正定矩陣的性質(zhì)探討

錢瓏+袁江

摘 要 本文主要是借用正定矩陣的相關(guān)性質(zhì)，從理論的角度對(duì)兩個(gè)同階正定矩陣進(jìn)行了性質(zhì)上的研究和比較，列出了一些基本的性質(zhì)，給出了簡(jiǎn)單的證明，對(duì)不成立的性質(zhì)則舉出反例給予說明。這些性質(zhì)定理和推論對(duì)研究實(shí)對(duì)稱正定矩陣是有一定幫助的。

關(guān)鍵詞 正定矩陣 性質(zhì) 探討

中圖分類號(hào)：O241.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Explore the Nature of Positive Definite Matrix

QIAN Long， YUAN Jiang

（College of Law & Business of Hubei University of Economics， Wuhan， Hubei 430205）

Abstract This article mainly borrows the related nature of positive definite matrix， from a theoretical point of two of the same order definite matrix were studied and compared on the nature， lists some basic properties， gives a simple proof of the nature is not established counter example to give instructions. These theorems and corollaries real symmetric positive definite matrix study is certainly helpful.

Key words positive definite matrix； nature； explore

1 正定矩陣的性質(zhì)

性質(zhì)1 是正定矩陣，則存在實(shí)非奇異方陣使 = 。

性質(zhì)2 正定矩陣只能與正定矩陣合同。

性質(zhì)3 任意兩個(gè)同階實(shí)對(duì)稱正定矩陣的和是正定矩陣，更一般地，正定矩陣的正線性組合是正定矩陣。

由上述性質(zhì)定理可知，如果方陣和都是正定的，則，+也是正定的，但一般來說卻不一定是正定矩陣。例如：取矩陣，，均為正定矩陣，但不是對(duì)稱矩陣，因此不是正定矩陣。以下性質(zhì)說明了在什么情況下為正定矩陣。

性質(zhì)4 設(shè)，均為階正定矩陣，若乘積 = ，則為正定對(duì)稱矩陣。

證明：，均為正定對(duì)稱矩陣，由定理3.1知，存在非奇異矩陣與，使得： = ， = ，從而有 = ，且它與 = 相似，從而兩者有相同的特征根。但 = ，由性質(zhì)2知為正定矩陣，且其特征值都是正實(shí)數(shù)，而 = = = 。

因此為對(duì)稱矩陣。故的特征根都是正實(shí)數(shù)，再由定理1知是正定對(duì)稱矩陣。

通過這個(gè)性質(zhì)的證明過程可以發(fā)現(xiàn)，一個(gè)矩陣的特征值都大于零并不能判定是正定的，還需要證明是實(shí)對(duì)稱矩陣。這是因?yàn)槎涡?的矩陣都是實(shí)對(duì)稱矩陣，討論二次型 的正定性或是的正定性時(shí)，其前提是實(shí)對(duì)稱矩陣。

性質(zhì)5 正定矩陣的主對(duì)角線上的元素都大于零。

推論1 實(shí)對(duì)角矩陣（，…，）是正定矩陣的充分而且必要條件>0（ =1，2，…，）。

性質(zhì)6 若是正定對(duì)稱矩陣，則存在惟一的正定矩陣使得 = 。

證明 由是正定對(duì)稱矩陣，則存在階正交矩陣，使得 = = （，…，），其中，…，為的特征值。因是正定對(duì)稱矩陣，故所有>0，令 = （，…，），則為正定對(duì)稱矩陣且有 = 。

設(shè)也為正定對(duì)稱矩陣且有 = ，那么把的特征值，…，適當(dāng)編號(hào)可設(shè) = ，即 = ，所以有正交矩陣使得 = （，…，）

由于 = ，故（，…，） = （，…，），即（，…，）= （，…，）。令 = = ，上式就是說 = ， 1≤， ≤，那么當(dāng)≠時(shí)必有 = 0，所以得出 = ， 1≤， ≤，即（，…，） = （，…，）。于是（，…，） = （，…，），也就是 = 。

由上述證明過程可知對(duì)實(shí)對(duì)稱正定矩陣分解后有 = 且為正定對(duì)稱矩陣。

2 矩陣正定的充分必要條件

定理1 設(shè)是階實(shí)對(duì)稱矩陣，則下面各條等價(jià)：（I） 為正定矩陣；（Ⅱ）的一切順序主子式都大于0；（Ⅲ）的一切主子式都大于0；（IV）合同于階單位矩陣E；（V）半正定，且∣∣≠0；（Ⅵ） 對(duì)任意€資稻卣螅綣鬧任加形ň卣蟆？

證明 （I）€H！（Ⅱ）的前行前列的子矩陣簡(jiǎn)記為（=1，2，…，），顯然是實(shí)對(duì)稱矩陣，令 = （，…，，0，…0）

其中，…，不全為零，則

所以構(gòu)成的元二次型也是正定矩陣。因此∣∣>0，即的一切順序主子式都大于0。

（Ⅱ）€H！（Ⅲ） （反證法）設(shè)=（）是正定矩陣，若存在階主子矩陣

則由于是實(shí)對(duì)稱矩陣，則存在k階正交矩陣U使得 = （，…，），其中，…，為的特征值。由于∣∣<0，且∣∣= …。

則的特征值，…，中至少有一個(gè)小于0。不失一般性，設(shè)<0，令=（1，0，…0）。則≠0且 = <0。

再令 = （，…，），其中，則≠0，且 = = <0，這與為正定矩陣的假設(shè)相矛盾。

（IV）€H！（V）若合同于，則存在可逆矩陣，使得 = ，任取≠0，令 = ，則≠0。于是 = = = + … + >0，故為正定矩陣。則顯然一定半正定，且∣∣≠0。

（V）€H！（Ⅸ） 設(shè)的特征值為，…，，由半正定可知（=1，2，…，），又∣∣= …≠0。

因此是正定矩陣。任取≠0，則≠0（因?yàn)槿?= 0，則 = 0，而為階可逆矩陣，所以 = 0，與假設(shè)矛盾）。由于為正定矩陣，因此 = >0。

由該證明過程可知上述定理各條均等價(jià)。

參考文獻(xiàn)

[1] 胡永建，陳公寧.有關(guān)實(shí)正定矩陣的一些性質(zhì).北京師范大學(xué)學(xué)報(bào)，1996.27：91-102.

[2] 李炯生.實(shí)方陣的正定性.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，1985.3：67-73.

[3] 殷慶祥.關(guān)于實(shí)方陣的正定性.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2004.31（2）：245-147.endprint