一類PM2.5受風力等因素影響的倉室模型

丁本艷 張利群

(臨沂大學理學院,山東臨沂 276005；山東師范大學數學科學學院,山東濟南 250014)

一類PM2.5受風力等因素影響的倉室模型

丁本艷 張利群

(臨沂大學理學院,山東臨沂 276005；山東師范大學數學科學學院,山東濟南 250014)

通過與倉室模型相聯系,研究在某種特定的情況下,風力、溫度、濕度對PM2.5的影響,并通過微分方程的相關理論分析,給出這些因素對PM2.5的影響關系。

空氣污染；PM2.5；倉室模型；拉格朗日變易法

空氣污染問題是全世界普遍關注的問題，PM2.5是指空氣中直徑小于等于2.5微米的顆粒物，也稱細顆粒物，含量越高就代表空氣污染越嚴重。細顆粒物指數已經成為一個重要的測控空氣污染程度的指數。到2010年底，除美國和歐盟一些國家將細顆粒物納入國標并進行強制性限制外，世界上大部分國家都還未開展對細顆粒物的監測。我國對PM2.5的研究起步比較晚，2011年1月1日首次對PM2.5的測定進行了規范，2013年才開始有比較完整的數據記錄，而且系統尚不規范，因此對PM2.5研究的意義較大。

倉室模型主要運用在研究傳染病傳播等問題上，并取得了豐碩的成果。本文運用倉室模型研究PM2.5的傳播問題，并結合微分方程的相關理論，對影響PM2.5的風力、溫度、濕度等因素進行定性分析。此模型中主要考慮假定的因素，其余的因素假設影響很小，可以忽略，其中對風力分析的時候也考慮一個特殊的風向，比如從西往東吹，對相鄰的三個區域進行分析。

1 模型的建立

為了描述某地區PM2.5的發生和演變，取G，S，X水平方向上的三地，設風從西往東吹，來研究在不考慮其他因素的情況下，風力、濕度和溫度以及左右兩地對其PM2.5的影響，建立模型，其他的風向也可做類似討論。在假設相應的變量系數后構造如下倉室模型：

其中G，S，X分別表示甲地、乙地、丙地的PM2.5。結合倉室模型得到相關的微分方程如下：

其中，G0=（m1+v1）（α1-α2），S0=（m2+v2）（β1-β2），X0=（m3+v3）（γ1-γ2）。各參數的含義如下：mi≥0，（i=1，2，3）表示G，S，X三地的溫度對PM2.5的有效作用率，vj≥0，（j=1，2，3）表示G，S，X三地的濕度對PM2.5的有效作用率，α1，β1，γ1表示三地在常規狀態下生成的PM2.5的值，α2，β2，γ2表示在常規狀態下PM2.5的擴散值，表示風力對三個地方的有效作用率。

2 模型的分析

由(1)對應的齊次方程組的通解及拉格朗日變易法可得(1)的通解：

系統(1)中包含各地區內在的溫度濕度的因素，也包括外在的風力因素。運用微分方程的理論，取其中S地的解來分析一下各因素對PM2.5的影響，由上述通解得：

定理1.對于S地區PM2.5的解(2)，當t→+∞時，無論k變大還是變小，該地區的PM2.5的值與風力無關，只與自身的溫度濕度有關；但當t在一個小鄰域內時，隨著k的變大，PM2.5的值會變小。

因為S的左邊是單調遞減的指數函數，在t一定時，隨k增大而變小。

定理2.當下列幾種情況至少之一出現時，PM2.5的值S會逐漸減小：1）α1=α2或β1=β2或γ1=γ2時，即各地區的產生與擴散的PM2.5的值相等；2）mi，vi（i=1，2，3）對PM2.5的有效影響率越小時，PM2.5的值會變小。

例.比較武漢市2013年1月份和7月份的PM2.5（選擇的目的是這兩個月的溫度、濕度有明顯差異）。

下圖很直觀清楚地反映出它們的PM2.5的差距，1月份大約在200個單位上下浮動，而7月份則在60個單位上下變化，這就說明溫度、濕度等對PM2.5的作用很大，也就是說1月份溫度、濕度對PM2.5相應的有效影響率會較大，7月份較小。

3 結論

綜上可知，在現實生活中，一年有四季，四季的溫度、風力等會有較大的變化。冬季的PM2.5的值會比夏季的PM2.5的值高，而冬季和夏季它們的溫度、濕度和風力是有很大差別的。但是在一個小的時間段內，比如幾天之內，甚至一天之內，他們所對應的相應參數不會有太大變化，比如風力，在短時間內不會有太大變化，那么其主要變化作用的就是溫度和濕度。當然影響PM2.5的產生因素有很多，在此就不予細論。由于我國對PM2.5的認識才剛剛起步，相應的數據收集并不完整，所以當把模型與實際的數據相結合的時候，會有一定的誤差，但是我們相信當有相對完整的數據時，就可以準確地求出各地的有關PM2.5的參數，更加清晰地找出根本所在，并采取相關的措施加以治理。

[1]張芷芬等，微分方程定性理論[M].科學出版社，1997.

[2]馬知恩，周義倉等.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京：科學出版社，2004.

O175

A

1003-5168(2014)04-0184-02

丁本艷(1989—)，女，山東萊蕪人，碩士研究生，從事常微分方程定性與分支理論研究。