研究性學習在《微積分》課程中的應用

邢婧　陸健華

【摘 要】近年來，越來越多的教育工作者致力于“研究性學習”的研究。項目組申報課題《“研究性學習”教學模式在大學數(shù)學教學中的應用研究》獲得2011年湖北省高等學校省級教學研究項目立項（項目編號為：2011480）。項目組對研究性學習的教學模式進行了理論構(gòu)建，并將其應用于大學數(shù)學的教學實踐中。本文以微積分課程中的定積分的概念作為典型案例，闡述如何將“研究性學習”的應用于大學數(shù)學的重要課程《微積分》中去。

【關(guān)鍵詞】研究性學習；微積分；定積分的概念

一、研究性學習教學模式的簡介

“研究性學習”是指學生在教師指導下，以自主性、合作性、探究性的學習為基礎，從學科領域或現(xiàn)實生活中選擇和確定研究主題，以類似科學研究的方式去獲取知識、應用知識，解決問題，并形成研究成果的一種學習活動。使用“研究性學習”進行教學的教學模式稱為“研究性學習”教學模式。這種教學模式比較起傳統(tǒng)的接收時教學，更加關(guān)注學生的學習過程，注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力。

二、在《微積分》課程中引入“研究性學習”教學模式的思考

《微積分》是大學數(shù)學課程中的基礎課程，具有高度的系統(tǒng)性和綜合性。通過本課程的教學，學生可以掌握微積分學的基本概念、基本理論、基本方法和具有比較熟練的運算技能，為后續(xù)數(shù)學課程打下堅實的基礎；同時，學生也可以受到高等數(shù)學的思想方法熏陶，培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力以及綜合運用所學知識進行分析、解決實際問題的能力。

由于《微積分》的理論比較系統(tǒng)化，需要高度的綜合分析能力，尤其是微積分基本概念部分，學生學習起來往往比較困難。在這些知識環(huán)節(jié)，教師如果能引入“研究性學習”教學模式，可以有效的幫助學生更深化的理解和掌握概念。

三、研究性學習教學案例

定積分是微積分學中最重要的概念之一，主要思想是分割、近似、求和、取極限。以下以定積分的概念為典型，做一個研究性學習的教學案例。具體過程如下。

1.呈現(xiàn)問題

師提出問題：任意的多邊形的面積如何求解？學生思考回答：可將多邊形通過分成三角形求解，也就是以直線邊為邊界的封閉圖形面積都可以通過這樣的分割的思想來解決。接著教師繼續(xù)質(zhì)疑：那曲線邊圖形的面積如何求解？學生思考，既然直線邊封閉圖形的面積已經(jīng)解決了，可以將未知問題往已知的問題上靠攏。比如可以將所有的邊界都是曲線邊的問題轉(zhuǎn)化成有三條邊是直線邊，僅僅一條邊是曲線邊的問題，將其置于平面直角坐標系中的合適的位置，可將問題抽象簡化成曲邊梯形的面積問題。演繹歸納的數(shù)學思想在這個環(huán)節(jié)中得以充分體現(xiàn)。

2.分析與討論

在這個環(huán)節(jié)中，師生可共同討論研究解決曲邊梯形的面積計算方法。教師引導學生用已有的方法解決新問題。直線邊界的圖形面積已經(jīng)解決，可以用“以直代曲”的思路，將曲邊梯形進行有限分割，小的曲邊梯形可以近似的看成矩形，然后進行求和求出曲邊梯形面積的近似值，最后用極限作為工具，在小矩形的寬度趨于零的過程中求極限，從而得到曲邊梯形面積的精確值。研究性學習的關(guān)鍵點是提高學生的學習興趣，變被動接受成主動探討。不斷設置情境增加學生學習的積極性。

3.問題的解決

曲邊梯形的面積問題是定積分概念的引例之一，教師可根據(jù)學生專業(yè)選擇不同領域里的實際問題作為第二個引例。比如理工科的學生可以用變速直線運動的位移計算，經(jīng)管類專業(yè)的學生可以用價格變化的商品總收益問題。讓學生分析、比較、歸納、抽象，探尋發(fā)現(xiàn)這類問題的本質(zhì)共同特征就是分割、近似、求和、取極限。將不均勻的累計問題轉(zhuǎn)化為均勻問題，這類問題可以歸結(jié)出定積分的概念。有了這些準備，得出精確的定義就顯得順理成章，水到渠成，突破了難點。

4.問題的展望

得到了定積分精確的數(shù)學定義，可以讓學生用定義的方法求一個簡單函數(shù)的定積分，讓學生進一步理解定義中的數(shù)學思想。接著學生不免提出問題，這樣的計算方法雖然理論上解決了不均勻的累計問題，但計算量大，函數(shù)復雜的時候可操作性不強。如何解決這個矛盾呢？自然展望到下一個問題，如何在微積分系統(tǒng)內(nèi)部尋求更好的解決定積分計算的方法，使這個概念更具有生命力。激發(fā)學生進一步探索知識的興趣。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.數(shù)學教育心理學（第二版）.北京師范大學出版社，2006

[2]周光禮，朱家德.重建教學：我國“研究性學習”三十年述評.高等工程教育研究，2009

基金項目：本文系2011年湖北省高等學校省級教學研究項目：“‘研究性學習教學模式在大學數(shù)學教學中的應用研究”（項目編號：2011480）的研究成果。