我的教學(xué)相長(zhǎng)故事

庹書(shū)煒

《禮記·學(xué)記》：“是故學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強(qiáng)也。故曰教學(xué)相長(zhǎng)也。” 在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，深深的體會(huì)到教學(xué)相長(zhǎng)的含義與魅力。下面就通過(guò)親身的經(jīng)歷來(lái)談點(diǎn)體會(huì)。

求軌跡問(wèn)題，我出示了第一個(gè)例子：

例1，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（1，0）的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程。

這個(gè)題目有明確的幾何等量關(guān)系，只要代入坐標(biāo)運(yùn)算就可以得到方程y=8（x+1），這是以點(diǎn)（-1，0）為頂點(diǎn)，2P=8，開(kāi)口向右的拋物線。這種根據(jù)幾何等式列出代數(shù)方程的方法我們不妨稱(chēng)之為直接法。這個(gè)題目有沒(méi)有別的方法呢，顯然我們可以看出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，接下來(lái)，我從確定頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向、準(zhǔn)線、焦準(zhǔn)距p等方面進(jìn)行了分析，并指出了它們之間的關(guān)系。并指出如果我們根據(jù)條件可以確定軌跡類(lèi)型，再去求相關(guān)參數(shù)的方法，我們稱(chēng)之為定義法。

我們舉了第二個(gè)例子。

例2，△ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且AC、AB、BC成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是 。

在提問(wèn)時(shí)，同學(xué)們異口同聲地說(shuō)軌跡是橢圓，都在下面忙著寫(xiě)算，我巡視了一下，發(fā)現(xiàn)幾乎所有同學(xué)都是用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行運(yùn)算，而不是應(yīng)用定義法。

當(dāng)學(xué)習(xí)習(xí)慣了一種方法時(shí)，不會(huì)主動(dòng)尋求簡(jiǎn)捷的方法，更主要的原因可能是因?yàn)橛鞋F(xiàn)成的等量關(guān)系：AC+BC=2AB，即AC+BC=8，給出的等量關(guān)系，只要用坐標(biāo)代入就可以算出，這一點(diǎn)對(duì)成績(jī)較好和較差的學(xué)生有相同的表現(xiàn)。

分析其中的原因，表現(xiàn)在思維上的抽象層次不同，用定義求解，更多的要借助于心智技能，而坐標(biāo)代入求解，則是操作技能為主，從題目所承載的知識(shí)類(lèi)型來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)代入計(jì)算是程序性知識(shí)，而定義法則是陳述性知識(shí)。

陳述性知識(shí)要回答“是什么”，它通過(guò)網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)性來(lái)表征觀念（命題、表象、線性次序、圖式）間的聯(lián)系，反映事物的狀況及其聯(lián)系陳述性知識(shí)的獲得主要通過(guò)激活的傳播來(lái)完成，陳述性知識(shí)的獲得速度較快，圖式經(jīng)歷的時(shí)間稍長(zhǎng)，命題往往在幾秒鐘內(nèi)就被掌握，檢驗(yàn)陳述性知識(shí)是通過(guò)看其能否被陳述、描述，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都要經(jīng)過(guò)陳述性階段才能進(jìn)入程序性階段。程序性知識(shí)的獲得過(guò)程就是陳述性知識(shí)向技能的轉(zhuǎn)化過(guò)程。練習(xí)與反饋是陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)的重要條件。程序性知識(shí)的運(yùn)用有助于陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一方面，由于定義法求解，需要對(duì)相關(guān)概念、知識(shí)間的聯(lián)系要綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，另一方面，定義法求解，通過(guò)練習(xí)后，能使學(xué)生在今后有意識(shí)地運(yùn)用定義求解，掌握定義求解的一般程序，提升學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，加強(qiáng)綜合分析能力。

我接下來(lái)又給出了下面一道題：

例3，與圓（x-1）2+y2=1外切，且與y軸相切的動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是 。

我畫(huà)出了示意圖，給出了答案：y2=4x。正準(zhǔn)備講下面一題，一個(gè)女生提出了疑問(wèn)：如果動(dòng)圓畫(huà)在y軸的左邊呢？下面馬上有同學(xué)附和，應(yīng)該還有x軸，我立即意識(shí)到我犯了一個(gè)錯(cuò)誤，心里咯噔了一下，我重新畫(huà)圖，匆忙間，畫(huà)出的動(dòng)圓與定圓內(nèi)切了，學(xué)生馬上說(shuō)畫(huà)錯(cuò)了，我連忙擦去，又重新在左邊畫(huà)出動(dòng)圓，顯然還應(yīng)該有x軸的負(fù)半軸，答案應(yīng)該是y2=4x（x≠0）或y=0（x<0）。我說(shuō)，如果將與定圓“外切”改為“相切”呢？那么軌跡就應(yīng)該還有x軸的正半軸。

下面的故事發(fā)生在晚自習(xí)上。

題目：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（-1，0）的距離相等，

（1） 求P（x，y）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

（2） 記定直線l：x=-3與x軸的交點(diǎn)為B，基問(wèn)題（1）中的軌跡上兩點(diǎn)A、C滿足條件：|MA|，|MB|，|MC|成等差數(shù)列，求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（3） 設(shè)問(wèn)題（2）中弦AC的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。

前兩個(gè)問(wèn)題的解決沒(méi)有問(wèn)題，比較順利，第3個(gè)問(wèn)題學(xué)生運(yùn)用：聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部等知識(shí)也可以得出結(jié)果。這個(gè)問(wèn)題一般性解決采用三字訣“中、垂、交”，以前也分析過(guò)，現(xiàn)在學(xué)生能順利解決，說(shuō)明學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的掌握已不存在什么問(wèn)題，我很高興和滿意。

但并不是每個(gè)同學(xué)都能熟練掌握，譬如黃俊情同學(xué)，他在這個(gè)題上已經(jīng)花費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間了，還是沒(méi)有弄出來(lái)，過(guò)來(lái)問(wèn)我，我沒(méi)好氣地說(shuō)：“根據(jù)條件表示將k用m表示，利用中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的條件就可以求出m的范 圍了?！薄安皇前。蠋煟憧础彼呎f(shuō)，邊在亂七八糟的圖形上繼續(xù)重復(fù)畫(huà)著線條，我說(shuō)估計(jì)不行吧，他回到座位上，他和石磊又叫我過(guò)去，又解釋了一會(huì)，還是說(shuō)不出具體的理由，我有點(diǎn)不滿地說(shuō)：“別在浪費(fèi)時(shí)間了，還是用原來(lái)的兩種方法解吧?！?/p>

回到辦公室，兩人又跟過(guò)來(lái)了，還有蔣佳駿。蔣佳駿向來(lái)數(shù)學(xué)很好，腦子也靈，反應(yīng)快，他說(shuō)：“老師，這種做法對(duì)的?！庇谑撬蛭医忉屍饋?lái)。過(guò)中點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線的法線，兩條法線的縱截距分別為t1，t2，則t1

這個(gè)問(wèn)題對(duì)一般的橢圓適用嗎？這是我們他們提出的一個(gè)疑問(wèn)，幾個(gè)人不假思索地回答：“肯定適用?！?/p>

我用幾何畫(huà)板通過(guò)演示，發(fā)現(xiàn)他們的回答是正確的。但這種解法的依據(jù)是什么呢？如何說(shuō)明以（x0，y0）為中點(diǎn)，當(dāng)x0不變，y0變化時(shí)，m值一定介于t1與t2之間呢？

我用幾何畫(huà)板作圖，卻很難作出以給定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦來(lái)，所以無(wú)法用幾何畫(huà)板實(shí)現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)演示。

我想將問(wèn)題進(jìn)行先進(jìn)行一般化，設(shè)拋物線y2=2px上兩點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，如果弦AB的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。為計(jì)算方便，取p=2， x0=1進(jìn)行驗(yàn)證，求得m的取值范圍（m1，m2）。

接下來(lái)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，如果弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，證明AB的垂直平分線的縱截距的范圍是（m1，m2），且正好是過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距。

接下來(lái)的問(wèn)題是，如何不通過(guò)計(jì)算而說(shuō)明AB的垂直平分線的縱截距介于過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距之間呢？

這個(gè)問(wèn)題如果解決了，這就為今后解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一種捷徑。

教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)碰到上面的問(wèn)題：第一， 教師解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何應(yīng)對(duì)呢？如果學(xué)生指出來(lái)了，如何面對(duì)自己事先并未察覺(jué)的錯(cuò)誤，并充分運(yùn)用錯(cuò)誤資源呢？

第二， 學(xué)生提供了一種獨(dú)到的問(wèn)題解決方案，作為教師并沒(méi)有意識(shí)到學(xué)生思維的創(chuàng)新，難免自以為是，否定學(xué)生，如何避免因自己的無(wú)知而影響學(xué)生創(chuàng)新思維的萌發(fā)呢？

第三， 如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)囊暯欠此紟熒p方各自的價(jià)值取向呢？譬如，從習(xí)慣的角度省思學(xué)生的思維啟動(dòng)的動(dòng)力，或教師應(yīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題發(fā)生的一般解決方案，是否合適？

《禮記·學(xué)記》：“是故學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強(qiáng)也。故曰教學(xué)相長(zhǎng)也。” 在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，深深的體會(huì)到教學(xué)相長(zhǎng)的含義與魅力。下面就通過(guò)親身的經(jīng)歷來(lái)談點(diǎn)體會(huì)。

求軌跡問(wèn)題，我出示了第一個(gè)例子：

例1，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（1，0）的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程。

這個(gè)題目有明確的幾何等量關(guān)系，只要代入坐標(biāo)運(yùn)算就可以得到方程y=8（x+1），這是以點(diǎn)（-1，0）為頂點(diǎn)，2P=8，開(kāi)口向右的拋物線。這種根據(jù)幾何等式列出代數(shù)方程的方法我們不妨稱(chēng)之為直接法。這個(gè)題目有沒(méi)有別的方法呢，顯然我們可以看出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，接下來(lái)，我從確定頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向、準(zhǔn)線、焦準(zhǔn)距p等方面進(jìn)行了分析，并指出了它們之間的關(guān)系。并指出如果我們根據(jù)條件可以確定軌跡類(lèi)型，再去求相關(guān)參數(shù)的方法，我們稱(chēng)之為定義法。

我們舉了第二個(gè)例子。

例2，△ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且AC、AB、BC成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是 。

在提問(wèn)時(shí)，同學(xué)們異口同聲地說(shuō)軌跡是橢圓，都在下面忙著寫(xiě)算，我巡視了一下，發(fā)現(xiàn)幾乎所有同學(xué)都是用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行運(yùn)算，而不是應(yīng)用定義法。

當(dāng)學(xué)習(xí)習(xí)慣了一種方法時(shí)，不會(huì)主動(dòng)尋求簡(jiǎn)捷的方法，更主要的原因可能是因?yàn)橛鞋F(xiàn)成的等量關(guān)系：AC+BC=2AB，即AC+BC=8，給出的等量關(guān)系，只要用坐標(biāo)代入就可以算出，這一點(diǎn)對(duì)成績(jī)較好和較差的學(xué)生有相同的表現(xiàn)。

分析其中的原因，表現(xiàn)在思維上的抽象層次不同，用定義求解，更多的要借助于心智技能，而坐標(biāo)代入求解，則是操作技能為主，從題目所承載的知識(shí)類(lèi)型來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)代入計(jì)算是程序性知識(shí)，而定義法則是陳述性知識(shí)。

陳述性知識(shí)要回答“是什么”，它通過(guò)網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)性來(lái)表征觀念（命題、表象、線性次序、圖式）間的聯(lián)系，反映事物的狀況及其聯(lián)系陳述性知識(shí)的獲得主要通過(guò)激活的傳播來(lái)完成，陳述性知識(shí)的獲得速度較快，圖式經(jīng)歷的時(shí)間稍長(zhǎng)，命題往往在幾秒鐘內(nèi)就被掌握，檢驗(yàn)陳述性知識(shí)是通過(guò)看其能否被陳述、描述，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都要經(jīng)過(guò)陳述性階段才能進(jìn)入程序性階段。程序性知識(shí)的獲得過(guò)程就是陳述性知識(shí)向技能的轉(zhuǎn)化過(guò)程。練習(xí)與反饋是陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)的重要條件。程序性知識(shí)的運(yùn)用有助于陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一方面，由于定義法求解，需要對(duì)相關(guān)概念、知識(shí)間的聯(lián)系要綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，另一方面，定義法求解，通過(guò)練習(xí)后，能使學(xué)生在今后有意識(shí)地運(yùn)用定義求解，掌握定義求解的一般程序，提升學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，加強(qiáng)綜合分析能力。

我接下來(lái)又給出了下面一道題：

例3，與圓（x-1）2+y2=1外切，且與y軸相切的動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是 。

我畫(huà)出了示意圖，給出了答案：y2=4x。正準(zhǔn)備講下面一題，一個(gè)女生提出了疑問(wèn)：如果動(dòng)圓畫(huà)在y軸的左邊呢？下面馬上有同學(xué)附和，應(yīng)該還有x軸，我立即意識(shí)到我犯了一個(gè)錯(cuò)誤，心里咯噔了一下，我重新畫(huà)圖，匆忙間，畫(huà)出的動(dòng)圓與定圓內(nèi)切了，學(xué)生馬上說(shuō)畫(huà)錯(cuò)了，我連忙擦去，又重新在左邊畫(huà)出動(dòng)圓，顯然還應(yīng)該有x軸的負(fù)半軸，答案應(yīng)該是y2=4x（x≠0）或y=0（x<0）。我說(shuō)，如果將與定圓“外切”改為“相切”呢？那么軌跡就應(yīng)該還有x軸的正半軸。

下面的故事發(fā)生在晚自習(xí)上。

題目：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（-1，0）的距離相等，

（1） 求P（x，y）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

（2） 記定直線l：x=-3與x軸的交點(diǎn)為B，基問(wèn)題（1）中的軌跡上兩點(diǎn)A、C滿足條件：|MA|，|MB|，|MC|成等差數(shù)列，求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（3） 設(shè)問(wèn)題（2）中弦AC的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。

前兩個(gè)問(wèn)題的解決沒(méi)有問(wèn)題，比較順利，第3個(gè)問(wèn)題學(xué)生運(yùn)用：聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部等知識(shí)也可以得出結(jié)果。這個(gè)問(wèn)題一般性解決采用三字訣“中、垂、交”，以前也分析過(guò)，現(xiàn)在學(xué)生能順利解決，說(shuō)明學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的掌握已不存在什么問(wèn)題，我很高興和滿意。

但并不是每個(gè)同學(xué)都能熟練掌握，譬如黃俊情同學(xué)，他在這個(gè)題上已經(jīng)花費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間了，還是沒(méi)有弄出來(lái)，過(guò)來(lái)問(wèn)我，我沒(méi)好氣地說(shuō)：“根據(jù)條件表示將k用m表示，利用中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的條件就可以求出m的范 圍了。”“不是啊，老師，你看……”他邊說(shuō)，邊在亂七八糟的圖形上繼續(xù)重復(fù)畫(huà)著線條，我說(shuō)估計(jì)不行吧，他回到座位上，他和石磊又叫我過(guò)去，又解釋了一會(huì)，還是說(shuō)不出具體的理由，我有點(diǎn)不滿地說(shuō)：“別在浪費(fèi)時(shí)間了，還是用原來(lái)的兩種方法解吧。”

回到辦公室，兩人又跟過(guò)來(lái)了，還有蔣佳駿。蔣佳駿向來(lái)數(shù)學(xué)很好，腦子也靈，反應(yīng)快，他說(shuō)：“老師，這種做法對(duì)的?！庇谑撬蛭医忉屍饋?lái)。過(guò)中點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線的法線，兩條法線的縱截距分別為t1，t2，則t1

這個(gè)問(wèn)題對(duì)一般的橢圓適用嗎？這是我們他們提出的一個(gè)疑問(wèn)，幾個(gè)人不假思索地回答：“肯定適用?！?/p>

我用幾何畫(huà)板通過(guò)演示，發(fā)現(xiàn)他們的回答是正確的。但這種解法的依據(jù)是什么呢？如何說(shuō)明以（x0，y0）為中點(diǎn)，當(dāng)x0不變，y0變化時(shí)，m值一定介于t1與t2之間呢？

我用幾何畫(huà)板作圖，卻很難作出以給定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦來(lái)，所以無(wú)法用幾何畫(huà)板實(shí)現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)演示。

我想將問(wèn)題進(jìn)行先進(jìn)行一般化，設(shè)拋物線y2=2px上兩點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，如果弦AB的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。為計(jì)算方便，取p=2， x0=1進(jìn)行驗(yàn)證，求得m的取值范圍（m1，m2）。

接下來(lái)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，如果弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，證明AB的垂直平分線的縱截距的范圍是（m1，m2），且正好是過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距。

接下來(lái)的問(wèn)題是，如何不通過(guò)計(jì)算而說(shuō)明AB的垂直平分線的縱截距介于過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距之間呢？

這個(gè)問(wèn)題如果解決了，這就為今后解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一種捷徑。

教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)碰到上面的問(wèn)題：第一， 教師解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何應(yīng)對(duì)呢？如果學(xué)生指出來(lái)了，如何面對(duì)自己事先并未察覺(jué)的錯(cuò)誤，并充分運(yùn)用錯(cuò)誤資源呢？

第二， 學(xué)生提供了一種獨(dú)到的問(wèn)題解決方案，作為教師并沒(méi)有意識(shí)到學(xué)生思維的創(chuàng)新，難免自以為是，否定學(xué)生，如何避免因自己的無(wú)知而影響學(xué)生創(chuàng)新思維的萌發(fā)呢？

第三， 如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)囊暯欠此紟熒p方各自的價(jià)值取向呢？譬如，從習(xí)慣的角度省思學(xué)生的思維啟動(dòng)的動(dòng)力，或教師應(yīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題發(fā)生的一般解決方案，是否合適？

《禮記·學(xué)記》：“是故學(xué)然后知不足，教然后知困。知不足然后能自反也，知困然后能自強(qiáng)也。故曰教學(xué)相長(zhǎng)也。” 在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)與學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探究，深深的體會(huì)到教學(xué)相長(zhǎng)的含義與魅力。下面就通過(guò)親身的經(jīng)歷來(lái)談點(diǎn)體會(huì)。

求軌跡問(wèn)題，我出示了第一個(gè)例子：

例1，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（1，0）的距離相等，求動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡方程。

這個(gè)題目有明確的幾何等量關(guān)系，只要代入坐標(biāo)運(yùn)算就可以得到方程y=8（x+1），這是以點(diǎn)（-1，0）為頂點(diǎn)，2P=8，開(kāi)口向右的拋物線。這種根據(jù)幾何等式列出代數(shù)方程的方法我們不妨稱(chēng)之為直接法。這個(gè)題目有沒(méi)有別的方法呢，顯然我們可以看出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，接下來(lái)，我從確定頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸、開(kāi)口方向、準(zhǔn)線、焦準(zhǔn)距p等方面進(jìn)行了分析，并指出了它們之間的關(guān)系。并指出如果我們根據(jù)條件可以確定軌跡類(lèi)型，再去求相關(guān)參數(shù)的方法，我們稱(chēng)之為定義法。

我們舉了第二個(gè)例子。

例2，△ABC中，已知A（-2，0），B（2，0），且AC、AB、BC成等差數(shù)列，則點(diǎn)C的軌跡方程是 。

在提問(wèn)時(shí)，同學(xué)們異口同聲地說(shuō)軌跡是橢圓，都在下面忙著寫(xiě)算，我巡視了一下，發(fā)現(xiàn)幾乎所有同學(xué)都是用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行運(yùn)算，而不是應(yīng)用定義法。

當(dāng)學(xué)習(xí)習(xí)慣了一種方法時(shí)，不會(huì)主動(dòng)尋求簡(jiǎn)捷的方法，更主要的原因可能是因?yàn)橛鞋F(xiàn)成的等量關(guān)系：AC+BC=2AB，即AC+BC=8，給出的等量關(guān)系，只要用坐標(biāo)代入就可以算出，這一點(diǎn)對(duì)成績(jī)較好和較差的學(xué)生有相同的表現(xiàn)。

分析其中的原因，表現(xiàn)在思維上的抽象層次不同，用定義求解，更多的要借助于心智技能，而坐標(biāo)代入求解，則是操作技能為主，從題目所承載的知識(shí)類(lèi)型來(lái)說(shuō)，坐標(biāo)代入計(jì)算是程序性知識(shí)，而定義法則是陳述性知識(shí)。

陳述性知識(shí)要回答“是什么”，它通過(guò)網(wǎng)絡(luò)化和結(jié)構(gòu)性來(lái)表征觀念（命題、表象、線性次序、圖式）間的聯(lián)系，反映事物的狀況及其聯(lián)系陳述性知識(shí)的獲得主要通過(guò)激活的傳播來(lái)完成，陳述性知識(shí)的獲得速度較快，圖式經(jīng)歷的時(shí)間稍長(zhǎng)，命題往往在幾秒鐘內(nèi)就被掌握，檢驗(yàn)陳述性知識(shí)是通過(guò)看其能否被陳述、描述，任何知識(shí)的學(xué)習(xí)都要經(jīng)過(guò)陳述性階段才能進(jìn)入程序性階段。程序性知識(shí)的獲得過(guò)程就是陳述性知識(shí)向技能的轉(zhuǎn)化過(guò)程。練習(xí)與反饋是陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)的重要條件。程序性知識(shí)的運(yùn)用有助于陳述性知識(shí)的學(xué)習(xí)。

一方面，由于定義法求解，需要對(duì)相關(guān)概念、知識(shí)間的聯(lián)系要綜合運(yùn)用，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，另一方面，定義法求解，通過(guò)練習(xí)后，能使學(xué)生在今后有意識(shí)地運(yùn)用定義求解，掌握定義求解的一般程序，提升學(xué)生知識(shí)應(yīng)用能力，加強(qiáng)綜合分析能力。

我接下來(lái)又給出了下面一道題：

例3，與圓（x-1）2+y2=1外切，且與y軸相切的動(dòng)圓的圓心P的軌跡方程是 。

我畫(huà)出了示意圖，給出了答案：y2=4x。正準(zhǔn)備講下面一題，一個(gè)女生提出了疑問(wèn)：如果動(dòng)圓畫(huà)在y軸的左邊呢？下面馬上有同學(xué)附和，應(yīng)該還有x軸，我立即意識(shí)到我犯了一個(gè)錯(cuò)誤，心里咯噔了一下，我重新畫(huà)圖，匆忙間，畫(huà)出的動(dòng)圓與定圓內(nèi)切了，學(xué)生馬上說(shuō)畫(huà)錯(cuò)了，我連忙擦去，又重新在左邊畫(huà)出動(dòng)圓，顯然還應(yīng)該有x軸的負(fù)半軸，答案應(yīng)該是y2=4x（x≠0）或y=0（x<0）。我說(shuō)，如果將與定圓“外切”改為“相切”呢？那么軌跡就應(yīng)該還有x軸的正半軸。

下面的故事發(fā)生在晚自習(xí)上。

題目：已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定直線l：x=-3與定點(diǎn)M（-1，0）的距離相等，

（1） 求P（x，y）動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

（2） 記定直線l：x=-3與x軸的交點(diǎn)為B，基問(wèn)題（1）中的軌跡上兩點(diǎn)A、C滿足條件：|MA|，|MB|，|MC|成等差數(shù)列，求弦AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

（3） 設(shè)問(wèn)題（2）中弦AC的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。

前兩個(gè)問(wèn)題的解決沒(méi)有問(wèn)題，比較順利，第3個(gè)問(wèn)題學(xué)生運(yùn)用：聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部等知識(shí)也可以得出結(jié)果。這個(gè)問(wèn)題一般性解決采用三字訣“中、垂、交”，以前也分析過(guò)，現(xiàn)在學(xué)生能順利解決，說(shuō)明學(xué)生對(duì)這部分知識(shí)的掌握已不存在什么問(wèn)題，我很高興和滿意。

但并不是每個(gè)同學(xué)都能熟練掌握，譬如黃俊情同學(xué)，他在這個(gè)題上已經(jīng)花費(fèi)了很長(zhǎng)時(shí)間了，還是沒(méi)有弄出來(lái)，過(guò)來(lái)問(wèn)我，我沒(méi)好氣地說(shuō)：“根據(jù)條件表示將k用m表示，利用中點(diǎn)在拋物線內(nèi)部的條件就可以求出m的范 圍了?！薄安皇前?，老師，你看……”他邊說(shuō)，邊在亂七八糟的圖形上繼續(xù)重復(fù)畫(huà)著線條，我說(shuō)估計(jì)不行吧，他回到座位上，他和石磊又叫我過(guò)去，又解釋了一會(huì)，還是說(shuō)不出具體的理由，我有點(diǎn)不滿地說(shuō)：“別在浪費(fèi)時(shí)間了，還是用原來(lái)的兩種方法解吧?！?/p>

回到辦公室，兩人又跟過(guò)來(lái)了，還有蔣佳駿。蔣佳駿向來(lái)數(shù)學(xué)很好，腦子也靈，反應(yīng)快，他說(shuō)：“老師，這種做法對(duì)的。”于是他向我解釋起來(lái)。過(guò)中點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于D、E兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線的法線，兩條法線的縱截距分別為t1，t2，則t1

這個(gè)問(wèn)題對(duì)一般的橢圓適用嗎？這是我們他們提出的一個(gè)疑問(wèn)，幾個(gè)人不假思索地回答：“肯定適用?！?/p>

我用幾何畫(huà)板通過(guò)演示，發(fā)現(xiàn)他們的回答是正確的。但這種解法的依據(jù)是什么呢？如何說(shuō)明以（x0，y0）為中點(diǎn)，當(dāng)x0不變，y0變化時(shí)，m值一定介于t1與t2之間呢？

我用幾何畫(huà)板作圖，卻很難作出以給定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦來(lái)，所以無(wú)法用幾何畫(huà)板實(shí)現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)態(tài)演示。

我想將問(wèn)題進(jìn)行先進(jìn)行一般化，設(shè)拋物線y2=2px上兩點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2），其中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，如果弦AB的垂直平分線方程為y=kx+m，求m的取值范圍。為計(jì)算方便，取p=2， x0=1進(jìn)行驗(yàn)證，求得m的取值范圍（m1，m2）。

接下來(lái)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，如果弦AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=x0，證明AB的垂直平分線的縱截距的范圍是（m1，m2），且正好是過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距。

接下來(lái)的問(wèn)題是，如何不通過(guò)計(jì)算而說(shuō)明AB的垂直平分線的縱截距介于過(guò)A、B的拋物線的法線的縱截距之間呢？

這個(gè)問(wèn)題如果解決了，這就為今后解決此類(lèi)問(wèn)題提供了一種捷徑。

教學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)碰到上面的問(wèn)題：第一， 教師解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤。如何應(yīng)對(duì)呢？如果學(xué)生指出來(lái)了，如何面對(duì)自己事先并未察覺(jué)的錯(cuò)誤，并充分運(yùn)用錯(cuò)誤資源呢？

第二， 學(xué)生提供了一種獨(dú)到的問(wèn)題解決方案，作為教師并沒(méi)有意識(shí)到學(xué)生思維的創(chuàng)新，難免自以為是，否定學(xué)生，如何避免因自己的無(wú)知而影響學(xué)生創(chuàng)新思維的萌發(fā)呢？

第三， 如何選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)囊暯欠此紟熒p方各自的價(jià)值取向呢？譬如，從習(xí)慣的角度省思學(xué)生的思維啟動(dòng)的動(dòng)力，或教師應(yīng)對(duì)此類(lèi)問(wèn)題發(fā)生的一般解決方案，是否合適？