一道競賽題引起的思考和啟發

童存項

摘 要：通過一系列思想對一競賽題的分析與求解，快捷地得到題解；并通過對該題的深入分析給出了一系列定理和結論；最后，利用使用的一系列思想給出了另一競賽題的求解。通過對這些例題的分析與求解，能帶來一定的提示，也給教與學工作帶來一定的啟發。

關鍵詞：例題；正整數；偶數

一、例題的引入

例題：有兩個二位數，它們的差是56，它們的平方數的末兩位數字相同，求此兩位數。

分析：根據原題的本意，我們將已知條件分割成4條：（1）它們之差的個位數是6；（2）它們之差的十位數是5；（3）它們的平方數的個位數相同；（4）它們的平方數的十位數相同；同時滿足上述4個條件的一對兩位數就是所要求的解。

第一步：先考慮（1）。滿足（1）的所有兩位數的個位有如下10種組合情況：

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第二步：在此基礎上，考慮（3）。滿足（3）的各對兩位數，其個位數只剩下以下兩種：

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第三步：在考慮（2）。則同時滿足（1）、（2）、（3）的兩個二位數只有以下7對：

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第四步：同時滿足（4）的，只剩下唯一的一對：78，22了。

（注：782=6084，222=484）

上面我們將原問題分解為4個容易求解的部分，通過逐步篩選、淘汰的方法，將待選二位數組的個數逐步減少，即由90×90組→9×9×10組→9×9×2組→7組→1組。除了第四步計算量稍大外，前3步快速簡單。

隨著變量x的引入，給我們問題的求解帶來了更廣闊的空間。下面，我們就引入變量x，從另外一個角度來分解原題，達到迅速解題的目的。

解：設所求的兩個二位數為x和（x+56），它們所應滿足的條件可分解為下面兩條：

（i）x與（x+56）都是二位數；

（ii）x2與（x+56）2的末兩位數相同。

由（i）得10≤x≤43，由（ii）得 （x+56）2－x2＝112（28+x）的末二位數字是零，即100｜〔112(28+x)〕，而100＝22×52，22｜112，5×112，因此52｜（28+x）。結合條件10≤x≤43，可知，38≤x+28≤71；因此，x+28=50，即x=22，x+56=78。

所以，所求的兩個二位數是78和22。

由上述的求解過程可以看出，我們使用了以下幾種重要的思想：①利用化歸思想，將問題分割成幾個容易求解的部分，進而根據這些分割而得到的條件逐條篩選，直至滿足所有的條件為止。②利用未知量x，對問題進一步抽象提煉，進而簡化問題的分析過程，迅速達到求解目標。

二、例題的深入

通過對該例題的引入，我們就此問題的特點，分解成4個條件來求解。下面，我們針對這些條件進行一般性研究。

定理1：若兩個正整數x，y的平方數的末位相同，則（x+5），（y+5）的平方數的末位也相同。

證明：10｜（y2-x2）?圯10｜［（y2-x2）+10（y-x）+（25-25）］?圯10｜［（y+5）2-（x+5）2］

由定理1告訴我們，滿足條件（1），（2）的要么沒有，若有必定有兩個。但從定理的本身也給我們一個思考，若x，y剛好相差5，那么它們的平方數的末位又會有什么樣的結論呢？

定理2：若兩個正整數x，y相差a（a≠0），若x，y的平方數的末位相同，則a是偶數。

證明：由10｜（y2-x2）?圯10｜〔（x+a）2-x2〕?圯10｜a(2x+a)，若a是奇數，則有10｜（2x+a），而（2x+a）必定是奇數，無質因子2，得到矛盾式。

所以a必是偶數。特別地，當a=5時，x，y的平方數的末位必不相同。

我們也可以從另外一個角度來思考這個問題：由于完全平方數的末位數只能是0，1，4，5，6，9，我們根據這些末位數的由來和這些由來的差進行分類，得到下列表格：

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從上述表格的最后一行，我們可以得到與定理2一樣的結論，同時也看出0，5是比較特殊的情況。

根據上述兩個定理，我們可以將題目進行一定的擴展：

將原題中的56改為正整數a，則a的取值范圍是多少時，原例題仍然有唯一解？

解：設這兩個二位數是x和（x+a），其中10≤x≤99-a，則有100｜［（x+a）2-x2］。

由定理2可知，a必定是偶數，設a=2b，其中b是正整數。于是

（x+a）2-x2=a（2x+a）=4b（x+b）

因此，要使得100｜［（x+a）2-x2］，只需要25｜b（x+b）即可。

下面分情況討論：

①5｜b。此時僅需要5｜（x+b），進而可得5｜x，此時x有解。但是沒有唯一解，不符合題意，故而排除。

②5×b。此時有25（x+b）。而10≤x≤99-2b，要使得x僅有唯一解，只要x的取值范圍滿足25≤（99-a）-10+1＜50，即40＜a≤65。

結合a是偶數的條件，可知a的取值范圍是{42，44，46，…，62，64}

三、例題的延伸

利用上述例題所使用的兩個重要的思想，在很多情況下，能巧妙地化解許多難題。下面我們通過混合使用兩個思想來求解一道競賽題。

例：求一個四位數，使它是個完全平方數，并且前兩個數字相同，后兩個數字相同。

分析：①設所求的四位數N=1000a+100a+10b+b，其中a可在1，2，3，…，9這9個數字中選，b可在0，1，2，3…9這10個數字中選。于是共有9×10=90個待選四位數，它們的前兩位數字都是a，后兩位數字都是b。

②又由于完全平方數的末位數字只能是0，1，4，5，6，9，所以b只有6種取法了，剩下9×6=54種待選四位數了。

③N=1000a+100a+10b+b=11（100a+b），而N是完全平方數，則有100a+b=11c2（其中c∈N），即100a+b能被11整除，由于100a+b=99a+（a+b），因此（a+b）是11的倍數，而a和b是0到9的數字，因此a+b=11。這樣將a和b建立了一個一一對應的等式，且從上式可知b≠0，1，故而b只剩下（4，5，6，9）四種取法了。現在只剩下了4個待選四位數了：■

④由于100a+b=99a+（a+b）=99a+11=11（9a+1）=c2，因此9a+1=c2，即（9a+1）是完全平方數，通過對該條件的判斷可得唯一的解，a=7（此時c=8）。

于是，7744是我們要求的四位數。（注：■=11×8=88）

本文通過對一競賽題的分析，利用化歸法、篩選法、淘汰法等思想，對該題進行逐步縮小搜索范圍，直至實現最后的唯一目標；另外，引入變量x后，題目的求解變得更加簡明快捷。文章最后還利用上述方法的綜合使用，巧妙地解答了另一競賽題，希望能夠通過這些例題的分析與求解，給大家在類似的題目上一定的啟發和啟示。

（作者單位 浙江省寧波市奉化市裘村鎮初中）

編輯 李建軍