泰勒公式在高等數學解題中的使用技巧

莫慶美

(賀州學院理學院，廣西賀州 542899)

泰勒公式在高等數學解題中的使用技巧

莫慶美

(賀州學院理學院，廣西賀州 542899)

泰勒公式是高等數學這門課程中的一個重要公式，它是微分學的基本理論。本文通過泰勒公式在求極限、微分方程求解、廣義積分和級數斂散性的判別、高階導數的計算等方面的應用，拓寬了泰勒公式的應用范圍，展現了泰勒公式在高等數學中的重要地位，拓廣了高等數學問題的解題方法及技巧。

泰勒公式；極限；微分方程；斂散性；高階導數

泰勒公式是高等數學中的一個重要公式,也是求解高等數學問題的一個重要工具。然而，在高等數學教材中，一般只講泰勒公式和幾個常用函數的麥克勞林公式，對其在解題中的應用很少介紹。對某些未定式的極限來說，運用泰勒公式比使用洛比達法則更方便。泰勒公式對某些微分方程求解、廣義積分和級數斂散性的判別、高階導數的計算等方面也都有很大的作用。本文通過典型例題，討論泰勒公式在高等數學解題中的使用技巧。

1 求函數的極限

在求某些分式或者復雜的復合函數的極限時，利用泰勒公式的帶皮亞諾型余項把其中的某些項展開，可以較為容易解決。

從例1可以看出，利用泰勒展開式代替某些函數時，要考慮分子分母無窮小的階數，并配合等價無窮小的性質來求極限。

2 求微分方程的解

例2解微分方程xy″-（x+m）y′+my=0(m為自然數)

即原方程的通解為

3 判斷級數的斂散性

有些復雜的級數用常規的方法很難判別其斂散性，我們可以考慮將其展開成泰勒級數，再進行判定，往往會把問題變得簡單。

分析直接通過通項去判斷級數是正項級數還是非正項級數比較困難。因而不能直接給出判斷級數斂散性的方法。但是我們注意到所給級數通項中的lnn+1=ln（1+1

4 判斷廣義積分的斂散性

5 求高階導數在某些點的數值

例設f（x）=x10arctanx，求f（0）（0）

由此可得f（x）的泰勒展開式

又f（x）在x=0處的麥克勞林展開式為

比較（1）和（2）式中的系數得：

6 結束語

通過上面的幾個例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函數的極限、求解微分方程、廣義積分和級數斂散性的判別、高階導數的計算具有簡潔、方便的作用，從而準確、高效地解決一些數學問題。泰勒公式在五個方面的應用，為解決高等數學問題拓展了思路，從中可以看出泰勒公式在解題中的妙用，對學習和教學都大有脾益。

[1]蔡燧林．常微分方程[M]．杭州：浙江大學出版社，2002．

[2]同濟大學數學系．高等數學[M]．北京：高等教育出版社，2007.

[3]華東師范大學數學系．數學分析（3版）[M]．北京：高等教育出版社，2001．

[4]陳麗．泰勒公式的應用[J]．廊坊師范學院學報（自然科學）版，2009，9(2)：20―23．

O171

A

1003-5168(2014)04-0198-02

莫慶美（1963—）,女，漢族，專業副教授，研究方向：高等數學教育教學理論。