對一道全國理科實驗班招生試題的解析

蔣丹華 張 勇

(鎮江四中 江蘇 鎮江 212001)

原題：如圖1所示，為一個豎直放置在地面上的異型氣缸，其上下為粗細不同的同軸圓柱形，上面小活塞的半徑為5 cm，下面固定在地面上，大活塞的半徑為15 cm，缸內裝滿水，不計一切摩擦，缸體的質量是50 kg，錐形部分h1=20 cm，上面細圓柱體內水柱高h2=10 cm，小活塞上有一豎直向下的作用力F，假如F由零開始慢慢增大，試作出缸體對地面壓力N隨F變化的圖線(提示：先寫出關于N的函數的具體表達式，g取10 N/kg)

圖1

圖2

方法一：利用力的作用是相互的.以圖1容器中的水為研究對象，則它在豎直方向受4個力的作用：重力G，小活塞對其向下的壓力F，大活塞對其向上的壓力F′(大小就等于水對大活塞的壓力)、容器側壁對水壓力的豎直分量F側(大小就等于水對容器側壁的壓力的豎直分量).

8F+103π×10×[(0.1+0.2)×0.152-

0.05×0.15+0.152]=8F+136

所以

N=G缸-F側=

50×10-(8F+136)=

-8F+364(單位：N)

方法二：利用定積分直接求解

圖3