“整式的運算”復習課教學案例評析

龔成軍　湯敬鵬

〔關鍵詞〕 數學教學；案例；評析

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）08—0092—02

復習課多以“題型+變式”的形式出現，能把復習課上得像新授課那樣“有創意、有發現、有歸納”的并不多見。筆者參加了一次培訓活動，活動期間，江蘇省張家港市的一位老師上了一節觀摩課，筆者深受啟發。下面，筆者對該節課的若干精彩片段進行簡要回顧與評析，與各位同行分享。

引言：大家好……今天，我們有緣相聚，一起來復習“整式的運算”，這是一件快樂而有意義的事情。論語中有這樣一句話“子曰：溫故而知新，可以為師矣。”希望同學們通過本課的復習有新的領悟和啟發。

設計意圖：一方面讓學生認識教師并產生好感、好奇，從而對教師上的課充滿期待；另一方面讓學生明確復習課的目的、意義，從而自覺主動地學習本課。

點評：教師所承擔的不僅是傳授知識的任務，更應承擔對學習方法的指導及文化修養培養的重任，數學教學亦應如此。執教者開場“子曰……”，不僅引導學生關注本課為復習課，復習課就應具有“溫故知新”的內涵，而且這個開場語也讓這堂課有了豐富的文化意味。

教學片段

1.題組練習，回顧知識要點。自主完成下列各題，并在小組內交流解題思路及用到的知識。

1.單項式-■的系數是 ，次數是 ；2.多項式x2-2x2y+24的次數是 ，其中最高次項的系數是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

設計意圖：把基礎知識以題組的形式呈現，不僅能讓學生在實際練習中回顧知識要點，反饋學習情況，還能有效地避免純概念復習的空洞無趣。（1）第一第二題讓學生回顧單項式和多項式的系數和次數概念。學生易出錯的地方有兩處，一是誤把？仔當成字母；二是對24的認識，會誤判次數為4；第三第四題讓學生回顧同底數冪的乘除法法則，把（-x2）、（-x）4放一起讓學生辨析；第五第六第七題讓學生分別回顧零指數冪、負指數冪、冪的乘方、積的乘方法則；第八第九第十題讓學生回顧平方差公式、完全平方公式。（2）實際上課時根據情況進行三次變式，一是把第四題變為x8÷x4·x2，這道題考查學生對乘除法順序的認識；二是把（2m+1）（2m-1）變為-（-2m-1）（2m-1），考查學生對平方差公式的認識和靈活應用。（3）在這個題組中，設置的是比較簡單又容易出錯的填空題，這樣一來能考查學生對易錯點的掌握與否，二來可以較快地完成基本知識的復習。

點評：正如執教者所想，復習課如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的單調重復，學生對概念的復習與理解只能是“八戒吃人參果，食而不知其味”。復習課對概念的復習，必須落實在解題的過程中。因此，對題目的選擇必須精心。在此，執教者給我們帶來了啟發，本課的妙處，就在于對題目進行的題組化、變式性的處理。題目的變化始終圍繞本課的重點及學生的易錯點進行編制，起點不高，便于“溫故”，巧妙變化，利于“明辨”。

2 .由淺入深，提升思維能力。

例1 給出三個多項式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）請你選擇其中兩個進行減法運算；

（2）分別比較A與B、A與C、B與C的大小；

（3）計算：B·C·（A-B）；

（4）計算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

設計意圖：通過給定三個多項式，從最簡單的問題出發，進行一連串“低起點、高落點”的變式，既整合了所學的知識，又降低了思維的起點，從而喚起學生的學習興趣，提高了學生的參與度。（1）通過第一題復習整式的加減運算，提醒學生在多項式代入運算時要加括號，否則容易出現錯誤；第二題教會學生用作差法比較兩個多項式的大小，同時滲透并應用了逆向變換、分類討論的數學思想；第三題需要連續兩次使用平方式公式，既再次鞏固了平方差公式，又為第四問要連續使用平方差公式埋下伏筆；第四題由前面含有字母的代數式運算變成了純數字運算。如果直接運算，工作量太大，且容易出錯，故而這里考查學生構造平方差公式靈活解決問題的能力。（2）通過本題，對本章的重點進行了有效復習。

點評：通過教師精心編制的題目，學生放開手腳，發散思維，思想的火花被瞬間點燃。對于問題1，學生更愿意多方嘗試，一個小組往往貢獻出多個答案，小組間互相競賽。對于問題4，學生們認真觀察式子的結構，在教師引導下積極思考，認真分析，課堂氣氛非?；钴S。

例2 給出四個整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）計算：■。

設計意圖：完全平方公式是整式乘法中的一個重點，也是難點，學生對公式往往不能靈活使用。本題通過給出四個整式，由淺入深，設置了三個不同梯度的問題。（1）第一題比較簡單，是讓學生進一步復習公式，夯實基礎，只需直接應用完全平方公式即可求解，滲透了整體思想；（2）第二題考查學生對完全平方公式能否靈活應用，求解本題時有兩種方法，一種是通過寫出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知條件代入，通過解方程求解x2+y2的值，滲透了方程思想；另一種是通過完全平方公式的變形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知條件代入求值；（3）第二題中求（x-y）2的值也有兩種方法，一種是用完全平方公式展開，利用已求得x2+y2的值來求解；另一種是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知條件代入求值即可求解。本題讓學生對完全平方公式有了更深刻的認識；（4）第 三題和例2的第四題類似，也是由含有字母的代數式運算變成了純數字運算，如果直接運算，工作量太大且易出現錯誤，故這里也考查學生的建模能力。構造時有兩種方法，一種是直接數字構造，即■=■；另一種是巧用字母代替數構造，設2013=a，則■=■。本題充滿著探索性和創造性，有效地培養了學生數學建模、字母代數的思想。

點評：長期以來，在一些課堂教學中存在著割裂數與式關系的現象，一些“結論式”的教學，往往就式論式，不講代數式運算的源，也不將代數式運算還原回數的運算。這樣，必然導致學生對代數式運算的來源認識不清，他們也不能將式的運算應用于數的運算之中。對此，執教者看得很透徹，在例2、例3題組中，執教者都加入了應用公式解決數字運算的問題，引導學生將式的運算回歸于數的運算之中，這有利于打破學生“式即為式，數即為數”的定勢思維，幫助學生逐步形成“式中有數，數中有式”辯證思維方法。

3.小結交流，歸納知識思想。

師：請同學們相互交流，本課復習了哪些知識？你原先哪些有疑惑的知識、思想，通過本課的復習得到了解決？

設計意圖：通過相互交流，不僅能把本章的數學知識、思想方法形成網絡結構，也能讓學生發現自身的學習疑點、知識漏洞，培養學生反思的學習習慣。

點評：歸納交流是高效課堂必不可少的環節，只有回顧梳理學習過程，明白得失，才會讓學生的學習更有效。

教學是遺憾的藝術，任何好課也都有值得改進的地方。本課亦然。由于這是一堂示范課，課時的限制讓執教者不能盡情發揮，在題組的處理中，執教者不得不舍棄一些值得進一步探究的問題，在教學中也不得不將個別學生的思維火花進行冷卻處理。但是瑕不掩玉，這堂課仍然不失為一節不可多得的好課。

？笙 編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；案例；評析

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）08—0092—02

復習課多以“題型+變式”的形式出現，能把復習課上得像新授課那樣“有創意、有發現、有歸納”的并不多見。筆者參加了一次培訓活動，活動期間，江蘇省張家港市的一位老師上了一節觀摩課，筆者深受啟發。下面，筆者對該節課的若干精彩片段進行簡要回顧與評析，與各位同行分享。

引言：大家好……今天，我們有緣相聚，一起來復習“整式的運算”，這是一件快樂而有意義的事情。論語中有這樣一句話“子曰：溫故而知新，可以為師矣?！毕Ｍ瑢W們通過本課的復習有新的領悟和啟發。

設計意圖：一方面讓學生認識教師并產生好感、好奇，從而對教師上的課充滿期待；另一方面讓學生明確復習課的目的、意義，從而自覺主動地學習本課。

點評：教師所承擔的不僅是傳授知識的任務，更應承擔對學習方法的指導及文化修養培養的重任，數學教學亦應如此。執教者開場“子曰……”，不僅引導學生關注本課為復習課，復習課就應具有“溫故知新”的內涵，而且這個開場語也讓這堂課有了豐富的文化意味。

教學片段

1.題組練習，回顧知識要點。自主完成下列各題，并在小組內交流解題思路及用到的知識。

1.單項式-■的系數是 ，次數是 ；2.多項式x2-2x2y+24的次數是 ，其中最高次項的系數是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

設計意圖：把基礎知識以題組的形式呈現，不僅能讓學生在實際練習中回顧知識要點，反饋學習情況，還能有效地避免純概念復習的空洞無趣。（1）第一第二題讓學生回顧單項式和多項式的系數和次數概念。學生易出錯的地方有兩處，一是誤把？仔當成字母；二是對24的認識，會誤判次數為4；第三第四題讓學生回顧同底數冪的乘除法法則，把（-x2）、（-x）4放一起讓學生辨析；第五第六第七題讓學生分別回顧零指數冪、負指數冪、冪的乘方、積的乘方法則；第八第九第十題讓學生回顧平方差公式、完全平方公式。（2）實際上課時根據情況進行三次變式，一是把第四題變為x8÷x4·x2，這道題考查學生對乘除法順序的認識；二是把（2m+1）（2m-1）變為-（-2m-1）（2m-1），考查學生對平方差公式的認識和靈活應用。（3）在這個題組中，設置的是比較簡單又容易出錯的填空題，這樣一來能考查學生對易錯點的掌握與否，二來可以較快地完成基本知識的復習。

點評：正如執教者所想，復習課如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的單調重復，學生對概念的復習與理解只能是“八戒吃人參果，食而不知其味”。復習課對概念的復習，必須落實在解題的過程中。因此，對題目的選擇必須精心。在此，執教者給我們帶來了啟發，本課的妙處，就在于對題目進行的題組化、變式性的處理。題目的變化始終圍繞本課的重點及學生的易錯點進行編制，起點不高，便于“溫故”，巧妙變化，利于“明辨”。

2 .由淺入深，提升思維能力。

例1 給出三個多項式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）請你選擇其中兩個進行減法運算；

（2）分別比較A與B、A與C、B與C的大小；

（3）計算：B·C·（A-B）；

（4）計算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

設計意圖：通過給定三個多項式，從最簡單的問題出發，進行一連串“低起點、高落點”的變式，既整合了所學的知識，又降低了思維的起點，從而喚起學生的學習興趣，提高了學生的參與度。（1）通過第一題復習整式的加減運算，提醒學生在多項式代入運算時要加括號，否則容易出現錯誤；第二題教會學生用作差法比較兩個多項式的大小，同時滲透并應用了逆向變換、分類討論的數學思想；第三題需要連續兩次使用平方式公式，既再次鞏固了平方差公式，又為第四問要連續使用平方差公式埋下伏筆；第四題由前面含有字母的代數式運算變成了純數字運算。如果直接運算，工作量太大，且容易出錯，故而這里考查學生構造平方差公式靈活解決問題的能力。（2）通過本題，對本章的重點進行了有效復習。

點評：通過教師精心編制的題目，學生放開手腳，發散思維，思想的火花被瞬間點燃。對于問題1，學生更愿意多方嘗試，一個小組往往貢獻出多個答案，小組間互相競賽。對于問題4，學生們認真觀察式子的結構，在教師引導下積極思考，認真分析，課堂氣氛非?；钴S。

例2 給出四個整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）計算：■。

設計意圖：完全平方公式是整式乘法中的一個重點，也是難點，學生對公式往往不能靈活使用。本題通過給出四個整式，由淺入深，設置了三個不同梯度的問題。（1）第一題比較簡單，是讓學生進一步復習公式，夯實基礎，只需直接應用完全平方公式即可求解，滲透了整體思想；（2）第二題考查學生對完全平方公式能否靈活應用，求解本題時有兩種方法，一種是通過寫出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知條件代入，通過解方程求解x2+y2的值，滲透了方程思想；另一種是通過完全平方公式的變形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知條件代入求值；（3）第二題中求（x-y）2的值也有兩種方法，一種是用完全平方公式展開，利用已求得x2+y2的值來求解；另一種是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知條件代入求值即可求解。本題讓學生對完全平方公式有了更深刻的認識；（4）第 三題和例2的第四題類似，也是由含有字母的代數式運算變成了純數字運算，如果直接運算，工作量太大且易出現錯誤，故這里也考查學生的建模能力。構造時有兩種方法，一種是直接數字構造，即■=■；另一種是巧用字母代替數構造，設2013=a，則■=■。本題充滿著探索性和創造性，有效地培養了學生數學建模、字母代數的思想。

點評：長期以來，在一些課堂教學中存在著割裂數與式關系的現象，一些“結論式”的教學，往往就式論式，不講代數式運算的源，也不將代數式運算還原回數的運算。這樣，必然導致學生對代數式運算的來源認識不清，他們也不能將式的運算應用于數的運算之中。對此，執教者看得很透徹，在例2、例3題組中，執教者都加入了應用公式解決數字運算的問題，引導學生將式的運算回歸于數的運算之中，這有利于打破學生“式即為式，數即為數”的定勢思維，幫助學生逐步形成“式中有數，數中有式”辯證思維方法。

3.小結交流，歸納知識思想。

師：請同學們相互交流，本課復習了哪些知識？你原先哪些有疑惑的知識、思想，通過本課的復習得到了解決？

設計意圖：通過相互交流，不僅能把本章的數學知識、思想方法形成網絡結構，也能讓學生發現自身的學習疑點、知識漏洞，培養學生反思的學習習慣。

點評：歸納交流是高效課堂必不可少的環節，只有回顧梳理學習過程，明白得失，才會讓學生的學習更有效。

教學是遺憾的藝術，任何好課也都有值得改進的地方。本課亦然。由于這是一堂示范課，課時的限制讓執教者不能盡情發揮，在題組的處理中，執教者不得不舍棄一些值得進一步探究的問題，在教學中也不得不將個別學生的思維火花進行冷卻處理。但是瑕不掩玉，這堂課仍然不失為一節不可多得的好課。

？笙 編輯：謝穎麗endprint

〔關鍵詞〕 數學教學；案例；評析

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2014）08—0092—02

復習課多以“題型+變式”的形式出現，能把復習課上得像新授課那樣“有創意、有發現、有歸納”的并不多見。筆者參加了一次培訓活動，活動期間，江蘇省張家港市的一位老師上了一節觀摩課，筆者深受啟發。下面，筆者對該節課的若干精彩片段進行簡要回顧與評析，與各位同行分享。

引言：大家好……今天，我們有緣相聚，一起來復習“整式的運算”，這是一件快樂而有意義的事情。論語中有這樣一句話“子曰：溫故而知新，可以為師矣。”希望同學們通過本課的復習有新的領悟和啟發。

設計意圖：一方面讓學生認識教師并產生好感、好奇，從而對教師上的課充滿期待；另一方面讓學生明確復習課的目的、意義，從而自覺主動地學習本課。

點評：教師所承擔的不僅是傳授知識的任務，更應承擔對學習方法的指導及文化修養培養的重任，數學教學亦應如此。執教者開場“子曰……”，不僅引導學生關注本課為復習課，復習課就應具有“溫故知新”的內涵，而且這個開場語也讓這堂課有了豐富的文化意味。

教學片段

1.題組練習，回顧知識要點。自主完成下列各題，并在小組內交流解題思路及用到的知識。

1.單項式-■的系數是 ，次數是 ；2.多項式x2-2x2y+24的次數是 ，其中最高次項的系數是 ；3.x3·（-x2）= ；4.x8÷（-x）4= ；5.（■）0×3-2；6.（x5）2= ；7.（-2x4y）3= ；8.（2m+1）（2m-1）= ；9.（2x+3y）2= ；10.（1-2a）2= 。

設計意圖：把基礎知識以題組的形式呈現，不僅能讓學生在實際練習中回顧知識要點，反饋學習情況，還能有效地避免純概念復習的空洞無趣。（1）第一第二題讓學生回顧單項式和多項式的系數和次數概念。學生易出錯的地方有兩處，一是誤把？仔當成字母；二是對24的認識，會誤判次數為4；第三第四題讓學生回顧同底數冪的乘除法法則，把（-x2）、（-x）4放一起讓學生辨析；第五第六第七題讓學生分別回顧零指數冪、負指數冪、冪的乘方、積的乘方法則；第八第九第十題讓學生回顧平方差公式、完全平方公式。（2）實際上課時根據情況進行三次變式，一是把第四題變為x8÷x4·x2，這道題考查學生對乘除法順序的認識；二是把（2m+1）（2m-1）變為-（-2m-1）（2m-1），考查學生對平方差公式的認識和靈活應用。（3）在這個題組中，設置的是比較簡單又容易出錯的填空題，這樣一來能考查學生對易錯點的掌握與否，二來可以較快地完成基本知識的復習。

點評：正如執教者所想，復習課如果只停留在抽象、空洞的概念梳理，只停留在“咬文嚼字”的單調重復，學生對概念的復習與理解只能是“八戒吃人參果，食而不知其味”。復習課對概念的復習，必須落實在解題的過程中。因此，對題目的選擇必須精心。在此，執教者給我們帶來了啟發，本課的妙處，就在于對題目進行的題組化、變式性的處理。題目的變化始終圍繞本課的重點及學生的易錯點進行編制，起點不高，便于“溫故”，巧妙變化，利于“明辨”。

2 .由淺入深，提升思維能力。

例1 給出三個多項式A=x2+x+2，B=1+x，C=1-x；

（1）請你選擇其中兩個進行減法運算；

（2）分別比較A與B、A與C、B與C的大小；

（3）計算：B·C·（A-B）；

（4）計算：3（22+1）（24+1）（28+1）…（264+1）+1。

設計意圖：通過給定三個多項式，從最簡單的問題出發，進行一連串“低起點、高落點”的變式，既整合了所學的知識，又降低了思維的起點，從而喚起學生的學習興趣，提高了學生的參與度。（1）通過第一題復習整式的加減運算，提醒學生在多項式代入運算時要加括號，否則容易出現錯誤；第二題教會學生用作差法比較兩個多項式的大小，同時滲透并應用了逆向變換、分類討論的數學思想；第三題需要連續兩次使用平方式公式，既再次鞏固了平方差公式，又為第四問要連續使用平方差公式埋下伏筆；第四題由前面含有字母的代數式運算變成了純數字運算。如果直接運算，工作量太大，且容易出錯，故而這里考查學生構造平方差公式靈活解決問題的能力。（2）通過本題，對本章的重點進行了有效復習。

點評：通過教師精心編制的題目，學生放開手腳，發散思維，思想的火花被瞬間點燃。對于問題1，學生更愿意多方嘗試，一個小組往往貢獻出多個答案，小組間互相競賽。對于問題4，學生們認真觀察式子的結構，在教師引導下積極思考，認真分析，課堂氣氛非?；钴S。

例2 給出四個整式：xy、x+y、x-y、x2+y2；

（1）已知x2+y2=2，xy=1，求（x+y）2、（x-y）2；

（2）已知x+y=3，xy=2，求x2+y2、（x-y）2；

（3）計算：■。

設計意圖：完全平方公式是整式乘法中的一個重點，也是難點，學生對公式往往不能靈活使用。本題通過給出四個整式，由淺入深，設置了三個不同梯度的問題。（1）第一題比較簡單，是讓學生進一步復習公式，夯實基礎，只需直接應用完全平方公式即可求解，滲透了整體思想；（2）第二題考查學生對完全平方公式能否靈活應用，求解本題時有兩種方法，一種是通過寫出完全平方公式（x+y）2=x2+y2+2xy，把已知條件代入，通過解方程求解x2+y2的值，滲透了方程思想；另一種是通過完全平方公式的變形得到x2+y2=（x+y）2-2xy，然后把已知條件代入求值；（3）第二題中求（x-y）2的值也有兩種方法，一種是用完全平方公式展開，利用已求得x2+y2的值來求解；另一種是利用（x-y）2=（x+y）2-4xy，然后把已知條件代入求值即可求解。本題讓學生對完全平方公式有了更深刻的認識；（4）第 三題和例2的第四題類似，也是由含有字母的代數式運算變成了純數字運算，如果直接運算，工作量太大且易出現錯誤，故這里也考查學生的建模能力。構造時有兩種方法，一種是直接數字構造，即■=■；另一種是巧用字母代替數構造，設2013=a，則■=■。本題充滿著探索性和創造性，有效地培養了學生數學建模、字母代數的思想。

點評：長期以來，在一些課堂教學中存在著割裂數與式關系的現象，一些“結論式”的教學，往往就式論式，不講代數式運算的源，也不將代數式運算還原回數的運算。這樣，必然導致學生對代數式運算的來源認識不清，他們也不能將式的運算應用于數的運算之中。對此，執教者看得很透徹，在例2、例3題組中，執教者都加入了應用公式解決數字運算的問題，引導學生將式的運算回歸于數的運算之中，這有利于打破學生“式即為式，數即為數”的定勢思維，幫助學生逐步形成“式中有數，數中有式”辯證思維方法。

3.小結交流，歸納知識思想。

師：請同學們相互交流，本課復習了哪些知識？你原先哪些有疑惑的知識、思想，通過本課的復習得到了解決？

設計意圖：通過相互交流，不僅能把本章的數學知識、思想方法形成網絡結構，也能讓學生發現自身的學習疑點、知識漏洞，培養學生反思的學習習慣。

點評：歸納交流是高效課堂必不可少的環節，只有回顧梳理學習過程，明白得失，才會讓學生的學習更有效。

教學是遺憾的藝術，任何好課也都有值得改進的地方。本課亦然。由于這是一堂示范課，課時的限制讓執教者不能盡情發揮，在題組的處理中，執教者不得不舍棄一些值得進一步探究的問題，在教學中也不得不將個別學生的思維火花進行冷卻處理。但是瑕不掩玉，這堂課仍然不失為一節不可多得的好課。

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