應(yīng)用微積分推導(dǎo)中學(xué)物理運(yùn)動(dòng)學(xué)公式

姜宗祎

(東港市第二中學(xué) 遼寧 丹東 118300)

在高中物理教學(xué)中，若能初步學(xué)會(huì)運(yùn)用微積分公式來處理物理問題，定能加深對(duì)物理概念的理解，使物理思維達(dá)到新的飛躍，下面我們對(duì)高中物理教材中，勻變速直線運(yùn)動(dòng)、變加速曲線運(yùn)動(dòng)(勻速圓周運(yùn)動(dòng))、勻變速曲線運(yùn)動(dòng)(平拋運(yùn)動(dòng))3種常見的運(yùn)動(dòng)形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo).

1 直線運(yùn)動(dòng)中的速度 加速度

設(shè)質(zhì)點(diǎn)A呈一維運(yùn)動(dòng)，t時(shí)刻位于x(t)處，經(jīng)過Δt時(shí)間后位于x(t+Δt)處，則定義質(zhì)點(diǎn)A在Δt時(shí)間內(nèi)的平均速度為

平均速度粗略地表示了在該段時(shí)間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的快慢情況.

質(zhì)點(diǎn)A在t時(shí)刻的瞬時(shí)速度(簡(jiǎn)稱速度)為

同理，定義t時(shí)刻到t+Δt時(shí)刻之間的平均加速度為

平均加速度粗略地表示了在該段時(shí)間內(nèi)物體速度的變化情況.如果Δt越小，該段時(shí)間內(nèi)速度的波動(dòng)就越小，描述的速度變化情況也就越精細(xì)，從而定義質(zhì)點(diǎn)A在t時(shí)刻的瞬時(shí)加速度為

2 勻變速直線運(yùn)動(dòng)方程

2.1 速度時(shí)間方程

即

v-v0=at

v=v0+at

2.2 位移時(shí)間方程

即

2.3 位移速度方程

把加速度恒等變形得

由初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，x=x0，v=v0，分離變量等式兩側(cè)積分得

即

3 曲線運(yùn)動(dòng)中的切向加速度 法向加速度

以變速圓周運(yùn)動(dòng)為例，如圖1所示[1].

圖1

質(zhì)點(diǎn)P做變速圓周運(yùn)動(dòng)，在自然坐標(biāo)系中，n為法向單位變矢量，τ，τ1，τ2為切向單位變矢量，其中

|n|=|τ|=|τ1|=|τ2|=1

如圖1所示，當(dāng)時(shí)間趨近零時(shí)Δθ角所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)1·Δθ和弦長(zhǎng)|Δτ|近似相等，矢量Δτ方向指向圓心，即與矢量n方向相同，其中

所以

切向加速度為

法向加速度為

對(duì)于勻速圓周運(yùn)動(dòng)

即為高中物理中向心加速度表達(dá)式.

4 平拋運(yùn)動(dòng)方程

已知，平拋運(yùn)動(dòng)水平初速度為v0，加速度為g，求平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程.如圖2所示，在直角坐標(biāo)系中，單位矢量為i，j.

OP位置矢量為r=xi+yj

圖2

分離變量，由初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，x=x0，等式兩側(cè)積分得

x=x0+v0t

分離變量，等式兩側(cè)積分得

則vy=gt， 所以平拋運(yùn)動(dòng)速度大小隨時(shí)間關(guān)系表達(dá)式為

分離變量，由初始條件，當(dāng)t=0時(shí)，y=y0，等式兩側(cè)積分得

即

如圖2所示,x0=y0=0 所以平拋運(yùn)動(dòng)位移大小隨時(shí)間關(guān)系表達(dá)式為

5 結(jié)論

通過對(duì)以上3種運(yùn)動(dòng)形式分析，用微積分公式得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與高中物理課本相一致，筆者認(rèn)為，利用微積分公式處理運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，一方面使問題得到了簡(jiǎn)化，另一方面可以使教師更深刻地理解物理概念和物理規(guī)律，提高自身的教學(xué)能力.

參考文獻(xiàn)

1 張鐵強(qiáng).大學(xué)物理學(xué)(上冊(cè)).第一版.北京：高等教育出版社,2007.1～20