全國大學生數學競賽題的分析

李勇　伍日清　羅群

【摘要】本文對近幾屆全國大學生數學競賽題目進行歸納、總結，并通過具體題目對解題方法進行分析.

【關鍵詞】數學競賽；數學分析；高等代數；解析幾何

1.引 言

全國大學生數學競賽是一項面向本科生的全國性高水平學科競賽，以激勵大學生學習數學的興趣，發現和選拔數學創新型人才為目的.從2009年開始舉辦，每屆初賽定在當年10月底，復賽定于次年3月，參賽人數逐年上升，已成為全國大學生中最具影響力的賽事之一.

本文針對這幾屆的全國大學生數學競賽試題（數學類）做了一些歸納、分析，并通過例子對解題方法進行一些總結.

2.競賽題目分析

通過對2009年以來初賽及復賽的競賽題進行分析，我們看出競賽題主要包含數學分析、高等代數、解析幾何三門課程，其中數學分析的比重50%，高等代數的比重35%，解析幾何的比重15%，具體內容如下：

涉及數學分析的內容主要包含一元函數、多元函數及級數等，具體有：利用Taylor公式求變限積分的極限，將微分中值定理應用在確定函數或函數列零點等問題上，利用構造連續函數的方法來證明推廣的微積分學基本定理，導函數的介值性在不等式方面的應用，利用比較法則或被積函數的單調性討論反常積分的斂散性或反常積分的極限等問題，利用平均值不等式、Schwarz不等式、被積函數的單調性、變限積分等來證明積分不等式或反常積分不等式，用一元凸函數的連續性判斷二元函數的連續性，用Hesses矩陣求二元函數極值問題，將三元函數最值問題轉化為一元函數的極值問題，用Green公式、坐標變換、冪級數展開等計算二重積分，用迫斂性及平均值不等式求數列極限，構造條件收斂的數項級數使其收斂于任何指定的數，利用Cauchy收斂準則判斷函數列一致收斂，利用函數項級數的一致收斂性討論和函數的性質，利用冪級數展式求數項級數的和等內容.

涉及高等代數的內容主要包含矩陣、線性空間與線性變換、線性函數等，具體有：利用列相等證明矩陣的相等，利用正定矩陣性質來討論半正定矩陣同時對角化，利用Jordan標準型判斷矩陣方程是否有解，利用矩陣相似、合同的性質求解矩陣中未知量，利用不變子空間證明矩陣相似于由可逆矩陣和冪零矩陣構成的準對角矩陣，利用矩陣乘積AB與BA的非零特征值不變求解未知矩陣，利用多項式的性質證明矩陣相似不會因數域的變化而改變，利用不變子空間來研究線性變換的特征值及特征向量，通過選取一組基來確定空間維數及線性變換可對角化，利用矩陣的跡推導線性變換的跡及其性質，線性函數轉化成方程組利用子空間的直和證明等式，利用雙線性函數是跡的應用，利用線性函數的對偶基來證明所給定矩陣為數量矩陣.

涉及解析幾何的內容主要包含空間直線及曲面方程等，具體有：利用向量垂直之間的關系確定直線方程，確定圓柱的軸線，從而確定圓柱面的方程，一條直線繞另一點旋轉形成曲面的可能情形，給定曲面上的一些點判斷曲面的類型，利用過原點的求解截線為圓周的平面方程，利用直線的參數方程求解錐面方程，給定四個點利用球面的一般方程求解球面方程.

通過競賽題所涉及知識分析看出，競賽題目基本沒有超出這三門課程通常教材范圍，但是競賽分數卻不是太高，是何原因呢？我們認為可能，由于學生掌握的基本知識不夠扎實，缺少一些獨立思考，還有知識間的聯系與運用不太熟悉.因此，我們應該在平時的學習中首先要從基礎抓起，做到沒有不熟悉的知識點，理解并掌握每個定義、定理的證明及應用.其次建立知識框架，明晰知識之間的關系，以及知識在學科之間重合的部分，需要著重把握.最后我們應該通過做一些綜合性比較強的題目，來熟練使用知識點，培養獨立思考、分析問題的能力，還要學習一些解題技巧，從而提高數學思維，這樣可以更好地提高處理問題的能力.

3.實例分析

根據競賽題所涉及知識的歸納總結，具體分析幾道題目的解題思維與方法，希望這些解題方法對參賽同學有所幫助.