子彈藥落點散布隨機模擬方法

居仙春，錢建平，季溢棟，雷 偉

(南京理工大學 機械工程學院，南京 210094)

研究子母彈的落點是進行該武器效能評估的基礎。目前，研究子母彈落點散布的方法主要有數值模擬法和統計模擬法。數值模擬法指根據子彈的運動規律和運動原理，建立子彈彈道動力學模型，從而模擬子彈的落點散布，如文獻［1-4］;統計模擬法是根據子彈的實際落點情況從數學的角度建立子彈的落點抽樣模型，如文獻［5］。統計模擬法雖能模擬出具有各種隨機分布特性的落點分布形態，但由于沒有考慮子彈的飛行彈道，因此和子彈實際落點分布差別較大;而數值模擬法雖然考慮了子彈的飛行彈道，但沒有考慮隨機因素的影響。因此，模擬出的子彈落點往往不具有隨機性。

本文針對后拋式子母彈，將兩種方法結合，提出了一種隨機模擬方法，即根據子彈的運動規律，建立子彈拋撒彈道模型，在彈道模型中引入各種隨機因素的影響，并利用蒙特卡羅法進行求解，獲得了具有中心毀傷盲區的子彈落點分布。

1 子彈拋撒彈道模型

1.1 基本假設

子彈拋出后僅受重力和空氣阻力的作用，飛行過程中不受隨機因素的干擾，其運動視為質點運動;子彈和母彈速度方向始終與母彈彈軸方向重合，即為零攻角飛行，且始終在母彈彈體縱平面內運動;母彈為右旋彈，拋射過程中不考慮轉速的衰減;由于子彈的高度遠小于拋射高度h，因此認為所有子彈都由o 點拋出;不考慮橫風和縱風的影響，氣象條件符合炮兵標準氣象條件。

1.2 坐標系的建立

為了便于描述子彈的運動，建立如圖1 所示的空間直角坐標系。原點o 為拋撒時刻母彈的質心位置，坐標系o-x1y1z1為平動坐標系，o-x1y1平面始終與母彈彈體縱平面重合，ox1軸平行于水平面，指向射擊方向;oy1軸垂直于地面，向上為正;oz1軸垂直于o-x1y1平面，其方向按右手定則確定。o- x2y2z2為拋撒坐標系，其原點與平動坐標系o-x1y1z1的原點重合，該坐標系由平動坐標系繞oz1軸旋轉θ 角得到，順時針為正，θ 角亦為彈道傾角。vA為母彈拋撒賦予子彈軸向上的牽連速度，即子彈的初速;vω為母彈旋轉賦予子彈切向上的牽連速度，方向垂直于母彈彈軸。

圖1 拋撒彈道坐標系

1.3 初始參數的確定

根據假設，子彈在o 點被拋出后，將沿著理想彈道飛行，其初始速度矢量主要由兩部分組成:母彈拋撒賦予子彈軸向上的牽連速度和母彈旋轉賦予子彈切向上的牽連速度，由矢量加法定理得

設I1= (ix1，iy1，iz1)T、I2= (ix2，iy2，iz2)T分別為坐標系o-x1y1z1和o-x2y2z2的坐標基，則由圖1 可得

子彈在母彈中的排布情況如圖2 所示，由于母彈為右旋彈，因此從母彈前端看，為逆時針旋轉。φi為各子彈中心和母彈中心的連線與y2軸正向的夾角(逆時針方向為正)，即各子彈中心在母彈圓周方向上的方位角，ω 為母彈轉速，r 為子彈質心到母彈彈軸的距離。

圖2 子彈排布示意圖

以y2軸正方向為起點，按逆時針方向對子彈進行編號，質心在y2軸左邊的第1 枚子彈為1 號，依次為2，3，…，n(n為1 圈子彈的個數)，與其對應的方位角依次為φ1，φ2，…，φn，則第i 號子彈的方位角為

則由圖2 可得:

將式(2)和式(5)代入式(1)得

又設拋撒坐標系到平動坐標系的轉換矩陣為A，即I2=AI1，其中

再次，在豬傳染性胸膜肺炎發病的初期，可以適當實行群體給藥。在該疫病的發病初期，生豬的病情尚且處于可控狀態，因此應當嚴格堅持將專家所配置的藥物混入飼料中，讓整體豬群共同食用，以便增加豬群機體的抵抗力，避免病情加重甚至產生擴散的趨勢，也有助于病豬的及早康復。

1.4 子彈運動方程［1］

由質點外彈道學可知，空氣阻力隨高度變化的關系式為

式中:R 為空氣阻力;i 為彈形系數;Cx(Ma)是標準彈的阻力系數;S 是子彈的橫截面積;ρon是地面的空氣密度，其值是1.206 kg/m3;v 是子彈的速度;y 是子彈所處高度。

因此，得到子彈運動方程為

式(10)中:vx、vy、vz分別為子彈的速度在x1、y1、z1軸上的分量;m 為子彈質量;g 為重力加速度。初始條件為式(8)和x0=z0=0，y0=h，t0=0，終止條件為y=0。

2 子彈落點散布擬合模型

2.1 子彈落點散布中心計算

設子彈的落點坐標為(x1，z1)，(x2，z2)，…，(xn，zn)(n 為子彈總數)，則落點散布中心坐標為

2.2 子彈落點散布計算

根據子母彈彈道特性，當子彈落點散布為橢圓時的橢圓方程為

令:

則式(12)變為

設:

根據最小二乘法有:

所以橢圓的長、短半軸分別為

3 子彈落點散布影響因素分析

以某模擬子母彈為例，內裝30 枚子彈，為單圈多段式排列，每圈排列6 枚子彈。子彈直徑為40 mm，質量為0.71 kg，分布半徑r=45 mm，阻力系數Cx=0.38，彈形系數i =1.05，彈道傾角θ =60°，母彈角速度ω =860 rad/s，拋撒高度h =700 m。

實際中影響子彈落點的因素有很多，諸如彈道傾角、拋撒高度、母彈角速度等，為了便于采用蒙特卡洛法求解子彈運動方程組，須對這些隨機因素進行分析，找出影響子彈落點散布最大的幾個因素，按隨機變量處理，而對其余因素則全部按固定參數處理。現取其中一圈子彈進行分析，子彈軸向初速vA=300 m/s，分析各量變化±10%時對其分布橢圓長短半軸的影響［6］，其計算結果如圖3 ～圖6 所示。

圖3 彈道傾角對長短半軸的影響

由圖3 可以看出，子彈落點散布長短半軸隨著彈道傾角的增加而減小，并且長短半軸之比呈減小趨勢，即子彈落點趨近于一個圓。由圖4 可以看出，子彈落點散布長短半軸隨著母彈轉速的增加而增加，并且母彈轉速對散布橢圓長短半軸之比基本沒有影響。由圖5 可以看出，子彈落點散布長短半軸隨著拋撒高度的增加而增加，并且拋撒高度對散布橢圓長短半軸之比基本沒有影響。由圖6 可以看出，子彈質量的變化對子彈落點散布長短半軸及兩者之比幾乎沒有影響。

圖4 母彈轉速對長短半軸的影響

圖5 拋撒高度對長短半軸的影響

圖6 子彈質量對長短半軸的影響

4 落點散布隨機模擬模型

根據前面的分析可知，影響子彈落點散布的因素主要有彈道傾角、母彈轉速和拋撒高度這3 個因素。因此，取這3個因素為隨機變量，并假定這些量在其誤差范圍內均服從正態分布，即:彈道傾角θ 在θ0±Δθ 范圍內服從以θ0為期望的正態分布，即θ ～N(θ0);母彈轉速ω 在ω0±Δω 范圍內服從以ω0為期望的正態分布，即ω ～N(ω0);拋撒高度h 在h0±Δh 范圍內服從以h0為期望的正態分布，即h ～N(h0)。

此外，子彈在母彈圓周方向上的初始方位角φ1直接影響著其在散布橢圓圓周方向上的位置。因此，假定φ1在其取值范圍內服從均勻分布，即φ1～U(0，2π/n)。

根據內彈道理論可以獲得母彈內各層子彈出倉后的軸向初速vA，然后采用Monte Carlo 方法求解式(10)，即利用隨機數發生器分別產生符合各隨機變量實際分布的相關參數，代入方程組(10)進行求解，得到子彈的落點分布如圖7(a)所示，圖7(b)為利用經典外彈道模型得到的結果。

由圖7 可以看出，利用隨機模擬法獲得的子彈落點仿真結果明顯優于經典彈道模型的仿真結果。

圖7 子彈落點散布示意圖

5 結束語

子母彈拋撒出的子彈落在地面并非實實在在的一個圓，而是一個橢圓，并且中心區域存在毀傷盲區，本文的研究也證實了這一點。本文得到的子彈落點散布情況與實際拋撒情況更為一致，為子彈藥的效能分析奠定了基礎，本文建立的子彈拋撒隨機外彈道模型為火力運用方案擬制和作戰決策提供了依據，通過調整參數可以滿足不同的作戰需求。

［1］孔維紅，姜春蘭，王在成.某型航空子母彈子彈地面散布研究［J］.航空兵器，2005(4):43-46.

［2］閆思江，喬相信，萬仁毅.子母彈子彈落點散布模擬仿真［J］.沈陽理工大學學報，2011，30(6):62-65.

［3］郜憲林.子母彈子彈散布模型及其仿真研究［J］.兵工學報，1989(2):12-17.

［4］房玉軍，蔣建偉.子彈藥拋撒隨機外彈道模型及其蒙特卡洛解法［J］. 北京理工大學學報，2009，29(10):850-853.

［5］楊世榮，王才宏，李小強.子母彈橢圓散布模型的建立與仿真［J］.戰術導彈技術，2008(4):57-61.

［6］李軍營，張毅，馬清華.彈道導彈子母彈頭落點散布分析［J］.飛行力學，2003，21(2):45-48.