位移共振與速度共振之別

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

在機械振動中，共振現象包括兩種，即位移共振和速度共振；在電磁振蕩中，共振現象也包括兩種，即電壓共振和電流共振，統稱為電諧振.那么位移共振與速度共振有何異同？電壓共振與電流共振相當于機械振動中的哪種共振？下面舉例分析.

1 機械振動中的位移共振和速度共振

物體在彈簧彈力和正比于速度的線性力作用下的運動為阻尼振動.

【例1】有一個豎直彈簧振子，彈簧的勁度系數為κ，振子為圓盤形，質量為m，其表面與彈簧垂直，在某種液體中上下振動，在運動速度較小的情況下，粘滯阻力的大小與速率成正比，即f=κ′v，若圓盤還受到一個沿豎直方向的周期性外力F′=Fmsinω′t的作用，選擇平衡位置為原點，坐標軸豎直向下，設開始向下的初速度為v0，試求振子的位置坐標隨時間的變化規律.

解析:對于豎直彈簧振子，當以平衡位置為坐標原點時，重力無影響；再者，振子質量較小，重力可忽略.圓盤形的振子體積較小，受到液體的浮力可忽略不計，以豎直向下為正方向，由牛頓第二定律，有

-κx-κ′v+Fmsinω′t=ma

即

如圖3所示，將圓臺母線延長，恰交于小活塞中點O，以O為原點建立x軸.

則

所以

設OE=x，則

所以深度E處水的壓強為

E處長為dx的微元環面積dS為

缸體側壁所受總壓力

所以缸體側壁所受總力的豎直分力F側為

F側=F總sinθ=

8F+136=8F+136 (單位：N)

所以

N=G缸-F側=

50×10-(8F+136)=

-8F+364 (單位：N)

即

齊次微分方程的特征方程為

其兩個根為

當阻尼因數較小即β<ω0時，為弱阻尼狀態，特征方程有兩個共軛復根，即

對該式有兩種情況:

(1)無阻尼時，即當β=0時，r=±iω0，振動為無阻尼的受迫振動，這種振動包括兩種情形.

其一，若擾動度頻率與固有頻率不等，即ω′≠ω0，則由高等數學二階常系數非齊次線性微分方程理論可知，微分方程的通解為

其二，若擾動頻率等于固有頻率，則微分方程的通解為

2 電諧振

【例2】如圖1所示，有一個電阻R，自感L，電容C和電源E串聯組成的電路，其中R，L及C為常量，電源電動勢是時間t的函數：E=Emsinω′t，這里Em及ω′也是常量.電源內阻不計.當閉合開關接通電源時，試推導電容器兩極的電壓隨時間變化的微分方程及電諧振條件.

圖1

列出回路電路電壓方程為

E-EL-uC-uR=0

即

得

化簡為

可知函數y最小值的條件是

此時電壓幅取得最大值，因此RLC串聯電路的電壓諧振與機械振動的位移共振相應.

由此可知電流幅取極大值的條件是外界擾動頻率ω′與系統固有頻率ω0相等，因此電流諧振與機械振動的速度共振相應.

電流諧振現象可通過實驗來觀察，將RLC串聯電路中的電阻元件換為小燈泡，當調節交流電源的頻率等于RLC串聯電路的固有頻率時，即在ω′=ω0的條件小燈泡最亮，表明此時電流最大，即電路中交變電流的有效值最大，發生電流諧振.這是由于諧振時電抗為零，則阻抗最小，即RLC串聯電路的等效電阻為純電阻R.電諧振實質是在交流電通過RLC電路中的電容和電感時，交流電源本身的周期性變化與LC電路充、放電的周期性變化步調一致，即二者固有頻率相等，達到穩定狀態.

對于串聯諧振電路發生諧振的條件，還可通過歐姆定律和阻抗公式及容抗公式來推導.

設電路中交流電源為E=Emsinωt，則阻抗為

而

令

y=R2ω2C2+(ω2LC-1)2=

L2C2ω4+(R2C2-2LC)ω2+1

這是關于變量ω2的二次函數，有最小值條件是

即

在此條件下，電容器兩端的電壓的有效值達到最大，電壓的峰值也達到最大，因此發生電壓諧振.

參考文獻

1 同濟大學數學教研室.高等數學(下冊).北京：高等教育出版社，1986.375

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3 周紹敏.電工基礎(第三版).北京：高等教育出版社，2005.169

4 吳進校.應如何定義共振.物理通報，2003(9):12