非期望產出的DEA效率評價

許平++孫玉華

摘 要 將非期望產出作為投入應用到傳統DEA模型上，解決了非期望產出生產活動的效率評價問題.結合生產可能集，將非期望產出直接反映到生產可能集中，建立了基于投入導向的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種DEA模型效率值的大小關系、相對有效性的等價性問題進行了證明，指出非徑向DEA模型更能準確的實現效率定量評價.

關鍵詞 數據包絡分析；非期望產出；相對效率

中圖分類號 F224.31 文獻標識碼 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

數據包絡分析（Data envelopment analysis，簡稱DEA）是用來評價一組多輸入多輸出決策單元（Decision Making Units，DMUs）之間的相對效率的數學規劃方法.在DEA輸入（輸出）導向模型中，輸入減少的百分比（輸出增加的百分比）一般是比較清楚的，為改善評價非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一個DEA模型—CCR模型，經過30多年的發展， DEA已經成為運籌學、管理科學、系統科學交叉研究的一個新的領域，并在這些領域得到廣泛地應用[3].

傳統的DEA模型，要求投入的越少、輸出的越多越好，但實際生產中除了獲得期望的輸出物，有時不可避免地有非期望產物的產出[4，5].例如在一個造紙廠中，造紙過程不可避免地產出的廢水、廢氣等稱之為非期望產出.在對決策單元進行效率評價時若忽略這些因素的存在，僅僅要求期望產出越多越好顯然是不合理的.這就需要重新建立具有非期望產出的DEA模型.國內外一些學者對非期望產出的效率評價進行了研究，目前處理非期望產出的方法有曲線測度法、方向距離函數法、線性轉換函數法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于環境效率評價的曲線測度法，該方法是一種非線性規劃方法，在求解上比較繁瑣.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距離函數法，通過設定固定的方向，決策單元可以在設定的方向上達到期望產出增加，非期望產出減少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出線性轉換函數法，通過轉換將非期望產出轉換為期望產出，滿足了傳統DEA模型求解決策單元效率的情形.但是，方向距離函數法和線性轉換法加入了決策者的主觀判斷，與DEA的客觀性不符.文獻[9]將非期望產出作為投入，在維持輸出不減少的前提下，使投入和非期望的產出越少越好，但是該模型的缺點是要求投入和非期望輸出的擴大或減小的倍數相同，在實際應用中具有一定的限制性.

本文在前人的基礎了做了改進，將非期望產出作為投入，在期望產出不減少的前提下，提出了基于投入的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種模型效率值的大小關系、有效性的等價性問題進行了證明.

2 模型的建立

3 結束語

本文研究了具有非期望輸出決策單元相對有效性的兩種DEA模型，模型（I）、（II）為徑向DEA模型，模型（III）、（IV）是非徑向DEA模型.文中給出了兩種DEA模型相對效率值大小關系和決策單元DEA有效性的等價性等問題的證明.由定理4知，非徑向DEA模型的相對效率值小于等于徑向DEA的相對效率值，因此，非徑向DEA模型更能較好地評價決策單元的有效性.此外，通過非徑向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的靈活性，為管理者提供更多的信息更有效的評價決策單元的行為.因此具有非期望產出的非徑向DEA模型具有更廣泛的應用前景.

參考文獻

[1] 魏權齡.數據包絡分析[M].北京：科學出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 張炳，畢軍，黃和平，等.基于DEA的企業生態效率評價：以杭州灣精細化工園區企業為例[J].系統工程理論與實踐，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，楊德禮.具有非期望輸出決策單元相對有效性評價的DEA模型[J].系統工程學報，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，張群，王飛.考慮環境因素的企業DEA有效性分析[J].控制與決策，2002，17 （1）：24-28.endprint

摘 要 將非期望產出作為投入應用到傳統DEA模型上，解決了非期望產出生產活動的效率評價問題.結合生產可能集，將非期望產出直接反映到生產可能集中，建立了基于投入導向的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種DEA模型效率值的大小關系、相對有效性的等價性問題進行了證明，指出非徑向DEA模型更能準確的實現效率定量評價.

關鍵詞 數據包絡分析；非期望產出；相對效率

中圖分類號 F224.31 文獻標識碼 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

數據包絡分析（Data envelopment analysis，簡稱DEA）是用來評價一組多輸入多輸出決策單元（Decision Making Units，DMUs）之間的相對效率的數學規劃方法.在DEA輸入（輸出）導向模型中，輸入減少的百分比（輸出增加的百分比）一般是比較清楚的，為改善評價非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一個DEA模型—CCR模型，經過30多年的發展， DEA已經成為運籌學、管理科學、系統科學交叉研究的一個新的領域，并在這些領域得到廣泛地應用[3].

傳統的DEA模型，要求投入的越少、輸出的越多越好，但實際生產中除了獲得期望的輸出物，有時不可避免地有非期望產物的產出[4，5].例如在一個造紙廠中，造紙過程不可避免地產出的廢水、廢氣等稱之為非期望產出.在對決策單元進行效率評價時若忽略這些因素的存在，僅僅要求期望產出越多越好顯然是不合理的.這就需要重新建立具有非期望產出的DEA模型.國內外一些學者對非期望產出的效率評價進行了研究，目前處理非期望產出的方法有曲線測度法、方向距離函數法、線性轉換函數法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于環境效率評價的曲線測度法，該方法是一種非線性規劃方法，在求解上比較繁瑣.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距離函數法，通過設定固定的方向，決策單元可以在設定的方向上達到期望產出增加，非期望產出減少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出線性轉換函數法，通過轉換將非期望產出轉換為期望產出，滿足了傳統DEA模型求解決策單元效率的情形.但是，方向距離函數法和線性轉換法加入了決策者的主觀判斷，與DEA的客觀性不符.文獻[9]將非期望產出作為投入，在維持輸出不減少的前提下，使投入和非期望的產出越少越好，但是該模型的缺點是要求投入和非期望輸出的擴大或減小的倍數相同，在實際應用中具有一定的限制性.

本文在前人的基礎了做了改進，將非期望產出作為投入，在期望產出不減少的前提下，提出了基于投入的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種模型效率值的大小關系、有效性的等價性問題進行了證明.

2 模型的建立

3 結束語

本文研究了具有非期望輸出決策單元相對有效性的兩種DEA模型，模型（I）、（II）為徑向DEA模型，模型（III）、（IV）是非徑向DEA模型.文中給出了兩種DEA模型相對效率值大小關系和決策單元DEA有效性的等價性等問題的證明.由定理4知，非徑向DEA模型的相對效率值小于等于徑向DEA的相對效率值，因此，非徑向DEA模型更能較好地評價決策單元的有效性.此外，通過非徑向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的靈活性，為管理者提供更多的信息更有效的評價決策單元的行為.因此具有非期望產出的非徑向DEA模型具有更廣泛的應用前景.

參考文獻

[1] 魏權齡.數據包絡分析[M].北京：科學出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 張炳，畢軍，黃和平，等.基于DEA的企業生態效率評價：以杭州灣精細化工園區企業為例[J].系統工程理論與實踐，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，楊德禮.具有非期望輸出決策單元相對有效性評價的DEA模型[J].系統工程學報，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，張群，王飛.考慮環境因素的企業DEA有效性分析[J].控制與決策，2002，17 （1）：24-28.endprint

摘 要 將非期望產出作為投入應用到傳統DEA模型上，解決了非期望產出生產活動的效率評價問題.結合生產可能集，將非期望產出直接反映到生產可能集中，建立了基于投入導向的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種DEA模型效率值的大小關系、相對有效性的等價性問題進行了證明，指出非徑向DEA模型更能準確的實現效率定量評價.

關鍵詞 數據包絡分析；非期望產出；相對效率

中圖分類號 F224.31 文獻標識碼 A

Efficiency Measure of Undesirable Outputs in DEA

XU Ping ，SUN Yuhua

（School of Mathematics and Physics， University of science and technology Beijing， Beijing 100083，China）

Abstract This paper regards the undesirable outputs as inputs so that the traditional DEA models can be used. Through it the undesirable output efficiency evaluation activities can be resolved.We established the radial and nonradial inputoriented DEA models based on the production possibility set in which the undesirable outputs were indirectly introduced.Then， we give the proofs for the efficiency value size and equivalence of the relative effeciency of two kinds of DEA models.Finally ， It can be concluded that nonradial DEA model is more accurate quantitative evaluation of efficiency than radial DEA model through the above proofs.

Key words data envelopment analysis（DEA）；undesirable outputs；relative efficiency

1 引 言

數據包絡分析（Data envelopment analysis，簡稱DEA）是用來評價一組多輸入多輸出決策單元（Decision Making Units，DMUs）之間的相對效率的數學規劃方法.在DEA輸入（輸出）導向模型中，輸入減少的百分比（輸出增加的百分比）一般是比較清楚的，為改善評價非有效DMU的效率提供了方向[1].1978年， Charnes等[2]引入第一個DEA模型—CCR模型，經過30多年的發展， DEA已經成為運籌學、管理科學、系統科學交叉研究的一個新的領域，并在這些領域得到廣泛地應用[3].

傳統的DEA模型，要求投入的越少、輸出的越多越好，但實際生產中除了獲得期望的輸出物，有時不可避免地有非期望產物的產出[4，5].例如在一個造紙廠中，造紙過程不可避免地產出的廢水、廢氣等稱之為非期望產出.在對決策單元進行效率評價時若忽略這些因素的存在，僅僅要求期望產出越多越好顯然是不合理的.這就需要重新建立具有非期望產出的DEA模型.國內外一些學者對非期望產出的效率評價進行了研究，目前處理非期望產出的方法有曲線測度法、方向距離函數法、線性轉換函數法、污染物投入法等.1989年，Fre等[6]提出用于環境效率評價的曲線測度法，該方法是一種非線性規劃方法，在求解上比較繁瑣.1997年， Chuang等[7]在DEA模型中引入了方向距離函數法，通過設定固定的方向，決策單元可以在設定的方向上達到期望產出增加，非期望產出減少的要求.Seiford和Zhu[8]于2002年提出線性轉換函數法，通過轉換將非期望產出轉換為期望產出，滿足了傳統DEA模型求解決策單元效率的情形.但是，方向距離函數法和線性轉換法加入了決策者的主觀判斷，與DEA的客觀性不符.文獻[9]將非期望產出作為投入，在維持輸出不減少的前提下，使投入和非期望的產出越少越好，但是該模型的缺點是要求投入和非期望輸出的擴大或減小的倍數相同，在實際應用中具有一定的限制性.

本文在前人的基礎了做了改進，將非期望產出作為投入，在期望產出不減少的前提下，提出了基于投入的徑向和非徑向兩種DEA模型.并對兩種模型效率值的大小關系、有效性的等價性問題進行了證明.

2 模型的建立

3 結束語

本文研究了具有非期望輸出決策單元相對有效性的兩種DEA模型，模型（I）、（II）為徑向DEA模型，模型（III）、（IV）是非徑向DEA模型.文中給出了兩種DEA模型相對效率值大小關系和決策單元DEA有效性的等價性等問題的證明.由定理4知，非徑向DEA模型的相對效率值小于等于徑向DEA的相對效率值，因此，非徑向DEA模型更能較好地評價決策單元的有效性.此外，通過非徑向模型（III）的不完全投影可以提高模型投影的的靈活性，為管理者提供更多的信息更有效的評價決策單元的行為.因此具有非期望產出的非徑向DEA模型具有更廣泛的應用前景.

參考文獻

[1] 魏權齡.數據包絡分析[M].北京：科學出版社，2004.

[2] A Charnes ，W W Cooper， E Rhodes.Measuring the efficiency of decision making units[J].European Journal of Operational Research，1978，2 （6）：429-444.

[3] W W Cooper ，L M Seiford， J Zhu. Handbook on Data Envelopment Analysis[M].Boston：Kluwer Academic Publishers，2004.

[4] 張炳，畢軍，黃和平，等.基于DEA的企業生態效率評價：以杭州灣精細化工園區企業為例[J].系統工程理論與實踐，2008，20 （4）：159-166.

[5] 郭京福，楊德禮.具有非期望輸出決策單元相對有效性評價的DEA模型[J].系統工程學報，1999，14 （1）：91-95.

[6] Rolf Fare， Shamna Grosskopf， C A K Lovell， et al.Multilateral productivity comparisons when some outputs are undesirable： a nonparametric approach[J]. The Review of Economics and Statistics，1989，71 （1）： 90-98.

[7] Y H CHUNG， R FRE， S GORSSKOPF. Productivity and undesirable outputs： A directional distance function approach.[J]. Journal of environmental management，1997，51 （3）：229-240.

[8] L M Seiford， J Zhu. Modeling Undesirable Factors in Efficiency Evaluation[J]. European Journal of Operational Research，2002，142 （1）： 16-20.

[9] 王波，張群，王飛.考慮環境因素的企業DEA有效性分析[J].控制與決策，2002，17 （1）：24-28.endprint