算可得

由上述兩式可以看出，滾仰導引頭的角增量指令是通過三角函數來解算的，所以存在多值性。由此，本文提出基于旋量理論和Paden-Kahan 子問題求解滾仰導引頭跟蹤指令的方法來消除三角函數帶來的多值性。

2 Paden-Kahan 子問題

2.1 Paden-Kahan 子問題1-繞單軸旋轉

設ξ 為一零節距軸線，p，q∈R3為空間兩點，求旋轉角θ使其滿足

假設r 為旋轉軸ξ 上的一點，定義u=p-r 為從r 到p 的矢量，v=p-r 為從r 到q 的矢量，如圖2 所示。

圖2 Paden-Kahan 子問題1

由恒等式eξθr=r 可得

其中ω∈R3為軸線ξ 方向的單位矢量。

定義u'和v'分別為矢量u 和v 在與軸線垂直平面的投影。由幾何關系可得:

上式有解的充要條件為

當滿足上述關系時，可得

2.2 Paden-Kahan 子問題2-繞雙軸旋轉

設ξ1和ξ2為相交于一點的兩條零節距軸線，p，q∈R3為空間兩點，求旋轉角θ1和θ2使其滿足

子問題2 相當于空間點p 先繞軸線ξ2旋轉θ2，再繞軸線ξ1旋轉θ1，與空間點q 重合，如圖3。當軸線ξ1和ξ2重合時，子問題2 退化為子問題1。

圖3 Paden-Kahan 子問題2

假設兩軸線不重合，r 為兩軸的交點，空間中存在點c，滿足

可描述為向量形式:

定義向量u=p-r，z=p-r，v =p-r，ω1和ω2分別為ξ1和ξ2方向上的單位矢量。

可描述為

即向量滿足:

由于ω1，ω2和ω1×ω2線性獨立，可得

將式帶入式和式，可得

求解式可得

由式可解的z，進而求解c。分別應用子問題1 就可以求解θ1和θ2。

3 跟蹤仿真

為了驗證算法的有效性，建立滾仰導引頭機動目標跟蹤仿真實驗閉環系統，仿真原理如圖4。

圖4 跟蹤仿真原理

假設彈體不動，彈體坐標系與慣性坐標系重合，初始的框架角均為0。由于假設彈體不動，則可以忽略彈體擾動對視線的影響，所以只需要保留位置回路。

假設目標在慣性空間的運動為圓周運動，跟蹤結果如圖5、圖6 所示。結果表明，提出的跟蹤角指令算法是可行的，并且能夠保證有效跟蹤機動目標。

圖5 方位失調角

圖6 俯仰失調角

5 結束語

本文提出一種基于Paden-Kahan 子問題的滾仰式導引頭跟蹤指令求解算法。將求解滾仰導引頭跟蹤指令的運動學問題分解為Paden-Kahan 子問題，從而得到所有的運動學逆解。為避免數值解在解空間中的多值問題，采用最小增量角準則對滾仰跟蹤指令進行優化。對圓周軌跡目標進行仿真跟蹤實驗，試驗結果表明，該算法能夠有效的跟蹤機動目標。

［1］王志偉，祁載康，王江.滾-仰式導引頭跟蹤原理［J］.紅外與激光工程，2008，37(2):274-277.

［2］樊會濤，劉代軍. 紅外近距離格斗空空導彈發展展望［J］.紅外與激光工程，2005，34(5):564- 568.

［3］姚郁，章國江.捷聯成像制導系統的若干問題探討［J］.紅外與激光工程，2006，35(1):1- 6.

［4］RUDIN R T. Strapdown stabilization for imaging seekers［R］.AIAA-93-2660，1993.

［5］錢東海，王新峰，趙偉，等.基于旋量理論和Paden-Kahan子問題的6 自由度機器人逆解算法［J］.機械工程學報，2009，45(9):72-81.

［6］理查德.摩恩，夏思卡薩思特里，等.機器人操作的數學導論［M］.李澤湘，譯.北京:機械工業出版社，1998.

［7］付奎生.兩軸捷聯穩定跟蹤平臺關鍵技術分析［J］.電光與控制，2009，16(7):53-55.

［8］Waldmann J. Line-of-sight rate estimation and linearizing control of an imaging seeker in a tactival missile guided by proportional navigation［J］. IEEE Transactions on Control System Tecnology，2002，10(4):556-567.

［9］董小萌，張平，王建立，等.三軸直角結構光電導引平臺的捷聯控制［J］.光電工程，2007，34(11):5-9.

［10］毛峽，張俊偉.辦捷聯導引頭光軸穩定的研究［J］.紅外與激光工程，2007，36(1):9-12.

［11］鄭志偉.空空導彈系統概論［M］. 北京:兵器工業出版社，1997.