基于雙重卡爾曼濾波器電池荷電狀態的估計

商高高，朱晨陽

(江蘇大學汽車與交通工程學院，江蘇鎮江 212013)

基于雙重卡爾曼濾波器電池荷電狀態的估計

商高高，朱晨陽

(江蘇大學汽車與交通工程學院，江蘇鎮江 212013)

為了有效估計車用蓄電池的荷電狀態(SOC)，建立了包含遲滯因素和松弛因素的鋰電池的精確模型，以自適應無跡卡爾曼濾波器算法為基礎，設計了能夠實現模型參數和狀態同時在線估計的雙重卡爾曼濾波器。通過實驗和仿真結果的比較表明:該方法能夠有效抑制噪聲的干擾，快速修正SOC的誤差，取得精確的SOC估計值，同時通過時變參數的估計為判斷蓄電池的健康狀態提供依據。

荷電狀態;卡爾曼濾波器;自適應

電池的荷電狀態(state of charge，SOC)是蓄電池的重要性能指標。它表示蓄電池可充放電的能力，其準確估計對于電動汽車能量的合理分配和再生利用有著重大意義。

目前，普遍使用的SOC估計方法有安時計量(Ah)結合開路電壓(OCV)的方法［1］、支持向量機法［2］和卡爾曼濾波法［3，4］。其中，安時法易受SOC初始誤差的影響而產生累積誤差;開路電壓法不能滿足汽車行駛工況的實時性要求;支持向量機法對硬件的要求較高且受訓練數據的影響較大;傳統的卡爾曼濾波法無法保證在整個電池壽命期間SOC的估計精度。本文在建立精確的電池模型的基礎上，設計了能夠同時在線估計電池模型參數和SOC的雙重卡爾曼濾波器，從而在電池整個壽命期間均能穩定、精確地估計電池SOC。

1 蓄電池模型的建立

卡爾曼濾波器是以狀態空間方程為基礎，通過遞推算法實現狀態的最小方差估計。因此，建立一個精確的電池模型是實現卡爾曼濾波器在線估計電池SOC的前提。該模型要求既能反映電池的各種特性，又能兼顧處理器的運算速度。

目前，常用的電池建模方法有電化學模型、電阻抗模型、等效電路模型。每種方法都有自身的適用范圍。由于本文是針對電池在電動汽車的特殊環境下的SOC估計，所以必須滿足一些特殊的要求，主要包括:較高的充放電電流、較大的電流變化速率、溫度變化范圍大(從-30℃到+50℃)、充放電交替出現的可能等。另外，在電動汽車中，能夠直接測量的電池信號很少，只有電流、電壓、溫度等，并且電池的性能受電池的電化學結構的限制。綜合考慮，本文最終使用基于等效電路的模型，但不同的是，文中將SOC作為系統狀態而不是開路電壓(OCV)，然后通過合理設計卡爾曼濾波器直接得到SOC的估計值［5］。電池模型如式(1)所示。

式(1)中的fk為低通濾波器，用來表示電池中的松弛因素。松弛因素是指如果一個電池經歷的是脈沖電流，那么只有在一定時間后它才會收斂到穩定狀態的點，并且這些時間常數可以通過電流ik的低通濾波器表示出來;Δt為采樣時間間隔;α為低通濾波器的極點;diag(α)為低通濾波器極點組成的對角線矩陣;ik為kΔt時刻電流(放電時為正，充電時為負);hk為電池的遲滯因素，遲滯是指輸入信號周期性變化的時候，輸出為非周期變化，在電池中的表現為利用極小的電流對電池進行充放電時電池的端電壓并不能完全重合;η為電池庫侖效率;r為正數，用來調整衰減的速率; Cn為電池的標稱容量;zk為kΔt時刻的SOC值;wk為系統過程噪聲;yk為電池端電壓;OCV(zk)為電池開路電壓;R為電池歐姆內阻;M為由遲滯引起的最大極化值;G表示低通濾波器的輸出矩陣;vk為系統的測量噪聲;zzk為SOC的粗略估計值，它可以通過測量電池的電壓、電流和估計得到內阻，利用OCV-SOC曲線，通過查表的方式得到。為了保證在SOC估計過程中所有的參數具有真實的物理意義，zk表達式為

為了使得等式在充、放電過程中都能保持穩定，sgn(ik)表達式為

式(3)中，ε指非常小的正實數。

2 雙重卡爾曼濾波器的設計

2.1 卡爾曼濾波器簡介

1960 年，美籍匈牙利數學家卡爾曼將狀態空間分析方法引入到濾波理論中，對狀態和噪聲進行了統一的描述，得到時域上的遞推濾波算法，即卡爾曼濾波，相應的算法稱為卡爾曼濾波器［6］。經典的卡爾曼濾波器(KF)在初始化完成后，只需不斷重復時間更新和測量更新就能完成狀態值的不斷更新。圖1表示卡爾曼濾波器的工作原理。

圖1 卡爾曼濾波器的工作原理

由于在實際應用時，多數情況下需要處理的系統為非線性的(如電池SOC估計模型)，所以卡爾曼濾波器又衍生出了針對非線性系統的算法，主要有擴展卡爾曼濾波器(EKF)和基于統計線性回歸的非線性卡爾曼濾波器(SPKF)。

EKF是指將非線性模型在狀態估計值附近做一階泰勒級數展開，從而實現非線性系統的線性化，然后采用KF算法對線性化后的系統進行狀態估計。這種方法只能得到一階近似值，所以僅適合于弱非線性系統，并且在計算過程中需要計算Jacobian矩陣及其冪。

SPKF是依據一種被稱為UT變換的方法來實現非線性系統的狀態估計。UT變換采用具有確定性的點集——Sigma點來表征輸入狀態的分布，然后對每個Sigma點分別進行非線性的變換，通過加權計算捕捉到變換后的統計特性。在這個過程中不涉及求導和雅可比矩陣的計算，所以較適用于強非線性系統，計算精度能達到2階。SPKF有2種比較常用的方法:無跡卡爾曼濾波法(UKF)和中心差分卡爾曼濾波法(CDKF)。這2種方法的差別僅在于權重常數的取值不同，其本質是一樣的。

另外，傳統的卡爾曼濾波器是將過程和測量噪聲當作互不相關的零均值、協方差為常數的高斯白噪聲處理的。但在實際應用中需要大量的實驗才能確定合適的協方差常數。即使能合理確定該常數，還是會因為這個常數產生的誤差對估計結果產生負面的影響。因此，本文在卡爾曼濾波器中增加了自適應過程對系統的過程和測量噪聲協方差進行在線的修正［7］。

2.2 基于自適應UKF的雙重卡爾曼濾波器

電池中所有的參數大體可分為2類:一類類似電池的SOC，特點是變化較快，在整個充放電期間變化范圍為5%～95%，這些參數統稱為系統“狀態”;另一類類似電池的電阻，特點是變化較為緩慢，在電池整個充放電期間的變化可能都不超過20%，這些參數稱為系統的“時變參數”。

傳統的做法是先對模型中的參數進行離線辨識，然后利用卡爾曼濾波器進行SOC的在線估計。這種方法的缺點主要有:1)默認了模型中的參數為常數，而電池中的參數并不是常數;2)如果模型參數為非線性的，那么離線參數估計較難實現。雙重卡爾曼濾波器通過2個獨立的卡爾曼濾波器分別估計系統的狀態和時變參數，實現電池的特性參數和SOC同時在線估計，從而提高電池的估計精度。同時，由于UKF適合解決非線性問題，所以該方法能克服非線性參數估計難以實現的缺點。

在雙重卡爾曼濾波器設計過程中需要對上述的電池模型做適當的修改，以便能與參數估計模型聯系起來。同時，為了敘述方便將電池模型簡寫為

式(4)中:xk為系統狀態向量［fk，hk，zk］T;uk為系統輸入電流ik;θk為模型參數向量。有關文獻說明，通過增加低通濾波器的階nf能夠有效提高模型的性能，但是當nf大于4后增加的效果不是很明顯，而且會增加計算量。因此，本文將采用4階的模型。另外，根據濾波器的設計特性可知g4是通過下式得到的:

故時變參數向量為

利用卡爾曼濾波器實現時變參數的估計，首先需要建立能夠描述系統模型參數θ的動態特性的狀態空間方程式。電池中的參數總會緩慢地變化，所以在建模時認為這些參數是具有微小擾動的常數，通過在狀態方程中引入一個虛擬的白噪聲rk來表示。輸出等式必須包含一個可測量的系統參數，這里為電池端電壓dk;同時，使參數辨識模型明確包含狀態等式的影響。因此，參數估計模型為

式(7)中:ek為測量噪聲。

有了上述2個模型就可以利用雙重卡爾曼實現同時在線估計系統的狀態和時變參數。以自適應的無跡卡爾曼濾波算法為基礎設計得到的雙重卡爾曼濾波器可簡稱為ADUKF。算法中用到的各個符號的意義分別為:上標“^”表示對應量的估計值;下標k|k-1表示某個向量k時刻根據上一個采樣時間k-1得到的時間更新值;下標k|k-1表示某個向量k時刻的測量更新值;P表示協方差，包含了狀態的誤差協方差和各種噪聲的協方差;上標“～”表示真實值與估計值的差，在卡爾曼濾波器中也被稱為“新息”。自適應雙重無跡卡爾曼濾波器的原理見圖2。

圖2 自適應雙重無跡卡爾曼濾波器原理

算法的具體過程如下［8，9］:

1)確定無跡卡爾曼濾波器中各個權重的取值方法，如表1所示。

表1 UKF中常數的取值公式

表1中:L為狀態向量的維數;α為決定狀態向量的平均值周圍的sigma點的散播范圍的常數，一般取值范圍為0.000 1＜α＜ 1;β為包含先驗信息的參數，高斯白噪聲的取值為 2;λ為第一個標定參數，其計算公式為式(8)中:κ為第2個標定參數，通常取值為3-L或0。但當L＞3時，κ為負數，會導致計算過程中誤差協方差矩陣為負定矩陣，不能進行Cholesky分解，所以當L＞3時，通常取κ的值為0。

2)初始化。由于卡爾曼濾波器對初值具有較好的魯棒性，所以^x0，P~x，0，θ^0，P~θ，0的初值的選取無需很精確。然而，雖然噪聲協方差進行了自適應的修正，但實驗證明該修正過程只能在一定的范圍內有效，所以Pw，Pv，Pr和Pe的初值仍需根據實驗結果進行較為精確的估計。

3)時變參數的時間更新。

4)構建狀態的sigma點向量χk-1|k-1，并完成狀態和sigma點向量的時間更新。

5)構建時變參數的Sigma點向量。

式(16)中:N為時變參數向量的維數。

6)計算時變參數的輸出估計。

7)計算狀態的輸出估計。

8)計算狀態的卡爾曼增益。

9)計算時變參數的卡爾曼增益。

10)分別完成狀態和時變參數的測量更新。

時變參數的測量更新的計算方法與狀態一致，這里不再列出。

11)完成狀態和時變參數中噪聲的協方差的自適應更新。其中，Un(k)為k時刻的殘差。Pr，k-1，Pe，k和Pw，k-1，Pv，k計算方法一致。

3 仿真分析

3.1 實驗結果

為了驗證雙重卡爾曼濾波器算法的有效性，需要先對電池進行實驗。本文中主要進行的實驗為恒流充放電實驗和變電流的脈沖充放電實驗。使用的鋰電池特性參數為:標稱容量為7.5 Ah，標稱電壓為3.9 V，充電截止電壓為4.5 V，放電截止電壓為3.4 V。實驗結果如下:

1)以極小電流進行恒流充放電實驗，可以盡量減小電池中遲滯、電池內阻等動態因素對電池充放電實驗的影響，然后求取充放電曲線的平均值，所得到的曲線即為OCV-SOC的關系曲線，如圖3所示。

圖3 電池端電壓與SOC的關系曲線

2)變電流脈沖實驗可以檢驗電池在不同電流大小下的性能，實驗結果如圖4所示。

圖4 充放電電流、SOC與時間的關系

3.2 仿真結果

為了保證濾波器的穩定性，需要使濾波器所有的極點均屬于-1～1。所以本文在進行參數估計時不對αj直接進行估計，而是定義βj=tan(π× αj/2)。在進行估計時無論β取何值，得到的αj均屬于-1～1。

電池模型的ADUKF算法中需要設定的初始值分別為:設置SOC為精確值，那么狀態向量=［f0，1，f0，2，f0，3，f0，4，h0］T=［-77-85-78-80 0.001 0.95］T。其中:f0，i表示4階的低通濾波器中的各個狀態;狀態誤差協方差為0.02×I(6);狀態方程中的噪聲協方差分別為Pw，0=0.02×I(6)和Pv，0=0. 001;時變參數=［R，g1，g2，g3，β1，β2，β3，β4，M，r］T=［0.005-0.52-1.3-0.18 0.74 0.70 0.75 0.76 0.005 2］T;時變參數誤差協方差=0.02×I(10);時變參數方程中的噪聲協方差分別為Pr，0=0.02×I(10)和Pe，0=0. 001;殘差序列Un的維數n=10。根據這些初始值計算出的結果見圖5。

圖5 ADUKF估算的SOC值與實際值的比較

從圖5可以看出:雙重卡爾曼濾波器的收斂速度很快，估計精度較高。

為了證明ADUKF算法具有很好的對初值的修正作用，這里重新設置狀態向量的初值為［-20 -20-20-20 0.001 0.5］T，時變參數向量的初值為=［0.02-0.4-1-.2 0.7 0.7 0.7 0.7 0.002 2］T，其他參數值保持不變，SOC估計結果如圖6所示。其中，小圖為大圖的局部放大。從圖6可以看出:大約在35 s內就能消除不同初值導致的估計結果的誤差。

圖6 不同初值的SOC估計結果的比較

下面以電池內阻為例來說明時變參數的變化情況。電池內阻的在線辨識結果見圖7。從圖7可以看出:電池內阻是一個變化范圍較大的量，而不是一個趨于恒定的量。另外，從圖7還可以看出:隨著充放電的深入，電池的內阻會隨著時間逐漸變大，說明在電池充放電的末端，電池的使用效率會變低。這也是限制電池SOC使用范圍的一個原因。

圖7 電池內阻R隨時間的變化

4 結束語

本文運用自適應的無跡雙重卡爾曼濾波算法實現了對鋰電池的SOC及其模型參數的同時在線估計，從而保證電池有效期內電池SOC的估計精度。仿真與實驗對比的結果表明:該方法能夠實現SOC的精確估計，并且能夠在較短的時間內有效修正初值誤差的影響和噪聲干擾。另外，在線估計的電池內阻等參數能為實時判斷電池的健康狀態提供一定的依據，提高了電池的可監控性，為電動汽車能量的合理分配和再生利用提供準確的蓄電池狀態信息。

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［2］陳艷，趙明富，興仁龍，等.基于SVM的光纖鉛酸蓄電池容量在線智能檢測技術研究［J］.壓電與聲光，2008，30(3):304-307.

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(責任編輯 劉舸)

States of Charge Estimation of Battery Based on the Dual Kalman Filter

SHANG Gao-gao，ZHU Chen-yang
(School of Automobile and Traffic Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

In order to estimate battery state-of-charge effectively，an accurate battery model was built which contained the hysteresis effect and relaxation effect.Then，on the basis of adaptive unscented Kalman filter，the dual Kalman filter was designed which could estimate the parameter and state online at the same time.Finally，the comparison results between test and simulation show that this method can effectively suppress noise，reduce the SOC estimate error and achieve the precise SOC estimated value.And，the estimated value of parameter can provide evidence for the judging of state-ofhealth of battery.

state of charge;Kalman filter;adaptive

U469.72

A

1674-8425(2014)06-0001-07

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.06.001

2013-11-28

商高高(1962—)，男，博士，副教授，主要從事汽車機電一體化技術方面的研究;通信作者朱晨陽(1989—)，男，碩士研究生，主要從事汽車機電一體化技術方面的研究。

商高高，朱晨陽.基于雙重卡爾曼濾波器電池荷電狀態的估計［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014 (6):1-7.

format:SHANG Gao-gao，ZHU Chen-yang.States of Charge Estimation of Battery Based on the Dual Kalman Filter［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(6):1-7.