對數學問題鏈的再認識與實踐

鄒宗平

問題是數學的心臟，這是人們對數學發展史的高度概括，對數學本質的深刻認識。1900年8月5日，德國數學家希爾伯特（David Hilbert，1862～1943）在巴黎國際數學家大會上所作的演講。其中最令人矚目的是，整個演講的主題，是他根據19世紀數學研究的成果和發展趨勢而提出的23個數學問題，而演講也以“數學問題”而命名。一百多年來，這些問題一直激勵著數學家們濃厚的研究興趣，為數學的發展起了重要的推動作用。

由此看來，問題是引導研究的，提出問題是科學研究思想方法的起步，尋找和發現數學問題，是獲得數學發現和進行數學思維的基本方法之一。

一、數學問題與問題鏈

在認知心理學中，“問題”（Problem）是指一個人在有目的待追求而尚未找到適當手段時所感到的心理困境。因而，問題的存在與否依賴于人已有的認知能力。“問題”還可以被視為一個系統，好某個人而言，若一個系統的全部元素、元素的性質和元素間的相互關系中至少有一個是未知的，那么這個系統被稱為不穩定系統即問題系統，反之，則稱該系統為穩定系統即非問題系統。在問題系統中。如果確立了一個或一個以上未知要素，那么該系統就成為一個問題。可見，問題是確立了一個或一個以上未知要素的系統，問題的存在因人而異，具有相對性。

數學問題是指“以數學為內容，或者雖不以數學為內容，但必須運用數學概念、理論或方法才能解決的問題”。

數學問題的提出是一個發現和產生數學問題的過程。在這個過程中，主體通過對數學情境基本構成要素的觀察、分析，深入挖掘隱藏于其中的數學關系，大膽置疑，大膽猜想，并確定新的未知構成要素，即提出一個新的數學問題。因而，數學問、題提出便是把一個數學問題情境變成一個新的數學問題情境的過程。這是一個發現，探索和創新的過程，借用這個過程，可以使學生進一步認識和理解數學。

面對數學問題，當我們通過對它進行深化、推廣、引申、綜合，從而發現矛盾和缺陷（問題所在），探索到新的發展規律（需要論證的問題），或找到了問題與問題之間的新的聯系時，這就是形成“問題鏈”的開始。通過這種過程的不斷深化和逐次推進而找到的，具有內在聯系的若干問題，就形成了“問題鏈”。

數學知識的內部結構，是一個縱橫交錯的命題鏈結構，或者是可以用類似于問題鏈的結構來描述和解釋的（如學科知識鏈）。歐幾里得的《原本》（Elements），是一個類似于命題鏈的以鏈結構形式表現的公理體系。它以5條公設為核心，通過邏輯演繹，把119個定義和464條定理鏈在了一起；還有由算術到初等代數到線性代數到抽象代數，則可以理解為學科知識鏈，等等。

二、數學問題鏈的實踐

問題與命題這2個概念，通常是在同樣的意義下使用的。然而，提出問題僅是數學發現的開始，解決問題（證明其真實性）才是目的。因此，我們常把尚未解決的問題稱為問題，而把論證了其真實性的命題稱為真命題。下面所提到的命題這一概念是在能形成定理的意義下使用的，但是由于略去了證明過程，因此仍視為問題。

（一）推廣鏈

推廣是事物發展所遵循的規律之一。當我們從研究一個對象過渡到研究包含該對象的一個集合，或從研究一個較小的集合過渡到研究一個包含該集合的一個更大的集合時，就是推廣，當我們對命題從層次和形式上作推廣時，可以得到一些層次不同或形式相似的命題，它反映了數學對象之間的縱向或橫向間的聯系，可以拓廣命題的外延表現形式并加深對命題內涵的認識。

概念、體系、命題和方法的各個方面，都可以運用推廣來進行教學。概念的學習分為上位學習、下位學習和并列學習3種方式。在上位學習中，我們可以運用推廣的觀點來教學。

命題的推廣可以引導學生自己來做，命題鏈的形成在培養學生創新能力的同時很能給其以美的感受。筆者要學生將等差中項的性質進行推廣，結果從a3+a5=2a4到an-1+an+1=2an，到an-k+an-k=2an，到am+an=as+at（其中m+n=s+t）再到（ai1+ai2+…+ain）/n=（aj1+aj2+…+ajm）/m（其中（i1+i2+…+in）/n=（j1+j2+…+jm）/m）串成了5級鏈。一位學生受到一些素材的啟發先是得到（am+an）/2=（ax+ay+az）/3[其中（m+n）/2=（x+y+z）/3]。然后在教師的指導下終于得到上述命題鏈中最后的命題（只是在表達上發生了困難），寫成了小論文交給教師，很有創新的成就感。另外解題之后進行推廣，不僅可以培養學生的創新能力，還能幫助學生洞察本質，提高認識、居高臨下、跳出題海。例如證明不等式，當證了√3+√7<2√5，√2+√7<√5+√6

又證√6+√7>2√2+√5，再變變數字還有多大意義呢？不如引導他們進行一般化。先可推廣為：√a+√b<√c+√d，其中a，b，c，d∈R+，a+b=c+d且|a-b|>|c-d|，更一般地可推廣為√a1+√a2+…+√an>√b1+√b2+…+√bn（其中{ai}，{bi}為正項等差數列，公差分別為d1，d2，且|d1|<|d2|，）。

（二）引申鏈

引申和推廣是有區別的，推廣是一種特殊的引申，它的原則是由特殊到一般的推進。而引申則只要具有某種聯系就可以進行。引申反映了另一類范圍較廣的交叉聯系，它具有多向性或分枝性，可以從不同方向進行派生。從不同側面對問題進行引申就可得到差異性質不同的命題鏈。例如，從否定條件進行引申，用強化條件或弱化條件或對比條件進行引申，也可以逆向倒成逆命題進行引申，還可以用等價形式的變換引申，使幾何、代數、三角形式互化

或結合應用加以引申。對問題的引申研究可以加深對事物間的親緣關系的認識，有利于了解概念或是定理的旁系家族。如對以下原命題1進行引申，可以得到問題引申鏈。

原命題1：P是正△ABC外接圓的AB弧上任意一點，則PA+PB=PC。

引申1：若P點不在AABC的外接圓上，則PA+PB>PC。

引申2：若P是AABC內任意一點，且“∠A≥120°，則PA+PB+PC>AB+AC。

引申3：若P是△ABC內任意一點，則：1-2 （AB+BC+CA）

引申4：在每個內角小于120。的△ABC內存在一點P，使PA+PB+PC有最小值。

又如在推導等比數列求和公式的錯項相減法教學之后，可以幫助學生分析總結該方法能運用的更一般情況：∑anbn的情形（其中{an}為等差，{bn}為等比）。一個常見的解法，著眼于引申，可能會有新的收獲。一個三角習題，“已知tanα=3，求sin2α+3sinαcosα-2cos2α的值”，解法之一是提取2cos2α后直接轉化為tanα，避開了單獨先求正弦、余弦的象限討論。一次筆者問學生這個做法還能用于求哪些式子的值（已知正切值），有些學生說對于正弦、余弦的齊偶次式都可仿之（提取余弦偶次方），由一題知一類已是可喜。另一平時成績一般的學生卻說，可用于求正割、余割的齊偶次式（提取余割偶次方），引申更得妙處。

（三）分層鏈

分層鏈是為了達到某一特定目的而設計的。有時為了解決一個難度較大或靈活性較強的問題，往往需要通過一些中間問題的過渡，為使中間問題的解決提供中間結果和解題方法，從而起到過渡作用。一般在給出問題的大前提后，把問題分成幾問。再對各問層層加深，不斷提高。而各問題間既相對獨立，又具有或緊或松的聯系。因此，尋找問題分層鏈對數學思維的方向引導能起到較好的作用，能培養學生綜合分析問題和解決問題的能力。如對以下原命題2可以得到問題分層鏈。

原命題2： PA、PB是⊙O的兩條切線，切點為A、B，連結PO交圓于C，交弦AB于M，連結BA、AC、BC。這是學生比較熟悉的題，請學生觀察：圖中有哪些相等的量？

分層1：將原題增加條件：如圖1，設∠P=60°，半徑OA=6，學生很快求出上述結論中的弦、弧、角、線段的值。

分層2：當C為劣弧AB上一點（不與A、B重合），上述結論不變嗎？當C在優弧上呢？

分層3：將例題增加條件，過點C作圓的切線，分別交PA、PB于E、F（如圖2），則△PEF的周長=2PA。學生紛紛回答。

分層4：問題（如圖3）：設PA、PB為⊙O切線，切點為A、B，C為弧AB上一點（與A、B不重合），過C的切線交PA、PB于E、F，則△PEF的周長是否還等于2PA？

分層5：問題的條件同上，若點C在優弧AB上呢？（如圖4）因為EC=AE，CF=BF，所以△PEF的周長=2PE+2BF=2PA+2EF，“變中有變” ！

分層6：已知：PA、PB是⊙O的兩條切線，若過弧AB上一點C作CM⊥AB于M，CK⊥PA于K，CH⊥PB于H，線段CM、CK、CH會有怎樣關系呢？（圖5）

（四）深化鏈

深化鏈常用于深化對某一數學概念（性質）的理解，是在命題條件相同的情況下，推出不同形式的相似的性質和概念，在內涵方面使認識更深刻，更豐富，對以下原命題3可以得到問題深化鏈。

原命題3：如圖6，設P為正三角形ABC的外接圓劣弧BC上一點，求證： PA=PB+PC。

深化1：求證：1-PB+ 1-PC= 1-PD。

深化2：求證：PA2=PB2+PB×PC

深化3：求證：PB2=AB2-PA×PC

深化4：求證：PA2+PB2+PC2=2AB2

深化5：求證：PA3=PB3+PC3+3PA×PB×PC

深化6：求證：PA4+PB4+PC4=2AB4

以上從尋找問題鏈的角度對問題鏈分析，給出了問題鏈的4種基本形式。還可以從其它角度來分析，如可以將問題鏈分解為屬于數學概念的、性質的、方法的和規律的。或者在實際運用時，往往采用混合形式以便適應需要。

三、數學問題鏈的相關思考

以上對問題鏈的分析可知：第一，尋找問題運用推廣、引申、分層、深化等方法，而在推廣、引申、分層、深化時卻又離不開觀察、實驗、類比、歸納和猜想等；第二，尋找問題鏈是數學發現的一種基本方法，它的目的則是希望所尋找到的問題盡量多地轉化為真命題（定理）。因此，對逐步尋找到的問題作階段性的論證是很有必要的（以上列舉的問題鏈略去了這一過程）。所以，問題鏈方法是以問題為主線，以提出問題一解決問題一再發現問題為全過程的，兼具收斂性和發散性的數學思維方法。

運用數學問題鏈進行培養學生的創新能力，首先，要向學生旗幟鮮明地倡導創新。教學中經常結合具體的場合鼓勵學生進行類比和一般化，提出各種各樣的猜想。小心呵護創新的幼芽，中學生的創新不必是真正的數學創新，只要有點滴的再創造的努力都應給予肯定和鼓勵。努力營造敢于創新、不怕出錯、善于修正、共同探究的良好的氛圍。其次，可以鼓勵學生寫一些推廣引申的小論文。開始有的學生會覺得困難，從選題到修改到定稿，教師要常加鼓勵，常做指導。在平時的教學中應有意識地多留一些容易延伸的命題鏈、方法或知識點，稍加指點、不予講盡，留給學生創新的機會。讓學生在探索的過程中培養創新的能力。