含風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的價(jià)格動(dòng)態(tài)模型

馬鴻燕

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

含風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的價(jià)格動(dòng)態(tài)模型

馬鴻燕

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，烏魯木齊 830046)

在做市商機(jī)制下建立含有風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的價(jià)格動(dòng)態(tài)模型，考慮具有一支風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和一支無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票的市場(chǎng)，市場(chǎng)中考慮兩類投資者(基本面分析者和圖表分析者)，其中圖表分析者采用最簡(jiǎn)單的交易規(guī)則。運(yùn)用離散動(dòng)力系統(tǒng)局部漸進(jìn)穩(wěn)定性和分支理論對(duì)其相應(yīng)的確定系統(tǒng)進(jìn)行分析。

做市商;風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整;圖表分析者;穩(wěn)定性

近年來(lái)，有關(guān)異質(zhì)信念資產(chǎn)定價(jià)引起了廣泛的討論。在真實(shí)的金融市場(chǎng)中，不同的投資者對(duì)未來(lái)收益的預(yù)期和對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度并不完全相同。Brock和Hommes［1］提出了異質(zhì)信念貼現(xiàn)資產(chǎn)定價(jià)模型，將實(shí)現(xiàn)的凈利潤(rùn)作為適應(yīng)函數(shù)，但并沒有考慮獲得此利潤(rùn)時(shí)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)。在隨后的文獻(xiàn)(Guanersdorfer［2］、Hommes［3］、Gaunersdorfer［4］和Gaunersdorfer and homes［5］)中使用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)作為適應(yīng)函數(shù)，得到由它導(dǎo)出的需求函數(shù)與期望方差最大化導(dǎo)出的需求函數(shù)一致。波動(dòng)聚集是金融時(shí)間序列的一種重要的特征，之前的文獻(xiàn)都是在數(shù)值模擬中給出其說(shuō)明，但沒有給出理論解釋。Gaunersdorfer and homes［6］同樣考慮了風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)，并給出了波動(dòng)聚集的理論證明。確定市場(chǎng)出清價(jià)格有兩種使用最廣的機(jī)制，即瓦爾拉斯拍賣機(jī)制和做市商機(jī)制。前者廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)理論，但O’Hara指出它只能用在一種市場(chǎng)中，即倫敦的白銀市場(chǎng)。上述文獻(xiàn)都是在瓦爾拉斯拍賣機(jī)制下討論的。

1 模型

這部分建立一個(gè)異質(zhì)信念標(biāo)準(zhǔn)貼現(xiàn)資產(chǎn)定價(jià)模型。有關(guān)風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的相關(guān)文獻(xiàn)(例如: Guanersdorfer［2，4］、Gaunersdorfer and Homes［5－6］)中都是在瓦爾拉斯拍賣機(jī)制下考慮的。本文將在做市商機(jī)制下考慮價(jià)格的動(dòng)態(tài)。

根據(jù)Brock and Hommes［1］的模型結(jié)構(gòu)，考慮具有一支風(fēng)險(xiǎn)和一支無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)股票的兩類資產(chǎn)市場(chǎng)，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在總收益R＞1時(shí)是完全彈性供應(yīng)的。Pt為t時(shí)期風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格，{yt}為其股息過程，t時(shí)期h型投資者的財(cái)富動(dòng)態(tài)表示為:

其中:zh，t為t時(shí)期h型投資者購(gòu)買風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的股數(shù);Rt+1=Pt+1+yt+1－RPt是每股的超額收益; Ft={Pt，Pt－1，…;yt，yt－1，…}為信息集。令Et，Vt為基于信息集Ft的條件期望和方差，Eh，t，Vh，t為h型投資者對(duì)條件期望和方差的信念。

假定投資者是近視均值最大化者，則股數(shù)需求zh，t滿足

其中，a為風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)。令nh，t為h型投資者的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)。假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的外部供給為0，則超額需求ze，t規(guī)定為

市場(chǎng)價(jià)格是通過做市商機(jī)制(參考文獻(xiàn)［7］)調(diào)節(jié)的，即:

其中，μ為每時(shí)期做市商調(diào)整市場(chǎng)價(jià)格的速度。

對(duì)信念做以下簡(jiǎn)化假設(shè):A1:假設(shè)未來(lái)價(jià)格和股息的形式為

類型1為基本面分析者，認(rèn)為未來(lái)價(jià)格將以速率v向基本價(jià)格P*方向移動(dòng)，當(dāng)v接近0(1)時(shí)，基本面分析者認(rèn)為價(jià)格快速(緩慢)地向基本價(jià)格移動(dòng);類型2為圖表分析者，從歷史價(jià)格中推出他們的信念，其中式(4)是圖表分析者使用最近觀察的價(jià)格變化的交易規(guī)則的一個(gè)簡(jiǎn)單例子。若g＞0則為追風(fēng)者;若g＜0則為逆風(fēng)者。

市場(chǎng)分?jǐn)?shù)定義如下:首先，在演化部分由離散選擇概率確定:

其中Uh，t為適應(yīng)函數(shù)。

Brock and Hommes［1］將實(shí)現(xiàn)凈利潤(rùn)作為適應(yīng)函數(shù)，t時(shí)期實(shí)現(xiàn)的凈利潤(rùn)定義為:πh，t=Rtzh，t－1。然而這里沒有考慮到獲得此利潤(rùn)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，因此采用風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整實(shí)現(xiàn)凈利潤(rùn)，定義為

根據(jù)式(6)，風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整實(shí)現(xiàn)凈利潤(rùn)作為適應(yīng)函數(shù)與財(cái)富短期期望方差最大化導(dǎo)出的需求函數(shù)一致。詳細(xì)討論參考文獻(xiàn)［6］。簡(jiǎn)單的推算可得適應(yīng)函數(shù)為

其中，0≤η≤1為適應(yīng)函數(shù)的記憶強(qiáng)度。

圖表分析者使其市場(chǎng)分?jǐn)?shù)取決于偏離基本價(jià)格的模型為

根據(jù)式(8)，當(dāng)市場(chǎng)價(jià)格偏離基本價(jià)格P*越遠(yuǎn)時(shí)，圖表分析者的市場(chǎng)分?jǐn)?shù)將減小。它是由定義市場(chǎng)分?jǐn)?shù)取決于偏離基本價(jià)格這一事實(shí)激勵(lì)的。詳細(xì)討論可參考文獻(xiàn)［5］。

2 確定性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

這部分討論確定系統(tǒng)在平衡點(diǎn)的存在性和平衡點(diǎn)附近的局部漸進(jìn)穩(wěn)定性［8－9］。令 xi+1，t= Pt－i－P*，得到隨機(jī)模型(9)的5維確定性系統(tǒng)，可表示為:

定理2得證。

由定理2可得:當(dāng)μ增大時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域Ω1增大，Ω2減小;當(dāng)μ減小時(shí)，穩(wěn)定區(qū)域Ω1減小，Ω2增大。Gaunersdorfer and Homes［7］得到的穩(wěn)定區(qū)域只有1個(gè)，而本文得到2個(gè)穩(wěn)定區(qū)域，對(duì)于穩(wěn)定性而言更詳細(xì)一些。

當(dāng)參數(shù)改變時(shí)，會(huì)出現(xiàn)引起動(dòng)態(tài)系統(tǒng)質(zhì)的變化的分支，特別是會(huì)出現(xiàn)改變平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分支。在這樣的分支值點(diǎn)處，平衡點(diǎn)是非雙曲線的，即存在一個(gè)平衡點(diǎn)處的雅克比矩陣所對(duì)應(yīng)的特征根的絕對(duì)值為1。也就是有一個(gè)特征根的值為1，－1或一對(duì)共軛復(fù)根。考慮到當(dāng)只有一個(gè)參數(shù)發(fā)生改變時(shí)出現(xiàn)的余一維分支，易得如下結(jié)論:

3 結(jié)束語(yǔ)

本文在做市商機(jī)制下，建立含有兩類投資者的具有風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的單資產(chǎn)動(dòng)態(tài)模型。分析了確定系統(tǒng)平衡點(diǎn)的存在性，運(yùn)用差分系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定性理論討論了系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處的穩(wěn)定性及分支討論，得出在做市商機(jī)制下穩(wěn)定區(qū)域比在瓦爾拉斯拍賣機(jī)制下的穩(wěn)定區(qū)域要詳細(xì)，即它的穩(wěn)定性更好。

［1］ Brock W C.Hommes.Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，1998，22(8/9):1235－1274.

［2］ Gaunersdorfer A.Endogenous fluctuations in a simple asset pricing model with heterogeneous beliefs［J］.Journal of Economic Dynamics and Control，2000，24(5): 799－831.

［3］ Hommes C H.Financial markets as nonlinear adaptive evolutionary systems［J］.Quantitative Finance，2001，1 (1):149－167.

［4］ Gaunersdorfer A.Adaptive belief systems and the volatility of asset prices［J］.Central European Journal of Operations Research，2001，9:5－30.

［5］ Gaunersdorfer A，Hommes C.A nonlinear structural model for volatility clustering［M］.Berlin:Springer Berlin Heidelberg，2007.

［6］ Gaunersdorfer A，Hommes C H，F(xiàn)lorian O，et al.Bifurcation routes to volatility clustering under evolutionary learning［J］.Journal of Economic Behavior and Organization，2008，67(1):27－47.

［7］ Chiarella C，He X.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model with a market maker［J］.Macroeconomic Dynamics，2003，7(4):503－536.

［8］ 王聯(lián)，王慕秋.常差分方程［M］.烏魯木齊:新疆大學(xué)出版社，1991.

［9］ 王東華，鐘曉珠，梁景翠，等.一類高階中立型差分方程的正解存在性［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，28 (12):145－147.

(責(zé)任編輯 劉 舸)

Evolutionary Learning in a Simple Asset Pricing Model with a Market Maker

MA Hong－yan1，SUN Qing－gang2
(1.Institute of Mathematics and Systems Science，Xingjiang University，Urimqi 830046，China; 2.Institute of science and technology，Xingjiang University，Urimqi 830008，China)

In a market maker scenario，we develop a simple asset pricing model with two types of rational traders，fundamentalists and chartists.Chartists use the simplest trading rule.Use local asymptotic stability of discrete dynamical systems and bifurcation theory for the analysis of underling deterministic system.

market maker;risk adjustment;chartists;stability

O211.9

A

1674－8425(2014)07－0123－04

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.024

2014－03－18

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41261087);新疆文科基地重大項(xiàng)目(0601920)

馬鴻燕(1990—)，女，寧夏人，碩士研究生，主要從事數(shù)理金融方面的研究。

馬鴻燕.含風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整適應(yīng)函數(shù)的價(jià)格動(dòng)態(tài)模型［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(7):123－126.

format:MA Hong－yan，SUN Qing－gang.Evolutionary Learning in a Simple Asset Pricing Model with a Market Maker［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):123－126.