De Morgen法則在反證法中的應用

孫萍

摘 要： 在數學證明中，有時按常規思路從正面思考難以解決問題，而如果運用反證法，逆向思考，則可以化繁為簡，化難為易.對命題結論的正確否定是運用反證法的關鍵一步，但這并非我們想象的那么簡單.本文介紹一個重要的定律——De Morgen法則，它可以幫助我們快速而正確地對原命題進行“反設”.

關鍵詞： 反證法 De Morgen 法則 應用

我們在解數學題的過程中，經常用到這樣一種方法：先假定某結論的反面成立，并把這結論的反面成立作為已知條件，再進行正確的邏輯推理，使之導出一個與已知條件、已知公理、定理、法則、已證明為正確的命題等相矛盾的結果，從而肯定原結論成立，使命題獲得證明.

例1：已知：a、b、c、d均為實數，且ab=2（c+d），求證：方程x+ax+c=0與方程x+bx+d=0中至少有一個方程有實根.

證明：假定上述兩個方程都沒有實根

所以已知的兩個方程中至少有一個方程有實根.

以上這種方法在數學中被稱為反證法.

一、反證法及其在數學證明中的作用

反證法在思維分析和數學證明中有著極其廣泛的應用.歷史上，英國著名數學家西爾維斯特在他晚年提出的問題：平面上n（n≥3）個已知點不全在一條直線上，證明：總可以找到一條直線，使它只通n過個點中的兩個點.這個歷經半個世紀都無人解決的難題被一個“無名小卒”用反證法輕而易舉地解決了.

從反證法的定義可以看到反證法有如下特征：

1.反證法，開宗明義第一步，總是對所證命題結論的否定，這是反證法區別于其他證明方法最顯著的特點之一，沒有對命題結論的正確否定，就不是反證法.

2.“對命題結論的否定”，我們通常稱之為“反設”，把“反設”作為已知條件，并把此條件運用于推理中，這是反證法的又一特點.反之，如果不以“反設”為已知條件，而是作與“反設”無關的推理，那么這樣的證明方法就不能叫做反證法.

由此可以看出，“反設”是應用反證法的第一步，也是重要的一步.只有正確地敘述了一個命題的否命題，反證法的證明才可能是完備的，無懈可擊的.

De Morgen法則在敘述一個命題的否命題時有重要的作用.下面我們了解一下什么是De Morgen法則.

二、De Morgen法則及其在反證法中的運用

設有集合族{A}α∈I，我們定義其并集與交集如下：

A={x：？堝α∈I，x∈A}

A={x：？坌α∈I，x∈A}

De Morgen法則是對于集合而言的，設A為一個命題，x∈A表示A對x為真，由上面的定義可看出，如果存在a∈I，使A對x為真，則可用x∈A表示，同樣，如果對一切α，A對x為真，可寫成x∈A，這樣，許多數學命題都可用集合的交集、并集、余集給出.例如：例1的結論用集合語言可表示為{x：x+ax+c=0}∪{x：x+bx+d=0}≠？準，根據De Morgen法則，其否命題應該是{x：x+ax+c=0}∩{x：x+bx+d=0}=R，下面我們看一些較復雜的例子.

例2：敘述數列{a}不收斂

數列{a}收斂的ε-N定義為：

？堝a∈R，？坌ε>0，？堝N∈/N，？坌n>N，

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？坌a∈R，？堝ε>0，？坌N∈/N，？堝n>N，|a-a|≥ε

所以數列{a}不收斂的ε-N定義為：

？坌a∈R，？堝ε>0，？坌N∈/N，？堝n>N，|a-a|≥ε

例3：敘述f（x）在x不連續

f（x）在x連續的ε-N定義為：

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？堝ε>0，？坌δ>0，？堝x∈R，雖然有

所以f（x）在x不連續ε-N的定義為：？堝ε>0，？坌δ>0，？堝x∈R，雖然有|x-x|<δ，但|f（x）-f（x）|≥ε.

例4：設S={x}為R中的一個數集，敘述S無上界

S有上界的定義為：？堝M∈R，對？坌x∈S，有x≤M

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

{x：x≤M}=S

用De Morgen法則敘述它的否命題

{x：x≤M}≠S=？準

用集合語言把它敘述出來：？坌M∈R，？堝x∈S，使x>M

所以S無上界的定義為？坌M∈R，？堝x∈S，使x>M

例5：設I為全集，敘述f（x）在I上不一致連續

f（x）在I上一致連續的ε-n定義為：

？坌ε>0，？堝δ（ε）>0，？坌x′，x″∈I，|x′-x″|<δ，有|f（x′）-f（x″）|<ε.

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：

？堝ε>0對？坌δ（ε）>0，？堝x′，x″∈I，雖然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

所以f（x）在I上不一致連續的ε-N定義為：

？堝ε>0對？坌δ（ε）>0，？堝x′，x″∈I，雖然有|x′-x″|<δ，但|f（x′）-f（x″）|≥ε.

例6：利用Cauchy收斂準則敘述數列{a}不收斂

數列{a}收斂：對？坌ε>0，？堝N∈/N，當？坌n，m>N時，有

用集合的交集、并集、余集形式把它敘述出來：

用De Morgen法則敘述它的否命題

將它寫成ε-N定義：？堝ε>0，對？坌N∈/N，？堝m，n>N，使

敘述數列{a}不收斂的ε-N定義為：？堝ε>0，對？坌N∈/N，？堝m，n>N，使

由以上幾個例子，可以看出De Morgen法則在反證法中的重大作用.在做題需要用到反證法時，運用De Morgen法則可以很方便而且很簡潔地寫出反設，使人一目了然，盡可能地避免論述語句中的語言陷阱，進而為運用反證法奠定基礎.

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系：高等學校教材《數學分析》第二版（上冊）.