例析數形結合思想的恰當應用

劉威

摘 要：數形結合思想不僅是解決數學問題的一種策略和思想，而且也是解決數學問題的一種重要方法，它包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，把抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質。本文結合自己的實際教學經驗，闡述了如何恰當應用數形結合思想解決問題，從而也進一步的提高了學生的轉化與化歸能力。

關鍵詞：數形結合思想 轉化 化歸

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2014）02（c）-0101-01

數學研究的對象是數量關系和空間形式，即“數”與“形”兩個方面。“數”與“形”兩者之間并非是孤立的，而是有著密切的聯系。根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，就是數形結合思想。數形結合思想包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面：（1）借助形的生動性和直觀性來闡明數之間的聯系，把某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數學問題的本質；（2）借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，把直觀圖形數量化，使形更加精確；同時也充分體現了轉化與化歸的思想。

1 由“形”到“數”的轉化

例1：如圖1所示，已知P是直線3x+4xy+8=0上的動點，PA，PB是圓x2+y2-2x-2y+1=0的兩條切線，A，B是切點，C是圓心，那么四邊形PACB面積的最小值為。

分析：在同一坐標系中畫出直線與圓，作出圓的切線PA、PB，則四邊形PACB的面積S四邊形PACB=S△PAC+S△PBC=2S△PAC。把S四邊形PACB轉化為2倍的S△PAC。（見圖4）

解：利用等價轉化的思想：設點P坐標為（x，y），則|PC|=，由勾股定理及|AC|=1，得|PA|==，從而S四邊形PACB=2S△PAC=2·|PA|·|AC|=|PA|=，從而欲求S四邊形PACB最小值，只需求|PA|的最小值，只需求|PC|2=（x-1）2+（y-1）2的最小值，即定點C（1，1）與直線上動點（x，y）距離的平方的最小值，它也就是點C（1，1）到直線3x+4y+8=0的距離的平方，這個最小值d2=2=9，∴S四邊形PACB最小值==2。

從以上例題不難看出，在題設情境為圖像時，常需進行“形”向“數”的轉化，即將形所含的信息轉化為數和式的表達式和關系式，然后推理求解。

2 由“數”到“形”的轉化

例2：已知實數x，y滿足x2+y2=3（y≥0），m=，b=2x+y，求證：（1）≤m≤；（2）-2≤b≤。

分析：m可看作兩點（x，y）與（-3，-1）連線的斜率，b可看作直線y=-2x+b在y軸上的截距。（見圖5）

證明：（1）m可看作過半圓x2+y2=3（y≥0）上的點M（x，y）和定點A（-3，-1）的直線的斜率。

由圖2可知k1≤m≤k2（k1，k2分別為直線AM1，AM2的斜率），k1==，圓心到切線k2x-y+3k2-1=0的距離為：d==，k2=（舍去負值），∴≤m≤。

（2）b可看作斜率為-2，過半圓x2+y2=3（y≥0）上一點P （x，y）的直線在y軸上的截距。

由圖3可知n2≤b≤n1，P2C的方程為y=-2（x+），令x=0，y=n2=-2，∵圓心到切線P1B：2x+y+c=0的距離d==，∴c=±（舍負值），n1=，∴-2≤b≤。

在本題中，條件中的數量關系決定了幾何圖形的性質，反之，幾何圖形的性質反映了數量關系，數形結合思想能將抽象思維與形象思維有機地結合起來，恰當地運用可提高解題速度，優化解題過程。

參考文獻

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[2] 張連延.談數形結合思想在解題過程中的巧用[J].教育革新，2007（10）：55-56.