馬爾可夫更新過程在武器裝備可靠性方面的應用

余 超，陳夫凱，周 浩

(河海大學 理學院，南京 210098)

馬爾可夫更新過程在武器裝備可靠性方面的應用

余 超，陳夫凱，周 浩

(河海大學 理學院，南京 210098)

區別于單一武器裝備壽命分布分析，考慮綜合性情況下的非馬爾可夫型冷儲備可修系統，應用馬爾可夫更新過程理論建立可靠性分析模型，并計算出武器裝備的2種可用度。

馬爾可夫更新過程;冷儲備可修系統;可用度;梯形法

對部隊來說，優良的武器裝備是衡量隊伍戰斗力的重要指標，而裝備的可靠性則是衡量武器優良的重要指標，因而分析武器裝備的可靠性是重要的研究課題。一般對于武器裝備來說，常會對其壽命進行可靠度分析。如文獻［1］對壽命服從威布爾分布的武器裝備進行了可靠性分析，并提出了相應的維修方案。文獻［2］介紹了壽命分布為威布爾分布的設備相關理論，用參數估計方法分析了發動機葉片的故障率及可靠度。文獻［3］介紹了可靠性理論中分布函數的各可靠性指標。但是僅考慮壽命分布卻遠遠不夠，如設備是否可修、修理工修理時間導致的部件暫時停止工作等問題均使得部件系統變得復雜。而對于滿足非馬爾可夫型冷儲備可修系統的武器裝備，可以根據馬爾可夫更新過程理論對其進行分析建模。文獻［4］詳細說明了馬爾可夫更新方程的推導過程并將其應用于實例。文獻［5］闡述了可用度基本含義及其計算模型。對于滿足兩同型部件冷儲備模型的偵察系統［6］及有延誤的單部件可修系統的裝甲裝備［7］，已有文獻研究了其可靠性。而冷儲備系統在國內已經擁有非常成熟的理論系統，如曹晉華、程侃［8］詳細說明了非馬爾可夫型兩部件冷儲備系統的3種可靠性指標。文獻［9］具體分析了具有2個不同部件和2個修理工的冷儲備系統的主要可靠性指標。文獻［10］討論了有延遲的2不同型部件的可靠性指標。這些均對部隊武器裝備的可靠性分析提供了理論依據。對于部件系統的可靠性指標，主要分析其瞬時可用度和穩態可用度，但是對于滿足馬氏更新方程的可用度，利用拉普拉斯及其反變換往往很難計算。陶建峰等［11］用復合梯形法計算出了2種可用性指標。本文在更新理論、馬氏更新過程理論、拉普拉斯及拉普拉斯－斯蒂爾切斯變換和概率分布理論［12］的基礎上，首先說明了可靠性理論中的單一考慮部件壽命的可靠性研究，然后分析了具有1個修理工和2種不同型部件的冷儲備系統，并用梯形法計算出武器裝備的瞬時可用度和穩態可用度。

1 可靠性理論中的2種分布函數分析

1)指數函數

對非負隨機變量X有密度函數f(x)=ue－ux，u＞0，x≥0，稱X服從參數為u的指數分布。它是可靠性工程常用的分布，其特點是失效率u是常數。這意味著可靠性是時間的函數，但不是元件壽命的函數。有可靠度函數R(t)=e－ut，失效率函數為u，平均壽命為1/u。

2)威布爾分布函數

對于上兩種函數，雖然可以經過統計分析得出元件的相關可靠性指標，但對于部件出現故障、修理工加入系統、部件工作暫停，以及修理工因為假期及個人原因導致修理延遲等問題，運算將會變得十分復雜，不僅是考慮部件壽命的問題。但對于非馬氏冷儲備系統卻可以應用馬氏更新過程理論來解決。

2 馬爾可夫更新過程

2.1 馬氏更新過程定義

設隨機變量 { X(t)，t≥0 }是狀態空間E=Z+的隨機過程，設0=t0＜t1＜t2＜…＜tn＜…是過程的狀態轉移時刻，則Xn=X( tn+0)是過程在時刻tn發生的第n次轉移后所處狀態。若對任意整數n≥0，任意i0，…，in－1，in，j∈E和任意t≥0，有

則稱隨機過程 {(Xn，tn)，n≥0 }為馬爾可夫更新過程。轉移概率族 {Qij(t)，i，j∈ E}，稱作空間E上的半馬爾可夫核。設 X(t)=Xn，tn≤t≤tn+1，則{ X(t)，t≥0 }是半馬氏過程。Xn稱作半馬氏過程{ X(t)，t≥0 }的嵌入馬氏鏈。

2.2 再生點

再生點是這樣的時刻:在已知此時該過程所處的狀態的條件下，過程將來發展的概率與過去的歷史無關。

在馬爾可夫過程中，每個狀態的逗留時間服從指數分布［13－15］。由于指數的無記憶性，任意時刻t都是過程的再生點，具有馬氏性。但在半馬爾可夫過程中，逗留時間分布為一般分布，故所有時刻并非都是過程的再生點，而只在狀態轉移時刻是再生點。

3 裝備的模型分析

3.1 模型假設

假設1 系統由2個不同型部件和2個修理工組成。

假設2 部件的工作壽命Xi服從威布爾分布W( αi，λi;x)=Wi(x)，i=1，2，故障后修理時間Yi服從參數為μi的指數分布Fi( ui;y)，i=1，2。

假設3 2個部件的工作壽命、修理時間以及修理延遲時間都相互獨立，且在工作之初是全新的，部件既不出現故障也不會劣化。

假設4 裝換開關是可靠的，狀態轉移是瞬時的，部件修復如新。

此時所建立的模型即兩部件冷儲備系統模型。

3.2 狀態分析

狀態0 部件1開始工作，部件2冷儲備;

狀態1 部件1出現故障，修理延遲開始，部件2開始工作;

狀態2 部件2出現故障，開始修理，修理延遲開始，部件1開始工作;

狀態3 一個部件正在工作，另一個部件修理結束;

狀態4 一個部件正在修理延遲，另一個部件發生故障。

經分析知:狀態0是滑過狀態，狀態1、2都是系統的再生點。在再生點時刻與狀態{X，T}相關的函數f( i，t)=P( A)定義在E×R+上滿足馬爾可夫更新方程:

其中:g=P( A，T1＞t)，Q=P( I[s≤t]，i，k)，T1為首次更新時刻。

令X(t)=j表示在時刻t系統處于狀態j(j= 0，1，2，3，4)，Tn表示系統第n次發生狀態轉移的時刻，Zn=X( Tn+0)表示第n次轉移時刻系統所進入的狀態。則易知 (Zn，Tn;n=0，1，2，… )是狀態空間E={0，1，2，3}上的馬爾可夫更新過程，{ X(t)，t≥0 }是一個半馬爾可夫過程。Qij(t)，i= 0，1，2，3，4，j=1，2，3，4，記Xi，i=1，2為裝備i的工作壽命，Yi，i=1，2為裝備i的修理時間，則有下列結果:

3.3 可用性分析

通過拉普拉斯變換及其反變換很難求出瞬時可用度A0(t)，A1(t)和A2(t)，但在所要求的精度下通過數值方法求解會使計算變得簡單。本文采用梯形公式求解瞬時可用度。對A0(t)，A1(t)和A2(t)變形可得

進而可以得出系統的穩態可用度與初始狀態無關。

4 模型計算

假設經過參數估計后，2個裝備的壽命分布參數分別為λ1=0.01，α1=1，λ2=0.02，α2=1，修理時間參數為u1=0.5，u2=0.5，則考慮該武器裝備的可用性指標。

1)穩態可用度

其A1(t)可用度在［0，100］h的曲線見圖1。

圖1 A1(t)可用度在［0，100］h的曲線

由圖1可知:武器裝備在工作時隨著時間的增加，可用度逐漸減小?？梢?，單從穩態可靠度方面并不能反映出武器裝備的瞬時可用度［16－18］，而且對于冷儲備系統的工作時間通常比系統進入穩態可用度的時間短，穩態可用度很難描述系統瞬時可用度的動態變化。

5 結束語

區別于通常單一考慮部件壽命分布的可靠性研究，本文應用馬爾可夫更新過程理論對武器裝備進行建模分析。考慮其為具有2個不同型部件、1個修理工的冷儲備可修系統，進而求出基于馬爾可夫更新過程理論的武器裝備的可靠性指標，以便用于實際研究與參考。但本文只考慮了兩部件冷儲備系統，多重裝備部件的預防性維修、修理有優先權、修理工休假以及部件老化問題等尚需進一步研究。

［1］ 李陽，吳建業.基于威布爾分布的武器裝備維修性分析研究［J］.艦船電子工程，2013(3):102－104.

［2］ 于曉紅，張來斌.基于新的威布爾分布參數估計法的設備壽命可靠性分析［J］.機械強度，2007，29(6):932－936.

［3］ 閆紀紅.可靠性與智能維護［M］.哈爾濱:哈爾濱工業大學出版社，2012.

［4］ 王丙參，魏艷華，張凡弟.馬爾可夫更新過程及其應用［J］.齊齊哈爾大學學報，2011(3):86－89.

［5］ 徐廷學，杜峻名.導彈裝備使用可用度驗證方法［J］.四川兵工學報，2011，32(8):1－3.

［6］ 沈吉峰，張永志.基于馬爾可夫更新過程的偵察系統可靠性分析［J］.兵工自動化，2010，29(32):447－450.

［7］ 劉福勝，單志偉.基于馬爾可夫更新過程的裝甲裝備使用可用度模型［J］.裝甲兵工程學院學報，2010，4 (5):15－17.

［8］ 曹晉華，程侃.可靠性數學引論［M］.北京:科學出版社，1986.

［9］ 李才良，薄冰遠.兩不同部件冷儲備系統的可靠性分析［J］.電子科技大學學報，2003，33(3):331－332.

［10］尚仲平，盧淑霞.具有修理延遲的兩部件冷儲備的可靠性分析［J］.數學的實踐與認識，2011，23(12):134－139.

［11］陶建峰，劉成良，王少萍.兩部件冷儲備系統可用度數值解法［J］.上海交通大學學報，2006，39(9):1476－1480.

［12］鄧永錄.應用概率及其理論基礎［M］.北京:清華大學出版社，2005.

［13］張蕊，夏樂天.灰色馬爾可夫鏈模型在降雨預測中的應用［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2012(10): 103－106.

［14］劉金全，李楠，鄭挺國.隨機波動模型的馬爾可夫鏈－蒙特卡洛模擬方法——在滬市收益率序列上的應用［J］.數理統計與管理，2010(6):1026－1035.

［15］徐競.基于馬爾可夫鏈的動態CPPI投資策略及實證分析［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2012(4): 128－134.

［16］陳輝強，魏鑫，高飛.裝備可靠性數據處理方法［J］.四川兵工學報，2010(7):35－37.

［17］王貴寶，龍立軍，邱欣.武器裝備可靠性工程研究現狀與最新進展［J］.直升機技術，2011(1):25－29.

［18］康銳，曾聲奎，王自力.裝備可靠性系統工程的應用模式［J］.中國質量，2013(4):16－18.

(責任編輯 劉 舸)

Application of Markov Renewal Process in the Credibility Aspect of Weapon Equipment

YU Chao，CHEN Fu－kai，ZHOU Hao
(Shool of Sciences，Hohai University，Nanjing 210098，China)

To make a distinction from the analysis of life span distribution about the single weapon equipment，the paper considered the non－Markov in comprehensive situation，used the Markov renewal process theory to build the reliability analysis model，and calculated the two kinds of usability.

Markov renewal process;the cold standby repairable;usability;delay time

O22

A

1674－8425(2014)07－0137－05

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.027

2014－03－06

余超(1991—)，男，江西臨川人，碩士研究生，主要從事統計與隨機過程和水文預報方面的研究。

余超，陳夫凱，周浩.馬爾可夫更新過程在武器裝備可靠性方面的應用［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(7):137－141.

format:YU Chao，CHEN Fu－kai，ZHOU Hao.Application of Markov Renewal Process in the Credibility Aspect of Weapon Equipment［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):137－141.