從一道習題看電磁感應中變加速直線運動的數據制約關系

黎國勝

(成都雙流中學 四川 成都 610200)

近年來，由于新課改的普遍推行，很多學生不選《物理·選修3-5》，就意味著力學最難的“動量”部分不再進入這部分學生的注意力中．相應的高考試卷難度就下降了很多，因此“電磁感應”部分的難度就有上升的可能．因為“電磁感應”涉及的知識點多、面廣，受力分析、運動與力的關系、牛頓定律、能量轉化、電路計算等都可能涉及．很多“電磁感應”試題都涉及到變加速運動，能很好地考查學生的綜合能力，這類試題倍受命題者的青睞．但是這類試題由于合外力在變，導致加速度在變，速度也在變，這個過程中各種能量參與轉化，命題者給出的數據很容易出現科學性錯誤．合外力、加速度、速度、位移等數據相互制約，不能隨意給出，否則容易出現科學性錯誤．本文以一道熱門試題為例試圖探討這些數據間的制約關系．

題目：光滑平行的金屬導軌MN和PQ，間距為L=1.0 m，與水平面之間的夾角α=30°，勻強磁場磁感應強度B=2.0 T垂直于導軌平面向上，MP間連接有R=2.0 Ω的電阻，其他電阻不計，質量m=2.0 kg的金屬桿ab垂直導軌放置，如圖1(a)所示．用恒力F沿導軌平面向上拉金屬桿ab，使金屬桿由靜止開始運動，其v-t圖像如圖1(b)所示．g=10 m/s2，導軌足夠長．求：

(1)金屬桿的最大速度的大??；

(2)恒力F的大??；

(3)金屬桿速度為2.0 m/s時的加速度大??；

(4)根據v-t圖像估算在前1 s內電阻上產生的熱量．

圖1

這是一道典型的“電磁感應”綜合題，涉及受力分析、力的平衡、電路計算、牛頓第二定律、能量轉化與功能關系、物理圖像，綜合性非常強．請看編者給出的參考解答.

參考解答:

(1)由圖1(b)知，桿運動的最大速度為

vm=4 m/s

(2)桿運動到最大速度時，所受合外力等于零，受力分析如圖2所示.

圖2

有

F=mgsinα+F安

又因

代入數據得

F=18 N

(3)由牛頓第二定律可得

F-F安-mgsinα=ma

又因

代入數據得

a=2.0 m/s2

(4)由圖1(b)可知1 s末金屬桿的速度

v1=2.6 m/s

前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數為43個，面積為43×0.2×0.2=1.72，即前1 s內金屬桿的位移

x=1.72 m

由功能關系得產生的熱量為

代入數據得

Q=7 J

說明：前1 s內圖線與t軸所包圍的小方格的個數在42～44個之間，位移在1.68 ～1.76 m之間，產生的熱量在6.68～7.32 J之間均正確．

此題的第4問非常巧妙，速度-時間圖像的面積代表位移，學生都知道．筆者在用此題進行考試時，所教兩個班級的學生有一人應用了此法，做完后他感覺此法很粗糙，因為數方格的個數太不準確．他又另辟蹊徑，用微元法做了一遍.

某時刻，桿的速度為v，根據受力分析和牛頓第二定律有

F安=IBL

F-F安-mgsinα=ma

聯立以上各式得

上式中

vΔt=Δx

兩邊累加得

在本題中恒力F，質量m，角度α，B，L均已知，那么桿的速度、時間、位移之間的相互約束關系為

v=4t-x

即桿在做變加速直線運動的過程中，位移、速度、時間三者之間必須滿足這個方程，三個量之間相互制約．

1 s時速度是2.6 m/s，那么位移就該等于1.4 m．本題給出的數據就明顯不滿足這個關系．

微元法的實質是微分和積分思想的應用，高中階段雖然沒有學習積分，但這種累加的思想學生容易理解和接受．在高中階段學習過程中，學生早在高一學習v-t圖像的面積時就已接觸到．

因此，筆者強烈建議命題人員在給出這類運動的數據時一定要利用微元法進行驗算．

本題的數據問題出在哪里呢？

根據上面的方程有

解出上面的微分方程有

v=4(1-e-t)

從理論上講，速度要達到最大值，時間必是無限長，借助于Excel軟件，讓時間由零開始，每次增加0.1 s，算出速度，可知，1 s時速度為2.528 48 m/s，本題圖中卻是2.6 m/s；當時間t=7 s時速度等于3.996 35 m/s，還不到4 m/s，而此題所給時間不到4 s就達到最大速度了，計算表明，實際上4 s時速度只有3.926 73 m/s．這個圖像應該怎樣畫呢？筆者借助于電子表格軟件繪出其圖像如下.

圖3 速度-時間圖像

利用積分，可知x=4t+4(e-t-1)，用幾何畫板也可以作出位移-時間圖像，如圖4所示．

圖4 位移-時間圖像