三階PLL無源環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)與仿真

任青蓮，高文華，郭 萍

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

鎖相環(huán)(phase-locked loop，PLL)是一個相位負(fù)反饋系統(tǒng)，通過對輸出信號和輸入信號的相位進(jìn)行比較，使兩個信號實(shí)現(xiàn)同步的電路。被廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、制導(dǎo)、導(dǎo)航、儀器儀表和電機(jī)控制等領(lǐng)域。

對PLL 電路，若電路規(guī)格已經(jīng)確定了，則檢相器(PD)、壓控振蕩器(VCO)與分頻器(1/N)的規(guī)格/特性一般由器件(PLL IC)決定，設(shè)計(jì)人員能確定的參數(shù)僅是環(huán)路濾波器(LF)。而在很多重要場合必須使用高階環(huán)路濾波器，要構(gòu)成穩(wěn)定的PLL 電路，環(huán)路濾波器的相位裕量非常重要，所以，環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)是決定PLL 特性的關(guān)鍵所在。用傳統(tǒng)的方法要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，或者需要查找規(guī)格化曲線，整個過程比較繁瑣而且存在較大的困難［1-4］。本文介紹三階PLL無源環(huán)路濾波器的一種設(shè)計(jì)方法，從PLL 環(huán)路相位穩(wěn)定度與環(huán)路濾波器傳輸函數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)位置之間關(guān)系，以及濾波器在零點(diǎn)和極點(diǎn)之間的衰減量與環(huán)路截止頻率、檢相器-VCO-分頻器組合傳輸特性之間關(guān)系，綜合得出環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)方法，大大簡化了濾波器的設(shè)計(jì)過程。

1 PLL 電路的數(shù)學(xué)模型與相位傳輸特性

鎖定狀態(tài)鎖相環(huán)的數(shù)學(xué)模型，如圖1 所示。

圖1 鎖定狀態(tài)鎖相環(huán)的數(shù)學(xué)模型

圖1 中:Kd為檢相器的增益;Kv為壓控振蕩器的增益;F(s)為環(huán)路濾波器的傳遞函數(shù)。

由圖1 可知，鑒相器-VCO-分頻器組合的傳輸特性為

ωvpn具有積分特性，可看成是一個積分器模型，其幅頻特性增益的斜率為-20 dB/dec，相位特性為恒定的-90°。

PLL 的環(huán)路傳輸函數(shù)為

鎖定狀態(tài)PLL 的相位傳輸函數(shù)為

這樣在PLL 電路中，檢相器-VCO-分頻器3 部分已經(jīng)具有90°相位滯后，再與相位滯后的環(huán)路濾波器進(jìn)行組合，如果總的相位滯后接近180°，則負(fù)反饋系統(tǒng)的環(huán)路增益滿足振蕩條件，使得PLL 電路變得不穩(wěn)定。因此，設(shè)計(jì)合適的環(huán)路濾波器，使PLL 環(huán)路具有足夠的相位裕量，對整個PLL 電路的穩(wěn)定工作是非常重要的。

2 二階無源超前-滯后濾波器

在三階PLL 中經(jīng)常使用使PLL 特性穩(wěn)定的超前-滯后濾波器，因?yàn)檫@種濾波器出現(xiàn)一度滯后相位返回，當(dāng)合理選擇環(huán)路濾波器的時間常數(shù)，獲得適當(dāng)?shù)淖枘嵋蜃樱瑢⑵淞泓c(diǎn)和極點(diǎn)處于適當(dāng)?shù)奈恢茫纯衫眠@種相位返回，使環(huán)路濾波器有30° ～50°的相位滯后，留有60° ～40°的相位裕量，則全部的相移不會接近-180°，環(huán)路便可維持穩(wěn)定。

二階無源環(huán)路濾波器如圖2 所示。

圖2 二階無源超前-滯后環(huán)路濾波器

圖2 濾波器的傳輸函數(shù)為

為了得到PLL 環(huán)路傳輸函數(shù)H(s)的零、極點(diǎn)位置，可將環(huán)路濾波器傳輸函數(shù)F(s)因式分解，寫成

那么，具有這種濾波器的三階PLL 的環(huán)路傳輸函數(shù)為

可以證明，相位返回最大值處頻率ωopt是ω2和ω3的幾何平均［5］

幅度曲線穿過0 dB 線的弧度頻率ωT稱為截止頻率，在截止頻率上環(huán)路增益為1，若在截止頻率上具有足夠的相位裕度，則系統(tǒng)穩(wěn)定。因此選取截止頻率ωT等于ωopt是最佳選擇。

綜上分析，系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)是基于截止頻率ωT放置的，為了確定圖2 所示電路的零點(diǎn)和極點(diǎn)，對式(4)進(jìn)行計(jì)算。

由式(4)可得，系統(tǒng)的零點(diǎn)ω2

極點(diǎn)可通過估算得出，由于ω1＜ω3，可通過分頻段分析。低頻區(qū)，C2的作用可以忽略，這時電路可以簡化為圖3。

圖3 二階無源超前-滯后環(huán)路濾波器低頻簡化電路

由圖3 可得出其傳輸函數(shù)為

可得出濾波器的第一個極點(diǎn)ω1

高頻區(qū)，C1的作用可以忽略，這時電路可簡化為圖4。

由圖4 可得出其傳輸函數(shù)為

可得出濾波器的第二個極點(diǎn)ω3

在零點(diǎn)ω2與極點(diǎn)ω3之間，濾波器的衰減量M 為

若傳輸頻率ωvpn與M 的乘積等于最大相位返回頻率ωopt，則PLL 在ωopt處開環(huán)增益為0 dB，可達(dá)到穩(wěn)定的環(huán)路特性［2］。則有

在實(shí)際的高階PLL 設(shè)計(jì)中，已經(jīng)證明，選擇ω3/ω2=10較為有利，這樣可以獲得足夠的相位裕度，保證PLL 穩(wěn)定工作［1］。

圖4 二階無源超前-滯后環(huán)路濾波器高頻簡化電路

3 三階PLL 中超前-滯后濾波器的設(shè)計(jì)

通過上述分析，系統(tǒng)截止頻率ωT應(yīng)大于零點(diǎn)ω2小于極點(diǎn)ω3，因此，環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)應(yīng)該從ωT的初始值開始。通常PLL 設(shè)計(jì)者有一個希望的環(huán)路3dB 帶寬ω3dB，一般選擇

現(xiàn)在需要確定ω3dB與ωT之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

在實(shí)際的PLL 設(shè)計(jì)中，總是試圖使幅度曲線過0 dB 處的斜率為-20 dB/dec，于是頻率高于ωT的極點(diǎn)對ωT附近特性的波特圖幾乎沒有影響。這樣，無論是二階或高階PLL，ω3dB與ωT的比值幾乎保持不變。現(xiàn)在以二階PLL 為例來分析。

二階PLL 中若采用圖3 所示的環(huán)路濾波器，其傳輸函數(shù)為

其中τ1=R1C，τ2=R2C。式(16)代入式(3)可得出PLL 的相位傳輸函數(shù)為

式中:

實(shí)際使用的鎖相環(huán)都是高增益環(huán)路，滿足下列關(guān)系

則式(17)可近似為

令式(20)中s=jω，并歸一化可得PLL 的頻率特性

當(dāng)ξ=0.707 時，為二階巴特沃斯低通濾波器，其幅頻特性最為平坦。

由定義可知當(dāng)ω = ωT時，，代入式(20)整理推導(dǎo)。可得出ξ=0.707 時，存在關(guān)系ωT≈1.55ωn，ω3dB=2.06ωn，因此有

綜上分析，可得出3 階PLL 無源環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)方法與步驟為:第一步:根據(jù)設(shè)計(jì)所選擇的PLL 器件和設(shè)計(jì)指標(biāo)求出鑒相器、VCO 與分頻器的頻率特性，根據(jù)式(1)求出其組合傳輸特性ωvpn。第二步:利用式(15)和式(22)確定PLL的帶寬ω3dB和截止頻率ωT。第三步:計(jì)算濾波器的零點(diǎn)ω2和極點(diǎn)ω3的位置。為了保證有足夠的相位裕度，取;當(dāng)ω = ω3dB時，

第四步:計(jì)算確定圖(2)濾波器的參數(shù)。首先選定R2，然后根據(jù)式(12)確定電容C2;再根據(jù)式(8)確定電容C1;最后根據(jù)式(13)和式(14)確定電阻R1。

4 設(shè)計(jì)舉例及性能分析

用三階PLL 設(shè)計(jì)一頻率合成器，要求輸入頻率為1 kHz，輸出頻率為100 kHz。試設(shè)計(jì)其中環(huán)路濾波器。

本例選擇鎖相環(huán)MC74HC4046AN，該芯片內(nèi)部有鑒相器和VCO，根據(jù)設(shè)計(jì)要求可知該電路的分頻系數(shù)N=1/100。

第一步:求出鎖相環(huán)MC74HC4046AN 綜合傳輸特性ωvpn。

MC74HC4046AN 中鑒相器輸入相位在-2π 到+2π 之間，輸出電壓在0 ～5 V 之間變化，因此，鑒相器的增益Kd為

通過實(shí)際測試得出MC74HC4046AN 的VCO，其中心頻率為100 kHz，輸入電壓為2.153 ～2.381 V 時，振蕩頻率在90 ～110 kHz 之間變化。因此，VCO 的增益Kv為

所以，鑒相器-VCO-分頻器組合的傳輸特性為

第二步:確定PLL 的帶寬ω3dB和截止頻率ωT

第三步:計(jì)算零點(diǎn)ω2和極點(diǎn)ω3的位置:

第四步:計(jì)算濾波器參數(shù):

取R2=10 kΩ，則

根據(jù)計(jì)算結(jié)果選標(biāo)稱電阻

R1=82 kΩ，R2=10 kΩ，C1=1.2 μF，C2=130 nF。利用這些值進(jìn)行仿真，仿真電路如圖5 所示。

圖5 實(shí)例綜合傳輸特性

幅頻特性和相頻特性仿真結(jié)果如圖6 和圖7 所示。由仿真結(jié)果可知，環(huán)路增益為1(0 dB)時截止頻率為42 Hz，此時，相位滯后121°，相位裕量為59°，獲得了足夠的相位裕度，從而保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定。

圖6 幅頻特性仿真結(jié)果

圖7 相頻特性仿真結(jié)果

5 結(jié)束語

從系統(tǒng)穩(wěn)定的角度分析三階PLL 中無源環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)方法。PLL 中除環(huán)路濾波器外，已經(jīng)有90°的相位滯后，為避免自激，環(huán)路濾波器在環(huán)路增益為1 的情況下，只允許有30° ～50°的相位滯后(即40° ～60°的相位裕量)。為保證足夠的相位裕度，保證系統(tǒng)穩(wěn)定，文中給出了無源環(huán)路濾波器的一種設(shè)計(jì)方法。首先求出環(huán)路濾波器的傳輸函數(shù)，然后結(jié)合檢相器-VCO-分頻器組合傳輸特性，得出PLL 環(huán)路綜合傳輸函數(shù)，再通過選擇合適的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置，使得PLL 環(huán)路增益為1 時，環(huán)路濾波器相位返回量最大，從而保證了使系統(tǒng)穩(wěn)定的相位裕度，最后綜合計(jì)算出濾波器的各元件值。通過實(shí)際舉例與仿真分析，得出所設(shè)計(jì)電路性能指標(biāo)完全能滿足設(shè)計(jì)要求。該方法對任意PLL 環(huán)路濾波器的設(shè)計(jì)都具有一定的參考價值。

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