基于模糊層次分析法的數控機床設備優化選擇

王 宇，汪永超，牛印寶，趙建平

(四川大學 制造科學與工程學院，成都 610065)

0 引言

數控機床是高度機電一體化的產品，是一種價格昂貴的精密設備。同時也是零部件加工的主體，對零件的生產率、加工質量、生產成本以及能量消耗、輔助物料(如切削液等)的消耗、噪聲、安全衛生、切屑的回收、廢液的產生等的影響很大［1］。一臺數控機床一般含有多個指標，而這些指標之間往往又是相互矛盾、相互制約的，側重于不同的目標，就會產生不同的選擇。因此，數控機床設備選擇的時候要綜合考慮各項指標，不能盲目追求先進性，必須要和自己的需求相結合，優化利用現有的數控機床設備［2］。

但是由于這些指標同時具有定量因素與定性因素并存的特點，存在不確定性，適合采用層次分析法來確定各個指標的權重。

層次分析法(Analytic hierarchy process，AHP)是由美國著名的運籌學家SAATY 教授于20 世紀70 年代中期提出來的一種定性與定量相結合、系統化、層次化的分析方法［3］。但是傳統的層次分析法存在明顯不足是判斷矩陣沒有彈性，即在進行構造判斷矩陣時，沒有考慮評價人員的思考的模糊性。

模糊層次分析法(Fuzzy analysis hierarchy process，FAHP)是將模糊理論與層次分析法相結合、充分考慮人思考的模糊性的一種理論方法［4］。本文針對各項指標，應用模糊層次分析法，通過建立模糊層次結構模型和判斷矩陣，確定各指標權重系數。

1 指標評價體系的建立

在滿足生產工藝要求的條件下，可供選擇的數控機床設備往往有很多種。不同機床的零件加工質量、時間定額、成本以及能量消耗和污染等都不一樣。因此，在進行數控機床設備選擇的時候要綜合考慮多個決策因素，然后對各種可選的數控機床設備進行對比，評價和決策，得出最優的機床設備，使得零件加工過程的總體性能最優。

對于數控機床設備選擇這個多目標優化選擇問題，首先要建立一套可行的決策目標評價體系。結合數控機床加工的實際情況，本文從質量屬性指標、經濟屬性指標、環境屬性指標、人機屬性指標4 個方面進行綜合評價，如圖1 所示。由于各評價目標自身又包括影響因素子集，所以還可以繼續劃分［5］。比如質量屬性指標包括尺寸精度、形狀精度、表面粗糙度等。

圖1 數控機床指標評價體系

2 模糊層次分析法

層次分析法的關鍵在于建立判斷矩陣，所建立的判斷矩陣是否科學、合理，直接影響到層次分析法的效果［6］。下面介紹如何建立模糊互補判斷矩陣、模糊互補判斷矩陣權重的計算方法以及模糊互補判斷矩陣的一致性判斷方法。

2.1 模糊互補判斷矩陣的建立

在模糊層次分析中，通過各因素的重要程度兩兩進行相比較構成一個判斷矩陣。比如針對上層要素Ui，假設A1，A2，…，An，是n個與Ui相關聯的下層要素，要分析A層各要素間針對Ui而言的相對重要程度，可以構造一個R=(aij)n×n的模糊判斷矩陣如下:

UiA1A2…A n A1a11a12…a1n A2a21a22…a2n Anan1an2…a nn

如果矩陣具有如下性質:

則這樣的判斷矩陣為模糊互補判斷矩陣。

其中，aij表示針對Ui而言，要素Ai對Aj的相對重要程度的數值，即重要性的比較標度。為了使aij得到定量描述，通常采用表1 所示的0.1～0.9 標度法給予數量標度。

表1 0.1～0.9 標度法及其含義

2.2 層次單排序

層次單排序是指針對上一層某要素來說，本層次所有要素的重要性的排序，這種排序以權重數值大小表示，稱為相對權重向量。文獻［7］推導出了求解模糊互補判斷矩陣權重的一種通用公式。該公式充分包含了模糊一致性性判斷矩陣的優良特性及其判斷信息，計算量小且便于計算機編程的實現，為實際應用帶來了極大的方便。該公式如下:

則W=(W1，W2，…，Wn)是模糊互補判斷矩陣R的權重向量，

令

則稱n階矩陣W*=(Wij)n×n為判斷矩陣R 的特征矩陣。

2.3 一致性檢驗

一致性是指判斷矩陣中各要素的重要性判斷是否一致，即由公式(1)得到的權重值是否合理。現實中客觀事物是復雜的，人們不可能完全能夠識別和判斷。人們在進行主觀評價的時候，對評價系統方案的認識具有片面性，所建立的判斷矩陣就不可能表現出完全一致性，這就需要對所建立的判斷矩陣進行一致性檢驗，只有通過一致性檢驗的的判斷矩陣才可以用于層次排序。文獻［8］推導出了用模糊互補判斷矩陣的相容性來檢驗其一致性原則的方法。

設矩陣R =(aij)n×n和S =(bij)n×n均為模糊判斷矩陣，稱

為R 和S 的相容性指標。

對于決策者的態度α，當相容性指標I(R，W*)≤α 時，認為判斷矩陣為滿意一致性的。α 越小則表明決策者對模糊判斷矩陣的一致性要求越高，一般可取α=0.2。

對于實際問題，一般都是由多個(設k個，k=1，2，…，m)專家給出同一因素U上的兩兩比較判斷矩陣它們均是模糊互補判斷矩陣，則可分別得到權重集的集合

則進行模糊互補判斷矩陣的一致性檢驗，要做以下兩方面的工作。

①檢驗m個判斷矩陣Rk的滿意一致性

②檢驗判斷矩陣間的滿意相容性

可以證明，在模糊互補判斷矩陣Ak(k=1，2，…，m)是一致可接受的情況下，它們的綜合判斷矩陣也是一致可接受的［9］。即只要當①和②滿足時，m個權重集的均值作為因素集U的權重分配向量是合理和可靠的。權重向量表達式W=(W1，W2，…，Wn)中

2.4 層次總排序

所謂層次總排序就是針對目標層而言，本層次各要素重要程度的次序排列。總排序需從上到下逐層順序進行，最高層次的層次單排序正是相對于總目標而言的，所求權重向量也就是其總排序的結果。

假設層次結構有k個層次(目標層算第一層)，則方案的優先程度的排序向量為:

2.5 各方案中的子指標值得分的確定

構建模糊判斷矩陣時，以不同方案的同一指標值為比較對象，比較相對優劣程度［10］。其他步驟與目標權重確定的步驟相同，以計算出來的權重值為子指標值得得分(表2)，得到子指標值得分矩陣G。

表2子指標得分矩陣

其中bij為子指標得分值，且

2.6 各方案得分確定

F為各方案得分，依據計算結果選擇得分最高的數控機床設備方案ft。

3 案例分析

某工廠需要加工一批齒輪零件，齒輪的基本參數:齒形-圓柱直齒輪;材料45#;模數4;齒數38;外徑φ160;切齒寬度24;精度等級6-6-7(GB 10095-88)。現有4 種可供選擇的數控機床設備。

3.1 確定層次總權重

根據最優數控機床設備選擇模型層次結構圖中的各項指標，請長期從事數控機床開發、應用和研究的兩名專家按照0.1～0.9 標度法原則對質量屬性，經濟屬性，環境屬性，人機屬性做兩兩比較判斷(表3)，得到權重模糊互補判斷矩陣。

表3 指標層各屬性對目標層的重要度排序

根據公式(1)，計算出由專家一給出的模糊互補判斷矩陣的權重向量為

根據公式(2)可得R1的特征矩陣為

根據公式(3)可得R1與的相容性指標為I故可以認為模糊判斷矩陣R1是滿意一致的，因此其權重集W1的分配是合理的。

根據公式(1)，計算出由專家二給出的模糊互補判斷矩陣的權重向量為

根據公式(2)可得R2的特征矩陣為

根據公式(3)可得R2與的相容性指標為I故可以認為模糊判斷矩陣R2是滿意一致的，因此其權重集W2的分配是合理的。

同時檢驗判斷矩陣R1和R2的滿意相容性:I(R1，R2)=0.182 ＜0.2，故可認為模糊判斷矩陣是滿意相容的。

由上述對模糊互補判斷矩陣的討論可知，將權重集的均值作為因素集的權重分配向量是合理和可靠的。由公式(4)知，綜合兩個專家的意見后，權重向量可表示為

W=(0.288 0.275 0.204 0.234)

采用相同的方法可構建指標層的模糊評判矩陣，計算出各指標權重，由公式(5)計算出層次總權重如表4 所示。

表4 各層次指標權重

續表

3.2 確定各指標值得分

采用模糊層次分析法確定各指標值的得分，可以有效的減小時間、人力、物力成本。兩位專家依據經驗對可供選擇的4 種數控機床設備(P1，P2，P3，P4)的各指標值進行模糊評估，表5 為兩位專家對可行性方案中尺寸精度指標。

表5 尺寸精度指標值

由式(1)(2)(3)(4)可得w(A1)= (0. 238 0.275 0.267 0.221)因此方案P1、P2、P3、P4 中指標得分分別為0.238、0.275、0.267、0.221，即在尺寸精度A1上P2 ＞P3 ＞P1 ＞P4。同樣可計算出其它各子指標值得分如表6 所示。

表6 各指標值得分

3.3 計算各方案得分

根據公式(6)可得F=100·W·GT=(24.45 25.61 25.74 24.31)。由得分向量可知方案3 得分最高為最優方案。

4 結論

數控機床是零部件加工的主體，在選擇數控機床設備時除了要考慮加工質量、生產成本及操作安全性等因素外，還要考慮對環境的影響，因此對數控機床設備選擇研究具有重要意義。文章給出了模糊層次分析法的數學模型，并利用模糊層次分析法對各種備選的數控機床設備的主要制約因素進行了總體評價，從而將影響設備選擇的多種因素進行綜合考慮，得出最優的方案。

模糊層次分析法考慮到決策者決策的模糊性使選擇結果更加合理，并能把定性與定量分析有機地結合起來，且該方法簡單明了，易于計算機編程實現，具有很大的實用性。

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