近距格斗空空導(dǎo)彈三自由度彈道仿真建模

周須峰，易 華，謝永強(qiáng)

(1.中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009;2.空軍裝備研究院 總體所，北京 100076)

準(zhǔn)確、快速的彈道仿真模型是空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)實時計算的基礎(chǔ)。導(dǎo)彈的詳細(xì)六自由度仿真模型可以準(zhǔn)確計算彈道，然而計算耗時較長，無法滿足空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)實時計算的要求，因此空空導(dǎo)彈攻擊區(qū)通常由火控系統(tǒng)對存儲的事先計算好的攻擊區(qū)數(shù)據(jù)進(jìn)行插值得到，但精度較差，對于近距格斗空空導(dǎo)彈彈顯得尤為明顯。傳統(tǒng)的三自由度彈道模型采用質(zhì)點彈道，計算速度很快，在目前硬件水平下能夠滿足實時計算的快速性要求。但新型近距格斗空空導(dǎo)彈具有新的特性［1］:

1)由于采用推力矢量控制技術(shù)，具有了大離軸甚至越肩發(fā)射能力，在這種情況下彈道初始段通常進(jìn)行大攻角、大過載飛行，姿態(tài)變化劇烈;

2)可進(jìn)行空間大角度轉(zhuǎn)彎飛行，具有真正意義上的全向攻擊能力;

3)彈體上安裝捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，制導(dǎo)指令為彈體坐標(biāo)系內(nèi)的法向指令加速度;

4)導(dǎo)引頭位標(biāo)器的框架角有限，在飛行過程中當(dāng)彈目連線與彈軸夾角超過最大框架角時，導(dǎo)引頭會丟失目標(biāo)，導(dǎo)致脫靶;

這些新的特點決定建立新型近距格斗空空導(dǎo)彈的精確的三自由度彈道仿真模型必須包含彈體姿態(tài)信息，有別于傳統(tǒng)質(zhì)點彈道仿真模型。為此，本文將基于三自由度仿真建模理論，在力矩平衡和導(dǎo)彈無滾轉(zhuǎn)運動假設(shè)的基礎(chǔ)上，將導(dǎo)彈氣動力與推力矢量控制力統(tǒng)一建模，考慮彈體過載響應(yīng)特性，引入四元數(shù)來描述導(dǎo)彈速度方向，解決運動方程奇異問題，通過坐標(biāo)變換方法，建立包含彈體姿態(tài)信息的精確三自由度彈道仿真模型。

1 坐標(biāo)系定義

坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換是建立彈道仿真數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，建模中用到的幾個坐標(biāo)系定義如下:

1)慣性坐標(biāo)系Ox0y0z0:原點O 取導(dǎo)彈發(fā)射時刻目標(biāo)在地面投影點位置，Ox0軸位于地面上，可指向任意方向，Oy0軸垂直地面向上，Oz0軸與Ox0、Oy0軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

2)彈道坐標(biāo)系Ox2y2z2:原點O 位于導(dǎo)彈質(zhì)心，Ox2軸與導(dǎo)彈速度矢量重合，Oy2位于包含速度矢量的鉛垂面內(nèi)且垂直于Ox2軸，向上為正，Oz2軸與Ox2、Oy2構(gòu)成右手系。

3)彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1:原點O 位于導(dǎo)彈質(zhì)心，Ox1軸與彈體縱軸重合，指向?qū)楊^部為正，Oy1軸位于彈體縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)且與Ox1垂直，向上為正，Oz1軸與Ox1、Oy1構(gòu)成右手系。三自由度建模時認(rèn)為導(dǎo)彈縱向?qū)ΨQ平面始終位于鉛垂面內(nèi)。

4)視線坐標(biāo)系Oxsyszs:原點O 位于導(dǎo)彈質(zhì)心，Oxs軸指向目標(biāo)，Oys位于包含視線的鉛垂面內(nèi)且垂直于Oxs軸，向上為正，Ozs軸與Oxs、Oys構(gòu)成右手系。

2 三自由度仿真模型

按照三自由度建模理論，考慮新型近距格斗彈的自身特點，可建立的如圖1 所示的三自由度彈道仿真模型框圖:首先根據(jù)彈目相對運動關(guān)系得到慣性系內(nèi)的視線角速度，再根據(jù)導(dǎo)引律，形成彈體系內(nèi)的指令加速度，該指令加速度經(jīng)過一個二階環(huán)節(jié)后得到彈體系內(nèi)的所需響應(yīng)加速度，然后由氣動力和推力模型，得到導(dǎo)彈可實現(xiàn)的實際法向力及相應(yīng)的軸向力，最后在慣性系內(nèi)積分導(dǎo)彈運動方程，完成一步仿真計算。循環(huán)上述過程直至滿足彈道仿真終止條件。

圖1 三自由度彈道仿真模型框圖

2.1 目標(biāo)運動模型

在近距格斗仿真中目標(biāo)按質(zhì)點考慮，采用圓周機(jī)動模型如下

式中:θt和ψt分別為目標(biāo)的速度傾角和速度偏角;ny、nz為目標(biāo)俯仰、偏航方向的機(jī)動過載;vt為目標(biāo)速度;xt、yt、zt為目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的位置分量。

2.2 彈目相對運動模型

與導(dǎo)彈的過載響應(yīng)特性相比，導(dǎo)引頭的動力學(xué)延遲可以忽略，因此，在三自由度建模時近似認(rèn)為導(dǎo)引頭位標(biāo)器可以無誤差地跟蹤目標(biāo)線，慣性坐標(biāo)系內(nèi)視線角速度可以用導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對運動參數(shù)表示為

2.3 導(dǎo)引律模型

采用實際導(dǎo)引律模型——真比例導(dǎo)引(TPN)，在視線坐標(biāo)系內(nèi)的指令加速度矢量為

考慮近距空空導(dǎo)彈通常采用固體火箭發(fā)動機(jī)，導(dǎo)彈軸向加速度無法控制，只能通過姿態(tài)的改變來控制彈體的2 個法向加速度，來實現(xiàn)TPN。考慮重力加速度，視線坐標(biāo)系內(nèi)的指令加速度可表示為

由式(4)可得到彈體系內(nèi)兩個法向指令加速度。

2.4 過載響應(yīng)模型

考慮近距格斗導(dǎo)彈的大攻角、大機(jī)動飛行特性，為了更準(zhǔn)確地描述導(dǎo)彈的姿態(tài)動力學(xué)特性，將彈體過載響應(yīng)模型簡化為如下二階動態(tài)環(huán)節(jié)

參數(shù)、可以由六自由度仿真模型通過試驗的方法確定，也可以由氣動參數(shù)、控制參數(shù)綜合得到。過載響應(yīng)模型的輸入為導(dǎo)引律給出的彈體法向指令加速度，輸出為彈體的響應(yīng)加速度。

2.5 氣動力/推矢控制力模型

新型近距格斗導(dǎo)彈采用燃?xì)舛嫘问降耐屏κ噶靠刂品绞?，與六自由度模型中使用的推矢控制力模型保持一致，單獨燃?xì)舛娴姆ㄏ蛄妥枇δＰ?/p>

式中:δi第i 個燃?xì)舛嫫D(zhuǎn)角度;ai、bi是多項式系數(shù)。

假設(shè)導(dǎo)彈飛行過程中始終處于“力矩平衡”狀態(tài)，即每一時刻導(dǎo)彈俯仰力矩Mz1=0。在發(fā)動機(jī)工作階段，燃?xì)舛娈a(chǎn)生的法向力對導(dǎo)彈質(zhì)心形成力矩，在攻角α、舵偏角δ 和馬赫數(shù)Ma 的飛行狀態(tài)下，導(dǎo)彈受到的俯仰力矩可表示為

式中:L(δ)為舵偏δ 時燃?xì)舛娈a(chǎn)生的法向力;d 為燃?xì)舛婢鄰楏w質(zhì)心的距離;Mz1f(α，δ，Ma)為氣動力產(chǎn)生的俯仰力矩。

可采用迭代算法由式(8)求出當(dāng)攻角為α、Mz1=0 時的舵偏角δ，即可以求出攻角α 所對應(yīng)的平衡舵偏角。為了計算的快速性，將氣動力/推矢控制力模型建立成一個考慮推矢控制力的氣動力插值表，通過插值算法，給定一個法向力，即可得到相應(yīng)攻角和阻力。

2.6 發(fā)動機(jī)推力模型

對于固體火箭發(fā)動機(jī)，推力和燃?xì)饬髁炕静浑S高度和速度變化，推力模型僅涉及發(fā)動機(jī)推力和秒流量隨時間的變化。與六自由度模型中的發(fā)動機(jī)模型保持一致，以插值表的形式進(jìn)行建模，給定仿真時間，得到推力大小和秒流量。

2.7 導(dǎo)彈運動模型

為了避免歐拉角描述的導(dǎo)彈運動方程出現(xiàn)奇異問題，在慣性坐標(biāo)系內(nèi)建立導(dǎo)彈運動方程為

2.8 速度方向的四元數(shù)表示

考慮到新型近距格斗導(dǎo)彈具有大機(jī)動轉(zhuǎn)彎飛行能力，其飛行過程中可能出現(xiàn)彈道傾角等于90°的情況，為了避免用彈道偏角、彈道傾角表示的導(dǎo)彈運動方程可能出現(xiàn)的奇異問題，以四元數(shù)來描述導(dǎo)彈的速度方向。速度方向的四元數(shù)初值可以表示為

其中ψ0、θ0分別為初始彈道偏角和彈道傾角。

導(dǎo)彈運動過程中，速度矢量繞垂直于速度矢量和加速度矢量構(gòu)成平面的法向進(jìn)行轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動角速度可以用導(dǎo)彈

因此，描述導(dǎo)彈速度方向的四元數(shù)的分量形式運動方程為

以四元數(shù)表示的慣性坐標(biāo)系到彈道坐標(biāo)系的坐標(biāo)變化矩陣可以用描述速度方向的四元數(shù)表示為［2］

2.9 攻角和側(cè)滑角的計算

新型近距格斗導(dǎo)彈具有滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定控制系統(tǒng)，可以忽略導(dǎo)彈在飛行過程中的滾轉(zhuǎn)，三自由度建模時認(rèn)為導(dǎo)彈對稱平面始終位于鉛垂面內(nèi)，因此攻角和側(cè)滑角就描述了彈體坐標(biāo)系與彈道坐標(biāo)系之間的角度關(guān)系。

攻角和側(cè)滑角可以由制導(dǎo)所需總攻角和速度滾轉(zhuǎn)角得到。導(dǎo)彈總攻角αA和速度滾轉(zhuǎn)角γv可以由制導(dǎo)需用加速度any、anz及氣動力插值函數(shù)到

由總攻角aA和速度滾轉(zhuǎn)角γv，利用球面三角形公式可得到導(dǎo)彈的攻角和側(cè)滑角

2.10 坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變換是本文所建立的包含姿態(tài)信息的三自由度仿真模型的重要組成部分，可以通過如下坐標(biāo)變換得到同一矢量在不同坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)分量之間的關(guān)系。

從彈道坐標(biāo)系Ox2y2z2到彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1的坐標(biāo)變換矩陣可以用導(dǎo)彈攻角α 和側(cè)滑角β 描述為:T12(α，β)，從彈道坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的變換矩陣為:T21=(α，β)。

從慣性坐標(biāo)系Ox0y0z0到彈道坐標(biāo)系Ox2y2z2的坐標(biāo)變換矩陣可以用速度方向四元數(shù)Q 描述:T20(Q);從彈道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的變換矩陣為:T02=(Q)。

從慣性坐標(biāo)系Ox0y0z0到彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1的坐標(biāo)變換矩陣可以用導(dǎo)彈攻角α、側(cè)滑角β 和速度方向四元數(shù)Q 描述為:T10(α，β，Q)=T12(α，β)T20(Q)，從彈體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的變換矩陣為:T01(α，β，Q)=(α，β，Q)。

從彈體坐標(biāo)系Ox1y1z1到視線坐標(biāo)系Oxsyszs的坐標(biāo)變換矩陣可以用兩個離軸角q1、q2描述為:Ts1(q1，q2)，從視線系到彈體系的變換矩陣為(q1，q2)。

3 模型驗證與分析

為了驗證所建立的三自由模型的準(zhǔn)確性以及引入四元數(shù)在解決導(dǎo)彈運動方程奇異問題上的有效性，選取以下兩個條件進(jìn)行仿真，并與六自由度仿真模型進(jìn)行對比。

條件1:設(shè)導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的初始位置(單位:m)，初始速度(單位:m/s);目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的初始位置，初始速度，目標(biāo)直線飛行，分別以三自由度模型和六自由度仿真模型進(jìn)行彈道計算，在相同計算機(jī)上相同仿真步長情況下，耗時分別為0.002 16 s 和0.020 31 s，部分彈道參數(shù)計算結(jié)果對比如圖2 所示(其中下標(biāo)6 代表六自由度仿真模型)。

條件2:設(shè)導(dǎo)彈在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的初始位置(單位:m)，初始速度(單位:m/s);目標(biāo)在慣性坐標(biāo)系內(nèi)的初始位置，初始速度，且目標(biāo)以5g 過載進(jìn)行機(jī)動。分別以三自由度模型和六自由度仿真模型進(jìn)行彈道計算，耗時分別為0.002 63 s和0.024 62 s，部分彈道參數(shù)計算結(jié)果對比如圖3 所示。

從仿真結(jié)果可以看出:本文建立的三自由度模型由于采用了四元數(shù)描述導(dǎo)彈速度方向，避免了用彈道偏角、彈道傾角描述的導(dǎo)彈運動方程在彈道傾角90°時出現(xiàn)的奇異問題;三自由度彈道仿真模型能夠給出導(dǎo)彈的近似姿態(tài)信息，所計算得到導(dǎo)引頭位標(biāo)器相對彈體的離軸角與六自由度模型計算值基本一致;三自由度彈道仿真模型的計算精度與六自由度彈道仿真模型相比并沒有下降很多，可以比較準(zhǔn)確的計算導(dǎo)彈的飛行軌跡、飛行速度、離軸角等重要彈道參數(shù);相比六自由度彈道仿真模型，三自由彈道仿真模型的計算速度大約提高了一個數(shù)量級。計算速度提高的主要原因是六自由度仿真模型中對大量氣動力、氣動力矩數(shù)據(jù)的高維插值處理比較費時，而三自由度模型中事先按力矩平衡假設(shè)得到了氣動力插值模型，并且在仿真中僅進(jìn)行一維插值，另外，三自由度模型相比六自由度模型少了三個姿態(tài)動力學(xué)微分方程，減少了運算量。

圖2 條件1 計算參數(shù)結(jié)果

圖3 條件2 計算參數(shù)結(jié)果

4 結(jié)束語

通過與六自由度彈道模型進(jìn)行仿真對比可以看出，本文所建立的包含導(dǎo)彈姿態(tài)信息的三自由度彈道仿真模型能夠比較準(zhǔn)確、快速地計算近距格斗空空導(dǎo)彈的飛行彈道，適用于實時攻擊區(qū)搜索等需要快速彈道解算的場合，而四元數(shù)的引入解決了近距格斗導(dǎo)彈各種大機(jī)動轉(zhuǎn)彎飛行中可能存在的運動方程奇異問題。

［1］樊會濤，劉代軍.紅外近距格斗空空導(dǎo)彈發(fā)展展望［J］.紅外與激光工程，2005，34(5):564-568.

［2］袁子懷，錢杏芳.有控飛行力學(xué)與計算機(jī)仿真［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2001.